初中数学竞赛试题汇编.docx

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1、2012年全国初中数学竞赛预赛试题江西省吉安市一、 选择题：（每题7分，共42分）1、化简的结果是（ ）A、2 B、 2 C、 D、2、一次考试共有5道题，考后统计如下，有81%的同学做对第1题，91%的同学做对第2题，85%的同学做对第3题，79%的同学做对第4题，74%的同学做对第5题，如果做对3题以上的（含3题）题目的同学考试合格，那么这次考试合格率的同学至少（ ）。A、70% B、 79% C、74% D、81%3、如图：在ABC中，则AN:NL:LE等于（ ）A、2：1：1 B、3：2：1 C、3：3：1 D、2：3：14、满足方程的所有非负整数解的组数有（ ）A、1 B、2 C、3

2、 D、45、如图：正方形ABCD的边长为，E、F分别是AB、BC的中点，AF分别交DE，DB于M，N,则DMN的面积为（ ）A、8 B、9 C、10 D、116、使分式的值为整数的实数x的值的个数是（ ）A、4 B、5 C、6 D、7二、填空题（每题7分，共28分）7、边长为整数，且面积的数值及周长相等的直角三角形的个数为 .8、边长为9cm, 40cm,41cm的三角形的重心到外心的距离是 9、已知二次函数,一次函数，若它们的图像对于问题任意的数k都只有一个公共点，则二次函数的解析式为 10、代数式的最小值是 三、解答题（共三大题，70分）11、已知关于x 的方程的根是整数，求满足条件的所有

3、实数k的值（20分）12、如图：在矩形ABCD中，点P在AB上，且ACP是等腰三角形，O是AC的中点，OE AB于有，点Q是OE的中点，求证：PQ CE（25分）.13、已知二次函数图像及轴交于(x1x2), 及y轴交于点C,若CAB及CBA是锐角。（1）求m的值；（2）是否可能出现CABCBA？ 若可能，求出m的值；若不可能，比较CAB及CBA的大小；（3）当CAB及CBA互余时，ABC的面积是多少？（25分）2011年全国初中数学竞赛试题(考试时间：2011年3月20日9：3011：30 满分：150分)一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个

4、选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1、设，则代数式的值为（ ）A、0 B、1 C、1 D、22、对于任意实数a, b, c, d, 定义有序实数对（a, b）及(c, d)之间的运算“”为：（a, b）（c, d）（ac+bd, ad+bc）。如果对于任意实数u, v,都有（u, v）（x, y）（u, v）,那么（x, y）为（ ）A、（0, 1） B、（1, 0） C、（1， 0） D、（0, 1）3、已知A，B是两个锐角，且满足，则实数t所有可能值的和为（ ）A、 B、 C、1 D、第4题图4、如图，点D、E分别在ABC的边

5、AB、AC上，BE、CD相交于点F，设，则及的大小关系为（ ）A、 B、C、 D、不能确定5、设，则4S的整数部分等于（ ）A、4 B、5 C、6 D、7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6、两条直角边长分别是整数a, b（其中byz； （B）、x=y=z； （C）、x=yz； （D）、xy=z6、将1,2,3,4,5,6,7,8这八个数分别填写于一个圆周八等分点上，使得圆周上任两个相邻位置的数之和为质数， 如果圆周旋转后能重合的算作相同填法，那么不同的填法有（ ）(A)、4种； (B)、 8种； (C)12种、； (D)、16种二、 填空题（每小题7分，共28分）1、若k个连续正整

6、数之和为2010，则k的最大值是 2、单位正三角形中，将其内切圆及三个角切圆（及角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则三角形剩下部分的面积为 . 3、圆内接四边形ABCD的四条边长顺次为：AB=2,BC=7,CD=6,DA=9，则四边形的面积为 .4、在123520中，适当选择+、-号，可以得到不同代数和的个数是 第 二 试一、（20分）边长为整数的直角三角形，若其两直角边长a,b是方程=0的两根，求 k的值并确定直角三角形三边之长 二、（25分）如图，自ABC内的任一点P，作三角形三条边的垂线： PDBC，PECA，PFAB，若BD=BF,CD=CE；证明：AE=AF三、（25分）已

