1996考研数一真题及解释分析.doc

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1、|1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共 5个小题,每小题 3分,满分 15分,把答案填在题中横线上.)(1) 设 ,则 _.2lim()8xxa(2) 设一平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面 垂直,则此平面方程为428xyz_.(3) 微分方程 的通解为_.2xye(4) 函数 在 点处沿 点指向 点方向的方向导数2ln()uxz(1,0)A(3,2)B为_.(5) 设 是 矩阵,且 的秩 ,而 ,则 _.A43()2r0213()rA二、选择题(本题共 5个小题,每小题 3分,满分 15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填

2、在题后的括号内.)(1) 已知 为某函数的全微分,则 等于 ( )2()xayda(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2(2) 设 有二阶连续导数,且 , ,则 ( )()fx()f0()lim|xf(A) 是 的极大值 0f()f(B) 是 的极小值 x(C) 是曲线 的拐点 (,)f()yfx(D) 不是 的极值, 也不是曲线 的拐点 0(0, ()yfx(3) 设 ,且 收敛,常数 ,则级数12)na 1na(0221(tan)n( )(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与 有关(4) 设 有连续的导数, , , ,且当()fx(0)f()0f20(

3、)(xFtfdt0x|时, 与 是同阶无穷小,则 等于 ( )()Fxkk(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (5) 四阶行列式 的值等于 ( )1123440abba(A) (B) 123123a12341234ab(C) (D) 4()()b 1()()a三、(本题共 2小题,每小题 5分,满分 10分.)(1) 求心形线 的全长,其中 是常数.(1cos)ra0a(2) 设 , ,试证数列 极限存在,并求此极限.10x6(12)nnx nx四、(本题共 2小题,每小题 6分,满分 12分.)(1) 计算曲面积分 ,其中 为有向曲面 ,其()SxzdyxS2(01)zxyz法向

4、量与 轴正向的夹角为锐角.z(2) 设变换 可把方程 化简为 ,求常数 ,其2,uxay2260zzxy2zuva中 有二阶连续的偏导数.(,)z五、(本题满分 7分)求级数 的和.21(nn六、(本题满分 7分)设对任意 ,曲线 上点 处的切线在 轴上的截距等于0x()yfx,()fxy,求 的一般表达式.01()xftd()f七、(本题满分 8分)设 在 上具有二阶导数,且满足条件 , ,其中 都是非fx1 |()|fxa|()|fxb,a|负常数, 是(0,1)内任一点,证明 .c|()|2bfca八、(本题满分 6分)设 ,其中 是 阶单位矩阵, 是 维非零列向量, 是 的转置,证明：

5、TAEnnT(1) 的充要条件是 ；(2) 当 时, 是不可逆矩阵.2 1T1TA九、(本题满分 8分)已知二次型 的秩为 2.2212313132(,)56fxxcxx(1) 求参数 及此二次型对应矩阵的特征值；c(2) 指出方程 表示何种二次曲面.123(,)f十、填空题(本题共 2小题,每小题 3分,满分 6分.)(1) 设工厂 和工厂 的产品的次品率分别为 1%和 2%,现从由 和 的产品分别占 60%ABAB和 40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属 生产的概率是_.(2) 设 、 是两个相互独立且均服从正态分布 的随机变量,则随机变量21(0,)N的数学期望 _.(

6、)E十一、(本题满分 6分.)设 、 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知 的分布律为 , 13Pi=1,2,3,又设 , .imax()Xin(,)Y(1) 写出二维随机变量 的分布律：Y1 2 3123(2) 求随机变量 的数学期望 .X()EX|1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共 5个小题,每小题 3分,满分 15分,把答案填在题中横线上.)(1)【答案】 ln2【解析】这是 型未定式求极限.1方法一： ,3lim()li(1)xaxxa令 ,则当 时, ,3at0t则 ,130li(1)li()xatxte即 .33limli12li()xxa

7、axe由题设有 ,得 .38ae1ln|方法二： ,23()221lim112limlililixxaxx axxx x aaaa e由题设有 ,得 .38ae1ln23(2)【答案】 20xyz【解析】方法一：所求平面过原点 与 ,其法向量 ；O0(6,32)M06,32nOM平面垂直于已知平面 ,它们的法向量也互相垂直： ；428xyz 41由此, .0/6346412ijknOMijk取 ,则所求的平面方程为 .23ijk30xyz方法二：所求平面即为过原点,与两个不共线的向量(一个是从原点到点 的向0(6,32)M量 ,另一是平面 的法向量 )平行的平面,06,OM428xyz04,1

8、n即 ,即 .32041xyz3(3)【答案】 2(cosin1)xex【解析】微分方程 所对应的齐次微分方程的特征方程为xye,解之得 .故对应齐次微分方程的解为 .20r1,2ri12(cosin)xyeCx由于非齐次项 不是特征根,设所给非齐次方程的特解为 ,代入xe *)a得 (也不难直接看出 ),故所求通解为 2ya*()xye.1212cosin)cosin1)x xyeCCx【相关知识点】 二阶线性非齐次方程解的结构：设 是二阶线性非齐次方程*()y的一个特解. 是与之对应的齐次方程()()yPxQyfx()Yx|的通解,则 是非齐次方程的通解.()()0yPxQy*()yYx

