2021-2022学年高二物理竞赛课件：流体力学的不可压缩流体的连续性微分方程.pptx

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1、流体力学的不可压缩流体流体力学的不可压缩流体的连续性微分方程的连续性微分方程2022/10/29Donghua University2 当当把把流流体体的的流流动动看看作作是是连连续续介介质质的的流流动动，它它必必然然遵遵守守质质量量守守恒恒定定律律。对对于于一一定定的的控控制制体体，必必须须满满足足式式（3 32222）。它它表表示示在在控控制制体体内内由由于于流流体体密密度度变变化化所所引引起起的的流流体体质质量量随随时时间间的的变变化率等于单位时间内通过控制体的流体质量的净通量。化率等于单位时间内通过控制体的流体质量的净通量。首先推导在笛卡儿坐标系中微分形式的连续性方程。首先推导在笛卡儿

2、坐标系中微分形式的连续性方程。图图7-1 7-1 微元六面体微元六面体 2022/10/29Donghua University3即当流场速度同时满足：即当流场速度同时满足：时流动无旋。时流动无旋。需要指出的是，需要指出的是，有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是否有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是否发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。如如图图7-57-5（a a），流流体体微微团团的的运运动动为为旋旋转转的的圆圆周周运运动动，其其微微团团自自身身不不旋旋转转，流流场场为为无无旋旋流流动动；图图7-57-5（b b）流流体体微微团团的

3、的运运动动尽尽管管为为直直线线运运动动，但但流流体体微微团团在在运运动动过过程程中中自自身身在在旋旋转转，所所以以，该流动为有旋流动。该流动为有旋流动。（a）（b）图图7-5 7-5 流体微团运动轨迹流体微团运动轨迹 2022/10/29Donghua University4【例例】某一流动速度场为某一流动速度场为 ，其中，其中 是不为是不为零的常数，流线是平行于零的常数，流线是平行于 轴的直线。试判别该流动是有旋流轴的直线。试判别该流动是有旋流动还是无旋流动。动还是无旋流动。【解】【解】由于由于 所以该流动是有旋运动。所以该流动是有旋运动。2022/10/29Donghua Universi

4、ty5 设该微元六面体中心点设该微元六面体中心点O O（x,y,zx,y,z）上流体质点的速度为上流体质点的速度为 、，密度为密度为 ，于是和，于是和 轴垂直的两个平面上的质量流量如图所示。轴垂直的两个平面上的质量流量如图所示。在在 方向上，单位时间通过方向上，单位时间通过EFGHEFGH面流入的流体质量为：面流入的流体质量为：（a a）单位时间通过单位时间通过ABCDABCD面流出的流体质量面流出的流体质量 ：（b b）则在则在 方向单位时间内通过微元体表面的净通量为（方向单位时间内通过微元体表面的净通量为（b b）-（a a），），即即 （c1c1）2022/10/29Donghua Un

5、iversity6同理可得同理可得 和和 方向单位时间通过微元体表面的净通量分别为方向单位时间通过微元体表面的净通量分别为:（c2c2）（c3c3）因此，单位时间流过微元体控制面的总净通量为因此，单位时间流过微元体控制面的总净通量为:（c c）微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化率为：微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化率为：（d d d d）2022/10/29Donghua University7 将式（将式（c c），（），（d d）代入式（代入式（7-17-1），取），取 0 0，则可得到流场中任，则可得到流场中任一点的连续性方程的一般表达式为一点的连续性方

6、程的一般表达式为:或或（7-17-17-17-1）（7-17-1a a）连续性方程表示了单位时间内控制体内流体质量的增量等于流体在控连续性方程表示了单位时间内控制体内流体质量的增量等于流体在控制体表面上的净通量。它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常制体表面上的净通量。它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常流动。流动。在定常流动中，由于在定常流动中，由于 （7-27-27-27-2）对于不可压缩流体（对于不可压缩流体（=常数）常数）（7-37-37-37-3）或或（7-37-3a a）2022/10/29Donghua University8在其它正交坐标系中流场中任一点的连续性方