7、知a,b,c为正整数，且为有理数，证明为整数“数学周报杯”2010年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 1若，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）2若实数a，b满足，则a的取值范围是（ ）（A）a （B）a4 （C）a或 a4 （D）a4ADCB第3题图 3如图，在四边形ABCD中，B135，C120，AB=，BC=，CD，则AD边的长为（ ）（A） （B）（C） （D）4在一列数中，已知，且当k2时，（取整符号a表示不超过实数的最大整数，例如2.6=2,0.2=0），则等于（ ）(A) 1 (B) 2(C) 3(D) 45如图，在平面直角坐标系xOy中，

8、等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，1），C（2，1），D（1，1）y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180得点P1，点P1绕点B旋转180得点P2，点P2绕点C旋转180得点P3，点P3绕点D旋转180得点P4，重复操作依次得到点P1，P2， 则点P2010的坐标是（ ） （A）（2010，2） （B）（2010，） （C）（2012，） （D）（0，2）二、填空题6已知a，则2a37a22a12 的值等于 7一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车及小轿车的正中间过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分

9、钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t 8如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 9如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D若CDCF，则 10对于i=2，3，k，正整数n除以i所得的余数为i1若的最小值满足，则正整数的最小值为 三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 11、

10、如图：ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是ABD和ACD的外接圆直径，连接EF. 求证： （第12A题）12如图，抛物线（a0）及双曲线相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且AOB的面积为3（O为坐标原点）.(1）求实数a，b，k的值；（2）过抛物线上点A作直线ACx轴，交抛物线于另一点C，求所有满足EOCAOB的点E的坐标.13求满足的所有素数p和正整数m.2009年全国初中数学江西赛区预赛试题（2009年3月22日上午9：3011：30）一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）1、已知非零实数a、b满足|2a4

11、|+|b+2|+4=2a，则a+b等于（ ）A、1 B、0 C、1 D、22、如图所示，菱形ABCD边长为a，点O在对角线AC上一点，且OA=a，OB=OC=OD=1,则a等于（ ）A、 B、1 C、 D、3、将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方形骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则关于x、y的方程组只有正数解的概率为（ ）A、 B、 C、 D、4、如图1所示，在直角梯形ABCD中，ABCD，B=90，动点P从点B出发，沿梯形的边由BCDA运动，设点P运动的路程为x，ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数图象如图2所示，则ABC的面积为（

12、 ）A、10 B、16 C、18 D、325、关于x、y的方程的整数解（x、y）的组数为（ ）A、2组 B、3组 C、4组 D、无穷多组二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6、一自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎。如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆自行车将能行驶 ；7、已知线段AB的中点为C，以点C为圆心，AB长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD=AC；再以点D为圆心，DA的长位半径作圆，及A分别相交于点F、G两点，连接FG交AB于点

13、H，则的值为 ；8、已知满足条件的五个不同的整数，若b是关于x的方程的整数根，则b的值为 ；9、如图所示，在ABC中，CD是高，CE为ACB的平分线，若AC=15，,BC=20，CD=12，则CE的长等于 10、10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实告诉两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来，若抱出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ；三、解答题（共4小题，每题20分，共80分）11、函数的图像及x轴的两个交点是否都在直线x=1的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线x=1的右侧时k的取值范围？1

