成人高考~专升本高等数学二概念和随想公式.doc

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1、|第一章 函数、极限和连续1.1 函数一、 主要内容 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), xD定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: 21)(Dxgfy3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) x=(y)=f -1(y)y=f-1 (x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),xD,x 1、x 2D当 x1x 2时,若 f(x1)f(x 2),则

2、称 f(x)在 D内单调增加( )；若 f(x1)f(x 2),则称 f(x)在 D内单调减少( )；若 f(x1)f(x 2),则称 f(x)在 D内严格单调增加( )；若 f(x1)f(x 2),则称 f(x)在 D内严格单调减少( )。2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x(-，+)周期：T最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|M , x(a,b) 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n , (n为实数)3.指数函数： y=a x

3、, (a0、a1)4.对数函数： y=log a x ,(a0、a1)5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon xy=arctan x, y=arccot x| 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=(x)y=f(x) , xX2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数1.2 极 限一、 主要内容极限的概念1. 数列的极限: Aynlim称数列 以常数 A 为极限;ny

4、或称数列 收敛于 A.定理: 若 的极限存在 必定有界.nyny2.函数的极限：当 时， 的极限：x)(xfAfAxfxx )(lim)(lim当 时， 的极限：0)(fxfx)(li0左极限： Afx)(lim0右极限： 0函数极限存的充要条件：定理： AxfxfAxfxx )(lim)(li)(li 0002 无穷大量和无穷小量1.无穷大量： )(limxf称在该变化过程中 为无穷大量。|X 再某个变化过程是指：, xxx 000, xxx2.无穷小量： 0)(limf称在该变化过程中 为无穷小量。x3.无穷大量与无穷小量的关系：定理： )0(,)(1li0)(li xfxff4.无穷小量

5、的比较： lim,li若 ,则称 是比 较高阶的无穷小量；0lim若 （c 为常数） ，则称 与 同阶的无穷小量；若 ，则称 与 是等价的无穷小量，记作：；1li若 ,则称 是比 较低阶的无穷小量。lim定理：若： ；， 21则： 212limli两面夹定理1 数列极限存在的判定准则：设： （ n=1、2、3）nnzxy且： alimli则： xn2 函数极限存在的判定准则：设：对于点 x0的某个邻域内的一切点（点 x0除外）有： )()()(xhfg且： Axx limli00|则： Axfx)(lim0极限的运算规则若： BxvAxu)(li,)(li则： BAxvu)(lim)(lim

6、xxv )(li BAuli)( )0(liv推论： )(21 xuxn)(lim(lilimu )(li xcxuc nn(li两个重要极限1 或 1sinlm0xx 1)(sinlm0)( xx2 ex)(li exx10li1.3 连续一、 主要内容 函数的连续性1. 函数在 处连续： 在 的邻域内有定义，0x)(xf01o 0)(limli xfyxx2o )()(00ff左连续： li00xffx右连续： )()(lim00ffx2. 函数在 处连续的必要条件：|定理： 在 处连续 在 处极限存在)(xf0)(xf03. 函数在 处连续的充要条件：0定理： )()(lim)(li)(

7、)(lim00 000 xffxfxff xxx 4. 函数在 上连续：ba,在 上每一点都连续。)(xf在端点 和 连续是指：左端点右连续；)(limafxfax右端点左连续。bba+ 0 b- x5. 函数的间断点：若 在 处不连续，则 为 的间断点。)(xf00)(f间断点有三种情况：1o 在 处无定义；)(xf02o 不存在；lim0x3o 在 处有定义，且 存在，)(f )(lim0xfx但 。)(li0ffx两类间断点的判断：1o第一类间断点：特点： 和 都存在。)(lim0xfx)(li0xf可去间断点： 存在，但)(li0fx，或 在 处无定义。)()(li00xffx)(xf

8、0|2o第二类间断点：特点： 和 至少有一个为，)(lim0xfx)(li0xf或 振荡不存在。)(li0fx无穷间断点： 和 至少有一个为)(li0xfx)(lim0xf函数在 处连续的性质01. 连续函数的四则运算：设 ，)()(lim00 xfxfx )()(li 00 xgx1o )()()()(li0 fgfx 2o )()()(li 000 xgfxfx 3o )()(lim00xgffx )(lim0x2. 复合函数的连续性：)(),(),( xfyxufy )lili 0)(000 fuxxux 则： (lim)(lim000 xfffxx3. 反函数的连续性：)(),(),(

9、 001xfyxfxfy lim)lim11000 yffyx |函数在 上连续的性质,ba1.最大值与最小值定理：在 上连续 在 上一定存在最大值与最小值。)(xf,)(xf,bay y+M Mf(x) f(x) 0 a b xm-M0 a b xa) 有界定理：在 上连续 在 上一定有界。)(f,ba)(xf,ba3.介值定理：在 上连续在 内至少存在一点)(xf,),(，使得： ， cf)(其中： Mcmy y M f(x)C f(x)0 a b xm0 a 1 2 b x|推论：在 上 连 续 ， 且 与 异 号 在 内 至 少 存 在 一 点 ， 使 得 ：)(xf,ba)(af)(

10、bf),(ba。0b) 初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的。第二章 一元函数微分学2.1 导数与微分一、主要内容导数的概念1导数： 在 的某个邻域内有定义，)(xfy0xfxx )()limli 0000)()(li0ffx00)(0xxdyfy2左导数： 00)()(lim)(0xfffx右导数： 00)()(li)(0ffxfx定理： 在 的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在；则： )(lim)(00xfxf（或： ）li0x3.函数可导的必要条件：定理： 在 处可导 在 处连续)(f0)(xf04. 函数可导的充要条件：定理： 存在 ，)(00xfyx )()(0

11、0ff且存在。5.导函数： ),(f ),(ba在 内处处可导。 y )(xf,ba )(0xf )(xf|6.导数的几何性质： y是曲线 上点 )(0xf )(xfy x处切线的斜率。 o x0 x,M求导法则1.基本求导公式：2.导数的四则运算： 1o vuv)（2o （3o 2vv )0(v3.复合函数的导数：)(),(),( xfyxufy ，或 dx )( xf 注意 与 的区别：)(f)(x表示复合函数对自变量 求导；表示复合函数对中间变量 求导。)(xf )(4.高阶导数： ),(,)3(xfxff或4,2)()1( nfnn函数的 n 阶导数等于其 n-1 导数的导数。微分的概

12、念1.微分： 在 的某个邻域内有定义，)(xf)(xoAy其中： 与 无关， 是比 较高)( x阶的无穷小量，即： 0)(lim0x则称 在 处可微，记作：)(fyAd|dxAdy)()0(x2.导数与微分的等价关系：定理： 在 处可微 在 处可导，)(f )(f且： x3.微分形式不变性：dufdy)(不论 u 是自变量，还是中间变量，函数的微分 都具有相同的形式。2.2 中值定理及导数的应用一、主要内容中值定理1.罗尔定理: 满足条件:)(xf.0)(,).()(3;,210. fbabfaf使 得存 在 一 点内 至 少在内 可 导在 上 连 续 ；在y )(f)(xf)(xfa o b x a o b x2.拉格朗日定理： 满足条件:)(fabffba)()(,),(210 ， 使 得 ：在 一 点 内 至 少 存在内 可 导 ；在 上 连 续 ，在罗必塔法则：（ 型未定式）,0