7、程和柱坐标系中的表示式为在其它正交坐标系中流场中任一点的连续性方程和柱坐标系中的表示式为 ：(7-4)(7-4)对于不可压缩流体对于不可压缩流体 (7-4(7-4a)a)式中式中 为极径；为极径；为极角。为极角。球坐标系中的表示式为球坐标系中的表示式为:(7-(7-5)5)（7-57-5a a）式中式中 为径矩；为径矩；为纬度；为纬度；为径度。为径度。2022/10/29Donghua University9【例【例7-17-1】已知不可压缩流体运动速度已知不可压缩流体运动速度已知不可压缩流体运动速度已知不可压缩流体运动速度 在在在在 ，两个轴方向的分量为两个轴方向的分量为两个轴方向的分量为两

8、个轴方向的分量为 ，。且在。且在。且在。且在 处，有处，有处，有处，有 。试求。试求。试求。试求 轴方向的速度分量轴方向的速度分量轴方向的速度分量轴方向的速度分量 。【解】对不可压缩流体连续性方程为：【解】对不可压缩流体连续性方程为：【解】对不可压缩流体连续性方程为：【解】对不可压缩流体连续性方程为：将已知条件代入上式，有将已知条件代入上式，有将已知条件代入上式，有将已知条件代入上式，有 又由已知条件对任何又由已知条件对任何又由已知条件对任何又由已知条件对任何 ，当，当，当，当 时，时，时，时，。故有。故有。故有。故有 2022/10/29Donghua University10粘性流体的内应

9、力粘性流体的内应力 粘性流体在运动时，表面力不仅有法向应力，还有切向应粘性流体在运动时，表面力不仅有法向应力，还有切向应力。流场内任一点的应力状况，都可以通过该点的三个相互垂力。流场内任一点的应力状况，都可以通过该点的三个相互垂直的作用面上的九个应力分量表示。直的作用面上的九个应力分量表示。以应力表示的运动微分方程以应力表示的运动微分方程理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基础。可理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基础。可以用以用牛顿第二定律牛顿第二定律加以加以推导推导。在流场中取一平行六面体，如图在流场中取一平行六面体，如图7 76 6所示。其边长分别为所示。其边长

10、分别为dxdx，dydy，dzdz，中心点为中心点为A A(x,yx,y,z z)。中心点的压强为中心点的压强为p=pp=p(x,yx,y,z z)，密度为密度为=(x,yx,y,z z)。因为研究的对象为理想流体，作用于六个面上的表面力只因为研究的对象为理想流体，作用于六个面上的表面力只有压力，作用于微元体上的单位质量力有压力，作用于微元体上的单位质量力 沿三个坐标轴的分量分别为沿三个坐标轴的分量分别为 。2022/10/29Donghua University11图图7 76 6 理想流体运动微分方程用图理想流体运动微分方程用图 2022/10/29Donghua University12

11、 微元体在质量力和表面力的作用下产生的加速度微元体在质量力和表面力的作用下产生的加速度 ，根，根据牛顿第二定律据牛顿第二定律 ：两端同除以微元体的质量两端同除以微元体的质量 ,并整理有：并整理有：(7-(7-12)12)写成矢量式：写成矢量式：(7-(7-13)13)2022/10/29Donghua University13将加速度的表达式代入（将加速度的表达式代入（7 71212）有：）有：（7 71414）其矢量式为其矢量式为 ：（7 71515）公式（公式（7 71414）为理想流体运动微分方程式）为理想流体运动微分方程式，物理上表示，物理上表示了作用在单位质量流体上的质量力、表面力和

12、惯性力相平衡。了作用在单位质量流体上的质量力、表面力和惯性力相平衡。该式推导过程中对流体的压缩性没加限制，该式推导过程中对流体的压缩性没加限制，故可适用于理想故可适用于理想的可压流体和不可压缩流体，适用于有旋流动和无旋流动。的可压流体和不可压缩流体，适用于有旋流动和无旋流动。2022/10/29Donghua University14 将（将（7 71414）作恒等变形，便可以直接由运动微分方程判定）作恒等变形，便可以直接由运动微分方程判定流动是有旋还是无旋流动，在式（流动是有旋还是无旋流动，在式（7-147-14）的第一式右端同时加减）的第一式右端同时加减 、，得，得:由式（由式（7-87-8）得）得:（7-16）写成矢量形式写成矢量形式 （7-17）兰姆（兰姆（兰姆（兰姆（H.LambH.LambH.LambH.Lamb）运动微分方程运动微分方程运动微分方程运动微分方程