14、2、在平面直角坐标系xoy中，我们把横坐标为整数，纵坐标为完成平方数的点称为“好点”，求二次函数的图像上的所有“好点”的坐标.13、如图，给定锐角ABC，BCCA，AD，BE是它的两条高，过点C作ABC的外接圆的切线l，过电D、E分别作l的垂线，垂足分别为F、G，试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论？14、n个正整数满足如下条件：且中任意n1个不同的数的算术平均数都是正整数，求n的最大值。2009年初中数学竞赛江西赛区决赛试题第一试一、 选择题（每小题7分，共42分）1、化简的值是（ ）.A、 B、 C、 D、.2、a,b,c是互不相同的实数，则代数式经化简后得到（ ）. A、 B、 C

15、、 D、.3、设实数abc, xyx，则下列四数中，值最小的一个数是（ ）.A、ax+by+cz B、cx+by+az C、bx+ay+cz D、ax+cy+bz4、若ABC的三条边长AB=3，AC=4，BC=5，分别以A、B、C为圆心作A，B，C，使得这两个圆两两相切，则A，B，C面积之比是（ ）.A、1：2：3 B、3：4：5 C、1：4：9 D、9：16：255、数组a,b,c,d,abcd由不大于20的四个质数组成，且满足a+d=b+c,这种四元组的个数是（ ）.A、6 B、8 C、12 D、16.6、若一元二次方程的两根为整数，且两根的平方和为2009，则这种方程有（ ）.A、1个

16、B、2个 C、4个 D、8个.二、填空题（每小题7分，共28分）7、从前20个正整数1，2，20中选择5个不同的数填写在一个圆周上，使得圆周上每相邻两数之和都是平方数，你的填法是（ ）.（如果写成一行，首尾的数看成相邻）.8、若f(x)= ,则f(1)+f(3)+f(5)+ +f(2009)= .9、若AD，BE为ABC的两条角平分线，I为内心，若C，D，I，E四点共圆，且DE=1，则ID= .10、设，k为自然数，令，则= .第二试三、 解答题（本题三大题，共70分）11、（20分）若关于x的方程的各根为整数，求a的值，并解此方程.12、（25分）如图，ABC中，AB=AC，D是BC上的任意

17、一点，E，F分别是边AC，AB上的点，且DEAB，DFAC，作点D关于EF的对称点F，证明：PD平分BPC，且PBCAEF.13、（25分）将前300个正整数1、2、3、4、300顺次在黑板上排成一行，然后划去两数1、2，而将这两数的和写在最后面，成为3、4、5、6、300、3；接着，再划去前两数3、4，而将这两数的和写在最后面，成为5、6、7、8、300、3、7；象这样一直进行下去，直到黑板剩下一个数为止，试求黑板上出现过所以数之和（包括每次划去的数在内）.2009年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1. 设，则 （ ）A.24. B. 25. C. .

18、D. .2在ABC中，最大角A是最小角C的两倍，且AB7，AC8，则BC（ ）A. B. . C. . D. .3用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为 （ ）A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B ）A. B. . C. . D. .5如图，在矩形ABCD中，AB3，BC2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE （ ）A. B. . C. . D. .6设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是 （ ）A.3. B. 4

19、. C. 5. D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是_ _.2 设D是ABC的边AB上的一点，作DE/BC交AC于点E，作DF/AC交BC于点F，已知ADE、DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为_ _.3如果实数满足条件，则_4已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有 对.第二试 一、（本题满分20分）已知二次函数的图象及轴的交点分别为A、B，及轴的交点为C.设ABC的外接圆的圆心为点P.（1）证明：P及轴的另一个交点为定点.（2）如果AB恰好为P的直径且，求和的值.二（本题满分25分）设CD是直角

20、三角形ABC的斜边AD上的高，、分别是ADC、BDC的内心，AC3，BC4，求.三（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角. 2008年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）.1设，且，则代数式的值为 （ ） 5. 7. 9. 11.2如图，设，为三角形的三条高，若，则线段的长为 （ ）. 4. . .3从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ ）4在中，和分别是这

