全等三角形辅助线举例试题与解析答案.docx

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1、全等三角形辅助线举例试题及解析答案一选择题（共1小题）1如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且120，以D为顶点作一个60角，使其两边分别交于M交于点N，连接，则的周长为（）A5B6C7D8考点：旋转的性质；全等三角形的判定及性质；等边三角形的性质菁优网版权所有专题：压轴题分析：要求的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长至F，使，连接，通过证明，及，从而得出，的周长等于的长解答：解：是等腰三角形，且120，30，是边长为3的等边三角形，60，90，延长至F，使，连接，在和中，60，60，60，在和中，的周长是：6故选B点评

2、：此题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键二填空题（共1小题）2中，7，3，则边的中线的取值范围是25考点：全等三角形的判定及性质；三角形三边关系菁优网版权所有分析：如图，延长至E，使，就可以得出，就可以得出，在中，由三角形的三边关系就可以得出结论解答：解：如图，延长至E，使，D是的中点，在和中，3，3737+3，4210，25故答案为：25点评：本题考查了中线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形三边关系的运用，解答时运用三角形全等将线段转化在同一三角形中是关键三解答题（共13小题）3以

3、的两边、为腰分别向外作等腰和等腰，90，连接，M、N分别是、的中点探究：及的位置关系及数量关系（1）如图当为直角三角形时，及的位置关系是，线段及的数量关系是2；（2）将图中的等腰绕点A沿逆时针方向旋转（090）后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由考点：旋转的性质；全等三角形的判定及性质菁优网版权所有专题：证明题分析：（1）2，延长到G，使，连，则是平行四边形，再结合已知条件可以证明，根据全等三角形的性质可以得到2，再延长交于H，因为90，所以90这样就证明了；（2）延长至F，使，交于点P，并连接，证出，利用全等三角形的性质得到，从而证出90，得到，根据，可得到解答：（

4、1）2，；证明：延长到G，使，连，则是平行四边形，再延长交于H，180又180，再证：2，延长交于H，90，90（2）结论仍然成立证明：如图，延长至F，使，交于点P，并连接90+在和中，90又，且，点评：本题考查了旋转的性质和相似三角形的性质，利用旋转不变性找到三角形全等的条件此题综合性较强，要注意观察图象的特点4已知：如图，中，平分，且求证：考点：全等三角形的判定及性质；等腰三角形的性质菁优网版权所有专题：证明题分析：过D作于E，根据等腰三角形性质推出，90，求出，根据证，推出即可解答：解：过D作于E，90，平分在和中，90，点评：本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关

5、键是求出，主要培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目比较好，难度适中5如图，分别平分，过点E，求证：考点：全等三角形的判定及性质菁优网版权所有专题：证明题分析：先过E作，交于F，则，因为、分别平分和，所以，再根据梯形中位线定理得出解答：解：过E作，交于F，则，、分别平分和，又，是梯形的中位线，2，点评：主要考查了全等三角形的判定及性质，用到的知识点是平行线的判定和梯形中位线定理，解题的关键是要灵活运用已知条件求出6如图，内，60，40，P，Q分别在，上，并且，分别是，的平分线，求证：考点：全等三角形的判定及性质；角平分线的性质菁优网版权所有专题：证明题分析：延长到D，使，连接则5由已知条件不

6、难算出：1=2=30，3=4=40=C于是又5=3+4=80，故40于是（），所以即，等量代换即可得证解答：证明：延长到D，使，连接则5，分别是，的平分线，60，40，1=2=30，1806040=80，3=4=40=C又5=3+4=80，40在及中，1=2，40即，点评：本题实际是以角平分线为对称轴将翻折成利用对称变换解题常常选择角平分线，某一线段的垂直平分线作为对称轴作辅助线构造全等三角形是关键7如图，在四边形中，平分，求证：180考点：角平分线的性质；全等三角形的判定及性质菁优网版权所有专题：证明题分析：首先过点D作于E，过点D作交的延长线于F，由平分，根据角平分线的性质，即可得，又由，

7、即可判定，则可证得：180解答：解：过点D作于E，过点D作交的延长线于F，平分，90，在和中，C，180点评：此题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用8如图，在四边形中，点E是上的一个动点，若60，且60，判断及的关系并证明你的结论考点：全等三角形的判定及性质；等边三角形的判定菁优网版权所有专题：动点型分析：此题连接，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题解答：解：有连接，过E作交于F点60，为等边三角形，为等边三角形即，60所以120 （3分）又，60故12

