2021-2022学年高二物理竞赛课件：流体力学的旋涡运动（15张PPT）.pptx

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1、流体流体力学力学的旋涡运动的旋涡运动第五节第五节 流体流体力学力学的旋涡运动的旋涡运动 本节主要讲述理想流体有旋运动的理论基础，重点是速度环量及其表征环量和旋涡强度间关系的斯托克斯定理。一、涡线、涡管、涡束和旋涡强度 涡量用来描述流体微团的旋转运动。涡量的定义为：(7-23)涡量是点的坐标和时间的函数。它在直角坐标系中的投影为：(7-24)在流场的全部或部分存在角速度的场，称为涡量场。如同在速度场中引入了流线、流管、流束和流量一样。在涡量场中同样也引入涡线、涡管、涡束和旋涡强度的概念。欧拉积分 当理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常无旋流动时，式（7-19）右端为零。若在流场中任取一有向微

2、元线段 ，其在三个坐标轴的投影分别为dx、dy、dz，将它们分别依次乘式（7-19）并相加，得:积分（7-21）上式为欧拉积分的结果，表明理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常无旋流动时，单位质量流体的总机械能在流场中保持不变。伯努利积分 当理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动时，式（7-19）右端第一项等于零。由流线的特性知，此时流线与迹线重合，在流场中沿流线取一有向微元线段 ，其在三个坐标轴上的投影分别为 ，将它们的左、右端分别依次乘式（7-19）的左、右端，相加有 积分有（7-22）该积分为伯努里积分。表明理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动时，单位质量流体的总

3、机械能沿流线保持不变。通常沿不同流线积分常数值有所不同。1涡线:涡线是在给定瞬时和涡量矢量相切的曲线。如图7-7所示。图7-7 涡线 图7-8 涡管根据涡通量矢量与涡线相切的条件，涡线的微分方程为:(7-25)2涡管、涡束：在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，在同一时刻过该曲线每一点的涡线形成的管状曲面称作涡管。如图7-8所示。截面无限小的涡管称为微元涡管。涡管中充满着的作旋转运动的流体称为涡束，微元涡管中的涡束称为微元涡束或涡丝。3旋涡强度（涡通量）在涡量场中取一微元面积dA，见图7-9（a），其上流体微团的涡通量为 ，为dA的外法线方向，定义（7-26）为任意微元面积dA上的旋涡强度，也称

4、涡通量。任意面积A上的旋涡强度为：（7-27）如果面积A是涡束的某一横截面积，就称为涡束旋涡强度，它也是旋转角速度矢量的通量。旋涡强度不仅取决于，而且取决于面积A。速度环量、斯托克斯定理1速度环量:在流场的某封闭周线上，如图7-9（b），流体速度矢量沿周线的线积分，定义为速度环量，用符号 表示，即:(7-28)速度环量是一代数量，它的正负与速度的方向和线积分的绕行方向有关。对非定常流动，速度环量是一个瞬时的概念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算，积分时为参变量。图7-9微元面积、微元有向线段 2斯托克斯（Stokes）定理:在涡量场中，沿任意封闭周线的速度环量等于通过该周线所包围曲面面积的旋

5、涡强度，即:（7-29）这一定理将旋涡强度与速度环量联系起来，给出了通过速度环量计算旋涡强度的方法。【例7-3】已知二维流场的速度分布为 ，试求绕圆 的速度环量。【解】此题用极坐标求解比较方便，坐标变换为:速度变换为,【例】一二维元涡量场，在一圆心在坐标原点、半 径 的圆区域内，流体的涡通量 。若流体微团在半径 处的速度分量 为常数，它的值是多少？【解】由斯托克斯定理得：汤姆孙定理、亥姆霍兹定理1汤姆孙（Thomson）定理 v理想正压性流体在有势的质量力作用下，沿任何封闭流体周线的速度环量不随时间变化，即：v证明：在流场中任取一由流体质点组成的封闭周线K，它随流体的运动而移动变形，但组成该线

6、的流体质点不变。沿该线的速度环量可表示为式（7-28），它随时间的变化率为：（7-30）（7-30a）由于质点线K始终由同样的流体质点组成，将其代入式（7-30a）等号右端第一项积分式：由理想流体的欧拉运动微分方程，式（7-30a）等号右端第二项积分式可表示为:将上面的结果代入式（7-30a），并考虑到 都是单值连续函数，得:（7-30b）或 斯托克斯定理和汤姆孙定理表明，理想正压性流体在有势的质量力作用下，涡旋不会自行产生，也不会自行消失。2亥姆霍兹（Helmholtz）定理 亥姆霍兹关于旋涡的三个定理，解释了涡旋的基本性质，是研究理想流体有旋流动的基本定理。（1）亥姆霍兹第一定理：在理想正

7、压性流体的有旋流场中，同一涡管各截面上的旋涡强度相同。如图710所示，在同一涡管上任取两截面A1、A2，在A1、A2之间的涡管表面上取两条无限靠近的线段a1a2和b1b2。由于图710 同一涡管上的两截面 图711 涡管上的封闭轴线 封闭周线a1a2b1b2a1所围成的涡管表面无涡线通过，旋涡强度为零。根据斯托克斯定理，沿封闭周线的速度环量等于零，即：由于 而 ，故得该定理说明，在理想正压性流体中，涡管既不能开始，也不能终止。但可以自成封闭的环形涡管，或开始于边界、终止于边界。（2）亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）理想正压性流体在有势的质量力作用下，流场中的涡管始终由相同的流体质点组成。如图711所示，K为涡管表面上的封闭周线，其包围的面积内涡通量等于零。由斯托克斯定理知，周线K上的速度环量应等于零；又由汤姆孙定理，K上的速度环量将永远为零，即周线K上的流体质点将永远在涡管表面上。换言之，涡管上流体质点将永远在涡管上，即涡管是由相同的流体质点组成的，但其形状可能随时变化。