21、两个角的外角平分线，且点分别在直线和直线上，则 （ ） . 和的大小关系不确定.5现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10或20，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为，则的最小值为 （ ）6、已知实数满足，则的值为（ ） . 2008. . 1.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1设，则 .2如图，正方形的边长为1，为所在直线上的两点，且，则四边形的面积为 3已知二次函数的图象及轴的两个交点的横坐标分别为，且.设满足上述要求的的最大值和最小值分别为，则 4依次将正整数1，2，3，的平方数排成一串：149162536496481100121144，

22、排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 第二试 一（本题满分20分）1、已知，对于满足条件的一切实数，不等式（1）恒成立.当乘积取最小值时，求的值.二（本题满分25分） 如图，圆及圆相交于两点，为圆的切线，点在圆上，且.（1）证明：点在圆的圆周上.（2）设的面积为，求圆的的半径的最小值.。三（本题满分25分）1、设为质数，为正整数，且求，的值.2008年全国初中“数学周报”杯数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分）1已知实数满足 ，则的值为（ ）（A）7 （B） （C） （D）52把一枚六个面编号分别为1，

23、2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数的图象及x轴有两个不同交点的概率是（ ） （A） （B） （C） （D）3有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( ) （A）6条 （B） 8条 （C）10条 （D）12条4已知是半径为1的圆的一条弦，且以为一边在圆内作正，点为圆上不同于点A的一点，且，的延长线交圆于点，则的长为（ ）（A） （B）1 （C） （D）a5将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么

24、满足要求的排法有（ ）（A）2种 （B）3种 （C）4种 （D）5种二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6对于实数u，v，定义一种运算“*”为：若关于x的方程有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是 7小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟8如图，在中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点， AD是BAC 的平分线，MFAD，则FC的长为 9ABC中，AB7，BC8，CA9，过ABC的内切圆圆心I作DEBC，分别及

25、AB，AC相交于点D，E，则DE的长为 10关于x，y的方程的所有正整数解为 三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11在直角坐标系xOy中，一次函数的图象及轴、轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得OAB的面积值等于（1） 用b表示k；（2） 求OAB面积的最小值 12是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程有有理数根？ 13是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的ABC？证明你的结论14从1，2，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值2008年全国初中数学联赛决赛试题（江西卷）（2008

26、年4月日 上午：00：）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1、从分数组中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去两个数是（ ）（A） (B) (C) (D)2、化简的结果是（ ）（A） (B) (C) (D) 第5题图3、的末尾三位数字是（ ）（A）125 (B)375 (C)625 (D)875 4、若实数满足方程组：,则有（ ）（A）x+2y+3z=0 (B) 7x+5y+2z=0 (C

27、) 9x+6y+3z =0 (D)10x+7y+z=05、将正三角形每条边四等份，然后过这些分点作平行于其它两边的直线，则以图中线段为边的菱形个数为（ ）（ A）15 (B)18 (C)21 (D)246、某人将2008看成了一个填数游戏式：28，于是他在每个框中各填写了一个两位数，结果所得到的六位数恰是一个完全立方数，则=（）（A） (B) (C) (D)二、填空题（本题满分28分，每小题7分）7、设 .8、一本书共有61页，顺次编号为1，2，61，某人在将这些数相加时，有两个两位数页码都错把个位数及十位数弄反了（即：形如的两位数被当成了两位数），结果得到的总和是2008，那么，书上这两个两

28、位数页码之和的最大值是 .9、如图，在边长为1的正三角形ABC中，由两条含圆心角的弓形弧，及边BC所围成的（火炬形）阴影部分的面积是 . 10、不超过的最大整数是 .三.解答题（共70分）11. （本题满分20分）设a为整数,使得关于x的方程a-(a+5)x+a+7=0至少有一个有理根，试求方程所有可能的有理根.12. （本题满分25分）如图，四边形中ABCD中 ，E,F分别是AB,CD的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K;求证：K是线段MN的中点. 13. （本题满分25分）120人参加数学竞赛，试题共有5道大题，已知第1、2、3、4、5题

