2009清华大学自主招生数学试题.pdf

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1、2019-08 1 2009 年清华大学自主招生数学试题1.设5151的整数部分为a，小数部分为b（1）求 a，b；（2）求222abab；（3）求2lim()nnbbb2.（1）x，y 为实数，且1xy，求证：对于任意正整数n，222112nnnxy；（2）a，b，c 为正实数，求证：3abcxyz，其中 x，y，z 为 a，b，c 的一种排列3.请写出所有三个数（正数）均为质数，且公差为8 的等差数列，并证明你的结论4.已知椭圆22221xyab（0ab）过椭圆左顶点,0Aa的直线 l 与椭圆交于Q，与 y 轴交于 R，过原点与 l 平行的直线与椭圆交于P求证：AQ，2OP，AR 成等比数

2、列5.已知sincos1tt，设cossinstit，求21nfssss6.随机挑选一个三位数I（1）求 I 含有因子5 的概率；（2）求 I 中恰有两个数码相等的概率7.四面体 ABCD 中，ABCD，ACBD，ADBC（1）求证：每个面的三角形均为锐角三角形；（2）设三个面与底面BCD 所成的角为,，求证：coscoscos18.求证：当p、q均为奇数时，抛物线222yxpxq 与 x 轴交点横坐标为无理数9.设1221,na aa均为整数性质P 为：对1221,na aa中任意 2n 个数，存在一种分发将其分为两组，每组 n 个数，使得两组所有元素的和相等求证：1221,na aa全部相等当且仅当1221,na aa具备性质 P10.