2002考研数一真题及解释分析.doc

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1、|2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，把答案填在题中横线上)(1) 2elndx(2) 已知函数 由方程 确定，则 .()y2610yex(0)y(3) 微分方程 满足初始条件 的特解是 .201,2x(4) 已知实二次型 经正交变换2212313123(,)()44fxaxxxPy可化成标准型 ，则 .6y(5) 设随机变量 服从正态分布 且二次方程 无实根的概X2(,)0,N20yX率为 ，则 12二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的

2、字母填在题后的括号内.)(1) 考虑二元函数 的下面 4 条性质：(,)fxy 在点 处连续， 在点 处的两个偏导数连续，(,)f0 (,)fxy0(,) 在点 处可微， 在点 处的两个偏导数存在.(,)fxy0(,)(,)f0(,)若用 表示可由性质 推出 ，则有 ( )“PQPQ(A) . (B) .(C) . (D) .(2) 设 且 则级数 ( )0(1,23.),nulim1,nu11()nnu(A) 发散. (B)绝对收敛.(C)条件收敛. (D)收敛性根据所给条件不能判定.(3) 设函数 在 内有界且可导，则 ( )()yfx0,)(A) 当 时，必有 . limxlim)0xf

3、|(B)当 存在时，必有 .lim()xflim()0xf(C) 当 时，必有 . 00(D)当 存在时，必有 .li()xf li()xf(4) 设有三张不同平面的方程 它们所组成的线性方程组的系123,12,3iiiiayzb数矩阵与增广矩阵的秩都为 2，则这三张平面可能的位置关系为 ( )(5) 设 和 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 和1X2 1()fx，分布函数分别为 和 ，则 ( )2()fx1()Fx2(A) 必为某一随机变量的概率密度 . 12f(B) 必为某一随机变量的概率密度 .()x(C) 必为某一随机变量的分布函数 . 12F(D) 必为某一随

4、机变量的分布函数 .()x三、(本题满分 6 分)设函数 在 的某邻域内具有一阶连续导数，且 若(fx0(0),()0,ff在 时是比 高阶的无穷小，试确定 的值.()2)afhbhhab四、(本题满分 7 分)已知两曲线 与 在点 处的切线相同，写出此切线方程，(yfx2arctn0xted(0,)并求极限 2lim).n五、(本题满分 7 分)|计算二重积分 其中 .2max,yDed(,)|01,Dxyy六、(本题满分 8 分)设函数 在 内具有一阶连续导数， 是上半平面 内的有向分段(fx,)L(0)y光滑曲线，其起点为 ，终点为 .记ab(,)cd221()1,LxIyfdyfy(1

5、)证明曲线积分 与路径 无关； (2)当 时，求 的值.ILabcdI七、(本题满分 7 分)(1)验证函数 满足微分方程3693(1()!nxxy x +（ -）！ ！ ！;xe(2)利用(1)的结果求幂级数 的和函数.30()!nx八、(本题满分 7 分)设有一小山，取它的底面所在的平面为 坐标面，其底部所占的区域为xoy，小山的高度函数为 .2,5Dxyxy2(,)75hxy(1)设 为区域 上的一点，问 在该点沿平面上什么方向的方向导数0(,)MD,最大？若记此反向导数的最大值为 ，试写出 表达式.0(,)gxy0(,)gxy(2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡

6、度最大的点作为攀登的起点.也就是说，要在 的边界线 上找出使(1)中的 达到最大值275(,)gxy的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分 6 分)已知 4 阶方阵 均为 4 维列向量，其中 线性1234(,)A123,234,无关， .如果 ，求线性方程组 的通解.1234Ax十、(本题满分 8 分)设 为同阶方阵，,AB|(1)如果 相似，试证 的特征多项式相等.,AB,(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当 均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立.,十一、(本题满分 8 分)设随机变量 的概率密度为X1cos0()20,xxf 其 他对 独立地重复观察 4 次

7、，用 表示观察值大于 的次数，求 的数学期望.Y32Y十二、(本题满分 8 分)设总体 的概率分布为X0 1 2 3P2-（ ） 1-2（ ）其中 是未知参数，利用总体 的如下样本值10)（ X3,10,2求 的矩阵估计值和最大似然函数估计值.|2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(1)【答案】 1 【详解】先将其转化为普通定积分，求其极限即得广义积分. 222eeeln11limliimlilnlnlnnbbbbdxdxdxex(2)【答案】 -2 【详解】 是由 确定的 的函数，两边对 求导，y2610yexxx,所以 两边再对 求导，得,6yexx2()(6)(