29、分别有96、83、74、66、35人做对，如果至少做对3题便可获奖，问：这次竞赛至少有几人获奖？2007年江西省初中数学预赛试题（2007年3月24日上午9：0011：00）第一试一、选择题（本大题共六小题，每小题7分，共42分）1、20072007的末位数字是（ ）A、1 B、3 C、 D、2、化简的结果是（ ）A、 B、 C、 D、3、若为正数，已知关于的一元二次方程有两个相等的实根，则方程的根的情况是（ ）A、没有实根 B、有两个相等的实根 C、有两个不等的实根 D、根的情况不确定4、若直角三角形的三个顶点皆取自某个正十二边形的顶点，则这种直角三角形的个数为（ ）A、36 B、60 C、

30、96 D、1205、对于给定的单位正方形，若将其两条对角线以及每两条边的中线连线作出，便得到右图，则图中互为相似的三角形“对子”数有（ ）A、44 B、552 C、946 D、18926、若将三条高线长度分别为x，y，z的三角形记为（x，y，z），则在以下四个三角形（6，8，10），（8，15，17），（12，15，20），（20，21，29）中，直角三角形的个数为（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个二、填空题（本大题共4小题，每小题7分，共28分）7、满足方程的所有实数x的和为 8、边长为整数，周长为20的三角形个数是 9、在边长为1的正方形ABCD中，分别为A、B、C、D为圆心，作

31、半径为1的圆弧，将正方形分成图中的九个小块，则中心小块的面积是 10、用数字1，2，3，4排成一个四位数，使得这个数是11的倍数，则这样的四位数共有 个第二试三、解答题：（本大题共3小题，共70分，第11小题20分，第12、13小题各25分）11、试求所有的正整数，使得关于的一元二次方程的两根皆为整数12、四边形ABCD的对角线AC、BD交于P，过点P作直线，交AD于E，交BC于F，若PE=PF，且AP+AE=CP+CF，证明：四边形ABCD为平行四边形13、若数能表示成两个自然数（允许相同）的平方和，则称为“好数”，试确定在前200个正整数1，2，200中，有多少个“好数”？2007年全国初

32、中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分）1方程组的实数解的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）42口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（）（A）14（B）16（C）18（D）203已知、是三个互不相等的实数，且三个关于的一元二次方程，恰有一个公共实数根，则的值为（）（A）0（B）1（C）2（D）34已知ABC为锐角三角形，O经过点B，C，且及边AB，AC分别相交于点D，E若O的半径及ADE的外接圆的半径相等，则O一定经过ABC的（）（A）内心B）外心（C

33、）重心（D）垂心5方程的整数解（x，y）的个数是（）（A）0（B）1（C）3（D）无穷多二、填空题（共5小题，每小题6分，満分30分）6如图，点A，C都在函数（x0）的图象上，点B，D点在x轴上，且使得OAB，BCD都是等边三角形，则点D的坐标为7如图，在直角三角形ABC中，ACB90，CA4点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段BP把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是8如图，A+B+C+D+E+F+G，则9已知点A，B的坐标分别为（1,0），（2,0）若二次函数的图象及线段AB恰有一个交点，则的取值范围是10已知对于任意正整数，都有，则三、

34、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11已知抛物线和抛物线相交于点A，B两点点P在抛物线上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线上，也位于点A和点B之间（1）求线段AB的长；（2）当PQ轴时，求PQ长度的最大值ABPQOxy(第11题图)解：12已知a，b都是正整数，试问关于的方程是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明解：ABCDEFPG（第13题图）13如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足若CD，FE的延长线相交于点G，DEG的外接圆及CFG的外接圆的另一个交点为点P，连接PA，PB，PC，PD求证：(1）；（2）PABPDC证明： 14（1）是否存在正整数，使得？（2）设（3）是给定的正整数，是否存在正整数，使得？解：