8、0又60，60 （1分）在及中， （1分）则 （1分）点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形解决问题9已知的边上有两点D，E，且，求证：考点：三角形三边关系菁优网版权所有专题：证明题分析：先连接并延长至G，使，其中F是的中点，连接，可知四边形，四边形是平行四边形，延长至H，交于H运用三角形的三边关系：“两边之和大于第三边”即可进行证明解答：证明：连接并延长至G，使，其中F是的中点，连接，四边形，四边形是平行四边形，延长至H，交于H，即点评：本题考查了三角形三边关系，将证明边的大小关系的问题转化为三角形三边关系问题是解题的关键本题借助辅助线起枢纽作用10

9、已知：如图中，60，、分别是和的平分线，相交于点F求证：（1）60；（2）考点：全等三角形的判定及性质；角平分线的性质菁优网版权所有专题：证明题分析：（1）证明，求出+=60，证明+=60问题即可解决（2）证明180，得到A、E、F、D四点共圆；证明，故解答：证明：（1）、分别是和的平分线，；又60，2+2=18060=120，+=60，+=60（2）如图，连接；60，120，180，A、E、F、D四点共圆，设为O；由题意知在O中，（相等的圆周角所对的弦相等）点评：该题主要考查了三角形角平分线的性质、三角形外角的性质、四点共圆的判定及其应用等几何知识点；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高

10、的要求11如图，在中，平分，且平分于点G，于E，于F（1）证明：；（2）如果12，8，求的长考点：全等三角形的判定及性质；角平分线的性质菁优网版权所有分析：（1）连接、，证明即可得出结论；（2）由（1）可得出，且，而，代入可求得结果解答：（1）证明：连接、，平分，且平分于点G，在和中，（2）解：由（1）知，且在和中而，28+12=20，10点评：本题主要考查三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键12如图，点E为正方形的边上一点，点F为边上一点，试求的度数考点：正方形的性质；全等三角形的判定及性质菁优网版权所有分析：由四边形为正方形，可得，90，然后把绕点D顺时针旋转90得

11、到，易证得（），继而求得答案解答：解：四边形为正方形，90，把绕点D顺时针旋转90得到，如图，90，90，点M在的延长线上，在和中45点评：此题考查了正方形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定及性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用13如图所示，是等腰直角三角形，90，（1）若D为的中点，过D作分别交、于M、N，求证：；（2）若分别和、延长线交于M、N，问和有何数量关系，并证明考点：全等三角形的判定及性质；等腰直角三角形菁优网版权所有专题：常规题型分析：（1）连接，可得，可证，可得；（2）连接，可得，可证，可得解答：解：（1）连接，D为中点，C，90，90，在和中

12、，（2）连接，D为中点，C，90，90，135，180135在和中，点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键14（2007牡丹江）已知四边形中，120，60，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F当绕B点旋转到时（如图1），易证；当绕B点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明考点：全等三角形的判定及性质菁优网版权所有专题：几何综合题；压轴题分析：根据已知可以利用证明，从而得出对应角相等，对应边相等，从而得出30，为等边三角形，利用等边

13、三角形的性质及边及边之间的关系，即可推出同理图2可证明是成立的，图3不成立解答：解：，在和中，120，60，30，60，为等边三角形；图2成立，图3不成立证明图2延长至点K，使，连接，在和中，则，60，120，60，60，60，在和中，即图3不成立，、的关系是点评：本题主要考查全等三角形的判定方法，常用的方法有，等，这些方法要求学生能够掌握并灵活运用15在等边的两边、所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且60，120，探究：当M、N分别在直线、上移动时，、之间的数量关系及的周长Q及等边的周长L的关系（1）如图1，当点M、N边、上，且时，、之间的数量关系是； 此时=；（2）如图2，点M、N在

14、边、上，且当时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由（3）如图3，当M、N分别在边、的延长线上时，探索、之间的数量关系如何？并给出证明考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定及性质菁优网版权所有分析：（1）由，60，可证得是等边三角形，又由是等边三角形，易证得，然后由直角三角形的性质，即可求得、之间的数量关系 ，此时 ；（2）在的延长线上截取1，连接1可证1，即可得1，易证得60，则可证得M1，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；（3）首先在上截取1，连接1，可证1，即可得1，然后证得60，易证得M1，则可得解答：解：（1）如图1，、之间的数量关系 此时 （2分）理由：，60，是等边三角形，是等边三角形，60，120，30，90，30，2，2，22；是等边三角形，：2：3，（2）猜想：结论仍然成立 （3分）证明：在的延长线上截取1，连接1（4分）M190，1，1，M1，M1，60，120，M160，M1，11，的周长为：，（3）证明：在上截取1，连接1（4分）可证1，1，（5分）可证M160，M1，1N，（7分）（8分）点评：此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定及性质等知识此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用及辅助线的作法第 7 页