8、6),yyee （ ） -把 代入，得 ， ，代入 ，得 .0x()0y()(0)2(3)【答案】 1x【详解】方法 1：这是属于缺 的 类型. 命 .(,)yf,dpydpyx原方程 化为 ，得20y20dp或py，即 ，不满足初始条件 ，弃之；所以0dx102yx0p所以， ，分离变量得 ，解之得 即0pydp1.Cy1.dxy由初始条件 ，可将 先定出来： . 于是得1,2yxx11,2|12dyx解之得， .以 代入，得 ，所以应取“+”号2,Cx01xy2C且 . 于是特解是 .211y方法 2：将 改写为 ，从而得 . 以初始条件20y() 1y代入，有 ，所以得 . 即 ，改写为

9、(0),()12C221y. 解得 .再以初值代入， 所以应取 且21y,yx2xC“. 于是特解 .2C(4)【答案】2【详解】方法 1：二次型 的对应矩阵 ，经正交变换 ，可化成标准f2aAxPy型 ，故 为正交矩阵，有 ，且对实对称矩阵 ，有216fyP1TPA，故 ，即0TA160TA60:因为矩阵的 个特征值之和等于它的主对角元素之和， ，相似矩阵n 3311iia具有相同的特征值， 故有 ，得 .3160i62方法 2：二次型 的对应矩阵 ，经正交变换 ，可化成标准型f2aAxPy，故 为正交矩阵，有 ，且对实对称矩阵 ，有216fyP1TPA|，即160TPA0:相似矩阵具有相同

10、的特征值，知 0 是 的特征值，根据特征值的定义，有A0EA2a4231a把 第 ， 列 加 到 第 列21(4)a提 取 第 列的 公 因 子 12(4)03aa行 行行 行，2()0得 或 ， (1)4a又 6 是 的特征值，根据特征值的定义，有 ，由 A60EA(对应元素相减)6226aaE a两边取行列式， 626aAa222316aa把 第 ， 列 加 到 第 列1(2)提 取 第 列的 公 因 子 ()0831行 行行 行2()80a得 或 (2)因为(1)，(2)需同时成立，取它们的公共部分，得 .2a|方法 3： 的对应矩阵为 ，经正交变换 ，可化成标准型 ，f 2aAxPy2

11、16fy故 为正交矩阵，有 ，且对实对称矩阵 ，有 ，P1TPA10TA即 60A:相似矩阵具有相同的特征值，知 的特征值，其中一个单根是 6，一个二重根应A是 0，直接求 的特征值，即由(对应元素相减)22aaEAa两边取行列式， 2aa42231aa把 第 ， 列加 到 第 列1(4)21提 取 第 列 的 公 因 子 22()0()031(2)aa行 行行 行2(4)()其中单根为 ，二重根为 ，故 ，及 ，故知 .aa460a2a方法 4： 的对应矩阵为 ，经正交变换 ，可化成标准型 ，f2AxPy16fy故 为正交矩阵，有 ，且对实对称矩阵 ，有 ，P1TPA10TA即|260aA:

12、故 ，()1r2aA23a交 换 第 和第 行 的 顺 序 22103aa行 行行 行22304a行 行 2230(8)a行20(2)4aa因 ，故 ，且 ，故应取 .()1rA()0a2a(5)【答案】 .4【详解】二次方程无实根，即 的判别式 ，240yX24160bacX也就有 . 此事发生概率为 ，即 ，X11P对于 ，因为正态分布的密度函数为2(,)0,N:221()expfxx关于 对称；另一方面，由概率的计算公式， 与 轴所围成的面积是1，所以()f将面积平分为两份 ，所以 .x12PX4二、选择题(1)【详解】下述重要因果关系应记住，其中 表示由 可推出 . 无箭头者无因果AB

13、B关系，箭头的逆向不成立. |与 连续 可微(,)xfy(,)fx(,)fxy(,)(,)xyffx与 存 在连 续其中均指在同一点处. 记住上述关系，不难回答本选择题，故应选(A).(2)【详解】首先要分清绝对收敛和条件收敛的定义，通过定义判定级数的敛散性.考察原级数 的前 项部分和11()nnu11234 1()()()()nn nSuu 1()nu由 知，当 充分大时， 且 . 所以 (收敛)，lim0nun0nlimn1linS另一方面， 为正项级数，用比较判别法的极限形式，由题设条件11()nnu的启发，考虑limnu11 1()(lilimli22()nn nuu 11()li2nnnu 1()li2nnuu而级数 是发散的，所以 也发散，所以选(C).11()nn11()nn(3)【详解】方法 1：排斥法.令 ，则 在 有界， ，2()sifx()fx0,)22()sicosfxx，但 不存在，故(A)不成立；lm0xlix，但 ，(C)和(D)不成立，故选(B).0i()f0()1f方法 2：证明(B)正确. 设 存在，记 ，证明 .lixlim()xfA0