2021-2022学年高二物理竞赛课件：类氢原子.pptx

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1、类氢原子2 处于基态的类氢原子经处于基态的类氢原子经 衰变，核电荷数突然衰变，核电荷数突然 由由 变为变为 ，求原子处于，求原子处于 态的几率。已态的几率。已 知类氢原子定态波函数为知类氢原子定态波函数为分析：这是一个常规性的问题。突然变化意分析：这是一个常规性的问题。突然变化意味着味着波函数来波函数来 不及发生变化，这给出了体系的不及发生变化，这给出了体系的初始初始条件。条件。同时也要注意：求原子处于某一态的几率同时也要注意：求原子处于某一态的几率肯定肯定是求是求原子处在新体系某一态的几率，因原体系的原子处在新体系某一态的几率，因原体系的状状态是态是作为条件给定的，求它的几率作为条件给定的，

2、求它的几率没没有意义。有意义。类氢原子类氢原子3解：设解：设t=0时发生衰变，则时发生衰变，则t0t0时的波函数为时的波函数为这显然是按照新态的展开。关键是求展开系数。这显然是按照新态的展开。关键是求展开系数。利用利用初始初始条件条件由此求得展开系数由此求得展开系数故发生衰变后处于故发生衰变后处于2S态的几率为态的几率为4 氢原子处于基态。假定库仑作用在氢原子处于基态。假定库仑作用在 时突时突 然消失，电子离开原子像自由电子那样运动。然消失，电子离开原子像自由电子那样运动。试求试求 时测量电子动量大小在时测量电子动量大小在 内的内的 几率。几率。提示：可以认为动量方向是沿提示：可以认为动量方向

3、是沿z z方向，从而有方向，从而有问题：电子离开原子后，动量分布还会发生变化吗？问题：电子离开原子后，动量分布还会发生变化吗？因此关键是求因此关键是求t=0t=0时刻的动量分布。时刻的动量分布。解：基态氢原子的波函数为解：基态氢原子的波函数为显然与角度无关。显然与角度无关。下面利用下面利用傅傅里里叶叶变换求其动量分布。变换求其动量分布。5故故 时，电子动量大小在时，电子动量大小在 内的几率为内的几率为上式实上式实际际上是对上是对厚厚度为度为dp球壳的积分。球壳的积分。6 一粒子被束缚在半径为一粒子被束缚在半径为 的钢球盒内。求的钢球盒内。求 处于基态的粒子对盒壁的压力与压强。处于基态的粒子对盒

4、壁的压力与压强。提示：从提示：从物物理上讲，粒子束缚在球方势阱内运动时，理上讲，粒子束缚在球方势阱内运动时，必然与必然与器器壁发生壁发生碰撞碰撞，从而，从而产产生压力。问题是压力与生压力。问题是压力与我们所学的量子力学我们所学的量子力学知识知识有何关系？有何关系？压力压力粒子对粒子对器器壁作壁作功功粒子能量粒子能量减减小小解：解：设平均压力为设平均压力为 ，在压力作用下，在压力作用下器器壁壁增增大了大了 ，则则但对于球方势阱，其基态能量为但对于球方势阱，其基态能量为则有平均压力则有平均压力从而算得压强从而算得压强7 势能势能 的类氢原子处在的类氢原子处在 态，试计算态，试计算 的平均值的平均值

5、 。解：中心力场中的波函数为解：中心力场中的波函数为 满足方程满足方程 在势场在势场 中粒子处在中粒子处在定态定态,证明粒子动能证明粒子动能 的平均值满足的平均值满足 ；如果；如果 是是 的的 次齐次函数，证明次齐次函数，证明 ，并利用此式，并利用此式 计算氢原子基态的计算氢原子基态的 。)(rVr提示：提示：在离心势中出在离心势中出现现，此时用，此时用FH定理是较好的选择定理是较好的选择 关键是如何选择哈密顿算符。关键是如何选择哈密顿算符。8.内存在内存在1/r2,故可将其写为形式故可将其写为形式其中其中 此时可以利用此时可以利用F-H定理。定理。问题：选择什么作为参数？问题：选择什么作为参

6、数？使用使用F-H定理时选择微分参数的原则：定理时选择微分参数的原则：2）H和和E中要同时存在这个参数；中要同时存在这个参数；3）对该参数求导时不会出）对该参数求导时不会出现现其它力学量；其它力学量；1）该参数是所求力学量的）该参数是所求力学量的伴随伴随量；量；9本体系中，本体系中，唯有选择唯有选择l为参数为参数利用利用将以上两式代入得将以上两式代入得看本征能量是什么形式看本征能量是什么形式 氢原子处在基态氢原子处在基态 ，求，求 的的 平均值及动量的几率分布函数平均值及动量的几率分布函数 ，并通过，并通过 计算计算 来检验测不准关系。来检验测不准关系。分析：分析：此题思路此题思路很很明明确确

7、，前面我们也做过类，前面我们也做过类似似的题的题目目。10 一个质量为一个质量为 的粒子在对数势场的粒子在对数势场 中运动，式中中运动，式中 与与 是同质量是同质量 无关的常数。无关的常数。(1)证明在所有态上均方速度相同，求出此均方证明在所有态上均方速度相同，求出此均方 速度；速度；(2)证明任何两定态能量之差同粒子质量无关。证明任何两定态能量之差同粒子质量无关。分析：考虑用位力定理和分析：考虑用位力定理和F-H定理。定理。证明：1)为能量本征态。由位力定理但11所以或由此得且2)由得由F-H定理，得12积分得所以这是与m无关的常数量。由13一电子在带电量为+Q 的真空点电荷势场中运动，设电子处于定态，利用位力(Virial)定理证明势能V与动能T存在关系 证明：证明：题目实已给出中心力场势的形式题目实已给出中心力场势的形式利用位力定理利用位力定理因为因为所以所以代入位力定理，有代入位力定理，有即即另：另：有关有关F-H定理的应用，以后会定理的应用，以后会予以介绍予以介绍。