2021-2022学年高二物理竞赛课件：粒子被一维势垒.pptx

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1、粒子被一维势垒粒子被一维势垒2粒子被一维势垒粒子被一维势垒散射。当粒子的能量散射。当粒子的能量 时，有一半粒子时，有一半粒子被反射回去，求粒子的质量所满足的方程。被反射回去，求粒子的质量所满足的方程。0aV0 x解：第一步分区写出定态方程解：第一步分区写出定态方程提示：这是个常规题，需要求出各区的波函提示：这是个常规题，需要求出各区的波函数及反射系数，利用条件求解。可假设数及反射系数，利用条件求解。可假设并不对题目结果有并不对题目结果有影响影响。3第二步写出各区定态方程解第二步写出各区定态方程解0aV0 x第三步利用边界条件求反射系数第三步利用边界条件求反射系数有有当当 时，时，从而有从而有此

2、为质量所满足方程。解之得此为质量所满足方程。解之得4一质量为m的粒子，处在势能为的一维势场中运动，求粒子的本征能量和本征波函数。，为归一化常数）本征函数为 其中 中，粒子的能量（提示：已知在势场 另外，如果势能变为另外，如果势能变为变化吗？本征函数变化吗？本征函数呢呢？，本征能量发生，本征能量发生补充例题：补充例题：5学习要点学习要点 在经典力学中的任一力学量在经典力学中的任一力学量 是坐标是坐标 和和 动量动量 的函数，它对应量子力学中的厄米算符的函数，它对应量子力学中的厄米算符 。的本征值为力学量的可测值。的本征值为力学量的可测值。如果粒子的波函数是力学量算符如果粒子的波函数是力学量算符

3、的本征函数的本征函数,本征值为本征值为 ，则测量该粒子的力学量则测量该粒子的力学量 时，得时，得 如果粒子的波函数不是力学量算符如果粒子的波函数不是力学量算符 的的 本征函数，则测量该粒子的力学量本征函数，则测量该粒子的力学量 时，时，得到得到 的是平均值：的是平均值：6 算符算符 的厄米共轭算符的厄米共轭算符 的定义是的定义是其中其中 与与 是任意波函数。是任意波函数。算符算符 的厄米算符的定义是的厄米算符的定义是其中其中 与与 是任意波函数。比较以上两式可以看是任意波函数。比较以上两式可以看出，出，如果满足条件：如果满足条件：则是厄米算符。则是厄米算符。厄米算符具有如下性质：厄米算符具有如

4、下性质：(1)本征值是实数；本征值是实数；(2)本征函数具有正交性。本征函数具有正交性。7设力学量算符设力学量算符 的本征函数为的本征函数为 ，相应的本征，相应的本征值为值为 ：如果如果 ，则，则 是正交的：是正交的：如果如果 ，则，则 不一定是正交的。设本征不一定是正交的。设本征值相同的值相同的 个本征函数相互不正交，可将它们作个本征函数相互不正交，可将它们作线性组合，一定可以得到线性组合，一定可以得到 个新的相互正交并且个新的相互正交并且归一的本征函数。因此厄米算符的本征函数一定归一的本征函数。因此厄米算符的本征函数一定可以使之满足正交归一条件可以使之满足正交归一条件8 在一定条件下，厄米

5、算符本征函数具有完备性在一定条件下，厄米算符本征函数具有完备性厄米算符厄米算符 的本征函数具有完备性是指任意波的本征函数具有完备性是指任意波函数函数 可以通过可以通过 的所有本征函数全体集的所有本征函数全体集合合 表示为表示为其中其中如果如果 的个数为有限的的个数为有限的 ，则，则是完备的。如果是完备的。如果 ，则在，则在本征值本征值 无上限无上限的条件下的条件下 是完备的。是完备的。厄米算符厄米算符 与与 存在共同本征函数完备系的充存在共同本征函数完备系的充 分必要条件是分必要条件是 与与 对易。对易。9量子力学中的基本对易关系是量子力学中的基本对易关系是算符函数的定义是算符函数的定义是其中

6、其中10 算符算符 与与 的不确定关系为的不确定关系为其中其中不确定关系的一个重要例子是不确定关系的一个重要例子是11 一个质量为一个质量为 的粒子处于的粒子处于 的无限深的无限深 方势阱中，方势阱中，时，归一化波函数为时，归一化波函数为求求(1)在后来某一时刻在后来某一时刻 的波函数；的波函数；(2)在在 与与 时体系的平均能量；时体系的平均能量；(3)在在 时粒子时粒子处于处于 内的几率。内的几率。提示：所给波函数是体系的定态波函数吗？提示：所给波函数是体系的定态波函数吗？关键：关键：利用利用有有12 已知一维运动的粒子在态已知一维运动的粒子在态 中坐标中坐标 和动量和动量 的平均值分别为

7、的平均值分别为 和和 ，求在态，求在态中中 和和 的平均值。的平均值。提示：提示：首先首先要理解题意，同时需要知道如何通过变量代换要理解题意，同时需要知道如何通过变量代换 来使用题目所给的条件。以求动量的平均值为例来使用题目所给的条件。以求动量的平均值为例13 设一维粒子由设一维粒子由 处以平面波处以平面波 入入 射，在原点处受到势能射，在原点处受到势能 的作用。的作用。(1)写出写出波函数的一般表达式；波函数的一般表达式；(2)确定粒子在原确定粒子在原 点处满足的边界条件；点处满足的边界条件；(3)求出求出该粒子的透射该粒子的透射 系数和反射系数；系数和反射系数；(4)分别分别指出指出 与与

8、 时的量子力学效应。时的量子力学效应。提示：这是一个非常基本的题目，应该掌握！提示：这是一个非常基本的题目，应该掌握！x0解：解：(1)波函数的一般表达式波函数的一般表达式(2)在原点处满足的边界条件在原点处满足的边界条件14x0(3)求透射系数和反射系数求透射系数和反射系数其实就是根据上述方程求其实就是根据上述方程求B,C从而求得从而求得(4)当当 时，是时，是 势垒，会发生势垒，会发生Tunelling Effect.当当 时，是时，是 势阱，量子力学认为粒子有一势阱，量子力学认为粒子有一 定几率从势阱边弹回。定几率从势阱边弹回。注意用这种方法求反射注意用这种方法求反射和透射系数的和透射系数的风险风险！对于对于递增递增势垒，势垒，老老老老实实使用原实实使用原始始定义定义原因原因：概概率密度正比于波率密度正比于波矢矢k不同区间，波不同区间，波矢矢不一样不一样