9、二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解,可用特征方程法求解：即 中的 、 均是常数,方()Y()()0PQy()PxQ程变为 .其特征方程写为 ,在复数域内解出两个特征根0ypq2rpq；12,r分三种情况：(1) 两个不相等的实数根 ,则通解为12r12;rxrxyCe(2) 两个相等的实数根 ,则通解为112r(3) 一对共轭复根 ,则通解为 其中1,2ri12cosin.xyeCx为常数.12,C 对于求解二阶线性非齐次方程 的一个特解 ,可用待()()yPxQyfx*()yx定系数法,有结论如下：如果 则二阶常系数线性非齐次方程具有形如(),xmfx

10、Pe *()()kxmQe的特解,其中 是与 相同次数的多项式,而 按 不是特征方程的根、是特征方Q()k程的单根或是特征方程的重根依次取 0、1 或 2.如果 ,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()cos()sinxlfexPx的特解可设为ypqyf,*(1)(2)cossinkxmmeRxx 其中 与 是 次多项式, ,而 按 (或 )不是特征(1)mRx(2) alki方程的根、或是特征方程的单根依次取为 或 .0(4)【答案】【分析】先求方向 的方向余弦和 ,然后按方向导数的计算公式l,uxyz求出方向导数.cosscosuulxyz【解析】因为 与 同向,为求 的方向余弦,将lAB

11、l|单位化，即得 31,20,2,1AB.,cos,cs|l 将函数 分别对 求偏导数得2ln()uxyz,xyz,2(1,0)A,22(1,0)(Auyyxz,22(1,0)()Azy所以 coscscosA AAuulxz.120()323(5)【答案】 2【解析】因为 ,所以矩阵 可逆,故 .02103BB()2rA【相关知识点】 .若 可逆,则()min(),rArA.1()()BErBrA从而 ,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩.()r二、选择题(本题共 5个小题,每小题 3分,满分 15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)

12、【答案】(D)【解析】由于存在函数 ,使得 ,()uxy22()()xaydux由可微与可偏导的关系,知, ,2()xay2()yx|分别对 求偏导数,得yx,2243()()()(2)uaxyaxyaxy.23()yx由于 与 连续,所以 ,即2u22uyx,33()()ax2a故应选(D).(2)【答案】(B)【解析】因为 有二阶连续导数,且 所以由函数极限的局部保号()fx0()lim1,|xf性可知,在 的空心领域内有 ,即 ,所以 为单调递增.0()|f()f()fx又由 , 在 由负变正,由极值的第一充分条件, 是 的极()f()fx00()fx小值点,即 是 的极小值.应选(B)

13、.0【相关知识点】极限的局部保号性：设 若 (或 ) 当0lim().xfA,时, (或 ).0x)fx)f(3)【答案】(A)【解析】若正项级数 收敛,则 也收敛,且当 时,有1na21nan.tlim(t)linn用比较判别法的极限形式,有.2tali0nn|因为 收敛,所以 也收敛,所以原级数绝对收敛,应选(A).21na2limtanx【相关知识点】正项级数比较判别法的极限形式：设 和 都是正项级数,且 则1nu1nvli,nvAu(1) 当 时, 和 同时收敛或同时发散；0A1n1n(2) 当 时,若 收敛,则 收敛；若 发散,则 发散；1nu1nv1nv1nu(3) 当 时,若 收

14、敛,则 收敛；若 发散,则 发散.A1nv1nu1n1nv(4)【答案】(C)【解析】用洛必达法则.由题可知 ,2200()()()xxFftdtf对该积分上限函数求导数,得,220 0()()()()()x xftfxfftd所以 0010limlilimxkkkxxtdtF.2300()()lili12k kxxffx洛 洛因为 与 是同阶无穷小,且 ,所以 为常数,即 时()Fxk()f30()li1kxf 3k有 ,300()2limli ()(1)k kxxff故应选(C).【相关知识点】设在同一个极限过程中, 为无穷小且存在极限 ,(),x()limxl(1) 若 称 在该极限过程

15、中为同阶无穷小；0,l(),x(2) 若 称 在该极限过程中为等价无穷小,记为 ；1 ()x:|(3) 若 称在该极限过程中 是 的高阶无穷小,记为 .0,l()x()()xo若 不存在(不为 ),称 不可比较.)limx,(5)【答案】(D)【解析】可直接展开计算, 221313400ababD,22141231433()()ababab所以选(D).三、(本题共 2小题,每小题 5分,满分 10分.)(1)【解析】由极坐标系下的弧微分公式得 22 2()(1cos)indsrdad.1cosad由于 以 为周期,因而 的范围是 .()r20,2又由于 ,心形线关于极轴对称.由对称性,.00024cos8sin822sdadaa(2)【解析】用单调有界准则.由题设显然有 ,数列 有下界.nxnx证明 单调减：用归纳法. ；设 ,则nx211604x1n.1nnnxx由此, 单调减.由单调有界准则, 存在.xlim设 ,在恒等式 两边取极限,即lim,(0)na16nnx,1linxa