2021-2022学年高二物理竞赛课件：能带理论基础.pptx

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1、能能带理理论基基础能能带理理论基基础能能带理理论是目前研究是目前研究固体中固体中电子运子运动的主要理的主要理论基基础，是，是在上世在上世纪初初量子理量子理论确立之后，在用量子力学方法研究金属确立之后，在用量子力学方法研究金属电导理理论过程中开始程中开始发展起来的。展起来的。最初的成就在于定性地最初的成就在于定性地阐明了明了晶体中晶体中电子运子运动的普遍性的普遍性特点特点，例如，例如说明了固体明了固体为什么会有什么会有导体、体、绝缘体。体。特特别值得一提的是，恰好在得一提的是，恰好在这个个时候半候半导体开始在技体开始在技术上上应用，用，能能带论正好提供了分析半正好提供了分析半导体理体理论问题的基

2、的基础，有力，有力地推地推动了半了半导体技体技术的的发展。展。到五六十年代，由于到五六十年代，由于实验工作的重大工作的重大发展，提供了大量展，提供了大量的的实验数据，而且由于大型高速数据，而且由于大型高速计算机的算机的应用，使能用，使能带理理论的的研究从定性的普遍研究从定性的普遍规律律发展到展到对具体材料复具体材料复杂能能带结构的构的计算算。除除Si、Ge第一代半第一代半导体外，相体外，相继发展了展了GaAs、InP等等第二代半第二代半导体和体和GaN、ZnO等第三代半等第三代半导体。体。6.1 能能带理理论的基本假的基本假设固体固体实际的晶体都是由大量的的晶体都是由大量的电子和原子核子和原子

3、核组成的多粒子成的多粒子体系，而且体系，而且电子与子与电子，子，电子与原子核、原子核与原子核之子与原子核、原子核与原子核之间存在着相互作用存在着相互作用，因此，要，因此，要获得得电子的运子的运动状状态，必，必须求求解多粒子体系的薛定解多粒子体系的薛定谔方程方程严格求解如此一个多粒子体系的薛定格求解如此一个多粒子体系的薛定谔方程是不可能的，方程是不可能的，必必须对方程方程进行行简化。化。一、一、绝热近似近似把把电子系子系统与原子核分开考与原子核分开考虑的的处理方法理方法 由于由于电子子质量量m远小于原子核小于原子核质量，量，电子速度子速度远大于大于原子核的速度，因此在考原子核的速度，因此在考虑电

4、子的运子的运动时，可以，可以认为原子原子核是不核是不动的。因此，可以的。因此，可以认为电子是在原子核子是在原子核产生的，固生的，固定不定不动的的势场中运中运动的粒子的粒子。因因为在在结合成晶体合成晶体时，价，价电子状子状态的的变化最大，而化最大，而内内层电子状子状态变化最小，所以可以化最小，所以可以把内把内层电子和原子核看子和原子核看成一个离子成一个离子实，离子，离子实总是是围绕其平衡位置做微小振其平衡位置做微小振动，但在零但在零级近似下，晶格振近似下，晶格振动的影响可以忽略，的影响可以忽略，价价电子可以子可以看做是在固定不看做是在固定不动的离子的离子实势场中运中运动，这样一个多粒子一个多粒子

5、问题就就简化化为多多电子子问题。（是玻恩和奥本海默在（是玻恩和奥本海默在讨论分子中分子中电子状子状态时首先引入的）首先引入的）方程中的第二方程中的第二项为0，适当，适当选择势能零点，使第四能零点，使第四项也等也等于于0，电子系子系统的的薛定的的薛定谔方程方程简化化为二、平均二、平均场近似近似多多电子系子系统的薛定的薛定谔方程仍不能精确求解，因方程仍不能精确求解，因为每一个每一个电子的运子的运动不不仅与其自身的位置有关，而且与其自身的位置有关，而且还与所有其它与所有其它电子子的位置有关。的位置有关。为了了进一步一步简化，可以化，可以用一种平均用一种平均场来代替价来代替价电子之子之间的相互作用的相

6、互作用。即假定每一个。即假定每一个电子所子所处的的势场均相同，均相同，从而使每个从而使每个电子与其它子与其它电子之子之间的相互作用的相互作用势能能仅与与该电子子的位置有关，而与其它的位置有关，而与其它电子的位置无关，引入子的位置无关，引入势能函数能函数函数函数Ui(ri)代表代表电子子i与其它所有与其它所有电子的相互作用子的相互作用势能能。还可以将可以将电子与核之子与核之间的相互作用的相互作用势能改写能改写为函数函数ui 为第第 个原子核个原子核对第第i个个电子的作用子的作用势能，能，ui为所有所有原子核原子核对第第i个个电子子的作用的作用势能能。在上述近似下，每个在上述近似下，每个电子都子都

7、处在同在同样的的势场中运中运动，用表示第用表示第i个个电子的哈密子的哈密顿算符算符电子系子系统的的薛定薛定谔方程方程为使一个多使一个多电子子问题变成一个成一个单电子子问题单电子近似子近似由于每个由于每个电子都子都满足同足同样的的薛定薛定谔方程方程，可略去下脚，可略去下脚标i，得，得其中其中是离子是离子实对电子的作用子的作用势能，具有与晶格相同的周期性，而能，具有与晶格相同的周期性，而U(r)代表一种平均代表一种平均势能，是一个恒量，因此能，是一个恒量，因此V(r)应具有晶格的周期性。具有晶格的周期性。6.2 周期性周期性势场中中单电子状子状态的一般性的一般性质一、布洛赫定理一、布洛赫定理布洛赫

8、指出，布洛赫指出，处于周期性于周期性势场作用下的作用下的电子，其波函数被子，其波函数被晶格周期性晶格周期性势场所所调制，将制，将变成由一个周期性函数所成由一个周期性函数所调制的制的平面波平面波。布洛赫定理布洛赫定理：对于周期性于周期性势场则单电子子薛定薛定谔方程方程的本征函数可以写的本征函数可以写为其中其中布洛赫波布洛赫波具有晶格周期性具有晶格周期性由布洛赫定理知由布洛赫定理知说明：明：处于晶格周期性于晶格周期性势场中的中的电子，在各个原胞中子，在各个原胞中对应点上出点上出现的几率相等。的几率相等。电子可以看作是在整个晶体中自由子可以看作是在整个晶体中自由运运动，称，称为共有化运共有化运动。布

9、洛赫定理也可以表示布洛赫定理也可以表示为二、布洛赫定理的二、布洛赫定理的证明明布洛赫定理也可表示布洛赫定理也可表示为势场的周期性反映了晶格的平移的周期性反映了晶格的平移对称性，即晶格平移任意格矢称性，即晶格平移任意格矢量量时势场是不是不变的，引入描述的，引入描述这些些对称操作的算符称操作的算符T1,T2,T3。它的定它的定义为(1)对于任意函数于任意函数f(r)有有T1,T2,T3是彼此是彼此对易的易的平移任意晶格矢量平移任意晶格矢量可以看成是可以看成是T1,T2,T3分分别连续操作操作m1,m2,m3次的次的总的的结果。果。(2)在晶体中在晶体中单电子的哈密子的哈密顿量量具有晶格周期性。因具有晶格周期性。因为而中而中变量改量改变一个常数一个常数值，结果不果不变。