2021-2022学年高二物理竞赛课件：量子力学之本征值和本征函数.pptx

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1、本征值和本征函数本征值和本征函数本征值和本征函数本征值和本征函数 令令 的本征函数为的本征函数为 ，对应的本征值为，对应的本征值为 ，写出本征方程写出本征方程由此可得由此可得 有非零解的条件有非零解的条件 由此得由此得 即即 的本征值为的本征值为 对应对应 得得 利用归一化条件利用归一化条件 得得 取取 （实际取（实际取 中的相角中的相角 ）所以所以 同理同理 二者正交二者正交（29）（30）且构成电子自旋态的一组正交归一完备系，电子的任意且构成电子自旋态的一组正交归一完备系，电子的任意自旋态均可以它们为基矢展开自旋态均可以它们为基矢展开 注意以下几个问题：注意以下几个问题：（1）表象中，表象

2、中，的本征值和本征函数的本征值和本征函数 本征值不随表象而变化，可见本征值不随表象而变化，可见 的本征值均为的本征值均为 相应的本征函数为相应的本征函数为 （31）（32）它们可用它们可用 的本征函数来展开的本征函数来展开（2）利用球坐标系分析任意方向）利用球坐标系分析任意方向 上的投影算符上的投影算符 的本征的本征函数函数 求解本征方程求解本征方程 容易得到容易得到 即本征值也为即本征值也为 取取 则则 利用第二式利用第二式 得得 利用归一化条件得利用归一化条件得 取取 则则 于是得于是得 同理可得同理可得 当当 时时 可得可得 当当 时时 可得可得 显然显然 的本征函数可以用的本征函数可以

3、用 的本征函数展开的本征函数展开 由此可以看出，在由此可以看出，在 态中，出现态中，出现 的本征值为的本征值为 的概率为的概率为 ，本征值为，本征值为 的概率为的概率为 。（3）任意表象中的本征值和本征函数）任意表象中的本征值和本征函数例如，在例如，在 表象中，可利用以下算符的本征方程求解本征表象中，可利用以下算符的本征方程求解本征值和本征函数值和本征函数事实上，将事实上，将 表象结果通过坐标轮换即可：表象结果通过坐标轮换即可：可自行证明可自行证明 考虑到自旋问题，任意状态波函数都应是二分量形式，考虑到自旋问题，任意状态波函数都应是二分量形式，所以对波函数运算的算符都应该是所以对波函数运算的算

4、符都应该是 矩阵。为此，只要矩阵。为此，只要将过去的算符乘以一个将过去的算符乘以一个 的单位矩阵即可以了。如的单位矩阵即可以了。如 任意算符任意算符 在在 态中的平均，必须考虑矩阵和坐标两态中的平均，必须考虑矩阵和坐标两种运算种运算（33）（34）对自旋求平均对自旋求平均 对坐标和自旋同时求平均对坐标和自旋同时求平均 例例 证明证明 并在并在 态中求态中求 解：解：还可证明还可证明 例例 在氢原子的在氢原子的 态中，求轨道角动量态中，求轨道角动量 的的 分量分量 的平均值的平均值解：解：因因 所以所以 因为因为 所以所以 关于关于 在在 表象中的具体形式，可根据算符的厄米性，表象中的具体形式，

5、可根据算符的厄米性，设设利用利用 可得可得于是于是 这样这样 写成写成 （21）（22）由于由于 的本征值为的本征值为1 所以所以 则则 令令 （为实数）为实数）这样这样类似可得类似可得 利用利用 可得可得 单位矩阵单位矩阵（23）（24）即有即有 由于由于 和和 之间有一个相角不定性（相当于取定之间有一个相角不定性（相当于取定 轴轴 后，后，轴取向并未取定，只确定了轴取向并未取定，只确定了 轴之间的关轴之间的关 系），习惯上取系），习惯上取 从而可得，在从而可得，在 表象中，表象中，泡利矩阵的标准形式为泡利矩阵的标准形式为 在在 表象中，自旋算符矩阵表示的标准形式为表象中，自旋算符矩阵表示的标准形式为（25）（26）注意以下两点：注意以下两点：（1 1）只是只是 在三个特殊方向上的投影，若以在三个特殊方向上的投影，若以 表示表示 在任意方向在任意方向 （方向余弦是（方向余弦是 ）的投影，则的投影，则（2 2）以上讨论的是）以上讨论的是 表象，若在表象，若在 表象中，表象中，应为对角应为对角矩阵，通过坐标轮换得矩阵，通过坐标轮换得 （27）算算 符符 表象表象 矩阵矩阵