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2011年全国高中数学联赛江西省预赛试题及标准答案.pdf

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1、1/8 2011年全国高中数学联赛江西省预赛试卷一、填空题（每小题10 分，共80分）1、2011是这样的一个四位数，它的各位数字之和为4；像这样各位数字之和为4的四位数总共有个2、设数列na满足:121,2aa,且对于其中任三个连续项11,nnnaaa,都有:11(1)(1)2nnnnanaan.则通项na3、以抛物线2yx上的一点1,1M为直角顶点，作抛物线的两个内接直角三角形MAB与MCD，则线段AB与CD的交点E的坐标为4、设,1x y zRxyz，则函数23(,)f x y zxy z的最大值是5、0000sin 6 sin 42 sin66 sin786、

2、正三棱锥DABC的底面边长为4，侧棱长为8，过点A作与侧棱,DB DC都相交的截面AEF，那么，AEF周长的最小值是7、满足2272011xy的一组正整数(,)x y8、用()S n表示正整数n的各位数字之和，则20111()nS n二、解答题（共3题，合计70分）9、（20 分）、设0180ABC，且满足：sinsinsin1coscoscosABCABC，求cos2cos2cos2coscoscosABCABC的值2/8 10、（25分）如图，ABC的内心为I，,M N分别是,AB AC的中点，ABAC，内切圆I分别与边,BC CA相切于,D E；证明：,MN BI DE三线共点11、

3、（25分）在电脑屏幕上给出一个正2011边形，它的顶点分别被涂成黑、白两色；某程序执行这样的操作：每次可选中多边形连续的a个顶点（其中a是小于2011的一个固定的正整数），一按鼠标键，将会使这a个顶点“黑白颠倒”，即黑点变白，而白点变黑；(1)、证明：如果a为奇数，则可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成白色，也可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成黑色；(2)、当a为偶数时，是否也能经过有限次这样的操作，使得所有的顶点都变成一色？证明你的结论INMFEDCBA文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9

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11、，易知这种解有4 133 4 1620CC个，即总共有20个这样的四位数（注：也可直接列举）2、23n 提示：由条件得，112(1)(1)nnnnanana，所以11(1)()(1)()nnnnnaanaa，故1111nnnnaanaan，而211aa；113212111221()12311113nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaannnnnn2(1)n n；于是12112()(1)1nnaan nnn；由此得112211()()()12(1)123nnnnnaaaaaaaann.3、(1,2)提示：设221122(,),(,)A x xB x x，则文档编码:CJ3W2E8W

12、10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8

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19、，直线AB方程为21121()()yxxxxx，即1212()yxxxx x，因为MAMB，则12(1)(1)1xx，即12122()x xxx，代人方程得122()(1)yxxx，于是点(1,2)在直线AB上；同理，若设223344(,),(,)C xxD xx，则CD方程为342()(1)yxxx，即点(1,2)也在直线CD上，因此交点E的坐标为(1,2)E4、1432提示：由61223336,22 3 3 3xyzyyzzzxyy zz zx所以，623114 276xy z，即23431123432xy z，文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W

20、6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4

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27、in6 cos48 cos24 cos12cos6000000000000sin12 cos12 cos24 cos482cos6sin 24 cos24 cos484cos6sin 48 cos488cos600sin96116cos 6166、11 提示：作三棱锥侧面展开图，易知EFBC，且由周长最小，得1,A E F A共线，于是等腰DEFAEB，4AEAB，12BEABABDA，即2BE，6DE，6384EFDEBCDB，所以3EF，由14A FAE，则1111AAAEEFFA7、(38,9)提示：由于2011是43N形状的数，所以y必为奇数，而x为偶数，设2xm，2

28、1yn，代人得2428(1)2004mn n，即27(1)501mn n.而(1)n n为偶数，则2m为奇数，设21mk，则24(1)1mk k，A1FEFEDCBADCBA文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I

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31、6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4

32、W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y

33、4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2

34、Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H

35、2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I106/8 由得，(1)(1)71254n nk k，则(1)4n n为奇数，且,1n n中恰有一个是4的倍数，当4nr，为使(1)77(41)4n nrr为奇数，且7(41)125rr，只有1r，成为(1)35125k k，即(1)90k k，于是4,9,38,9nkxy；若14nr，为使(1)77(41)4n nrr为奇数，且7(41)125rr，只有1r，成为(1)21125k k，即(1)104k k，它无整解；于是(,)(38,9)x y是唯一解：22387 9201

36、1（另外，也可由x为偶数出发，使22220112009(2)7287(2)xxx为7的倍数，那么22x是7的倍数，故x是73k形状的偶数，依次取1,3,5k，检验相应的六个数即可）8、28072提示：添加自然数0，这样并不改变问题性质；先考虑由0到999这一千个数，将它们全部用三位数表示，得到集000,001,999M，易知对于每个0,1,9a，首位为a的“三位数”恰有100个：00,01,99aaa，这样，所有三位数的首位数字和为100(019)45 100.再将M中的每个数abc的前两位数字互换，成为bac，得到的一千个数的集合仍是M，又将M中的每个数a

37、bc的首末两位数字互换，成为cba，得到的一千个数的集合也是M，由此知99999910()()300 45nnS nS n今考虑四位数：在1000,1001,1999中，首位（千位）上，共有一千个1，而在0000,0001,0999中，首位（千位）上，共有一千个0，因此文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2

38、Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H

39、2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1

40、H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI

41、1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 Z

42、I1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8

43、ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8

44、 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I107/8 19991999999100()()10002()1000600 4528000nnnS nS nS n；其次，易算出，20112000()72nS n.所以，2011201110()()28072nnS nS n9、由sinsinsin1coscoscosABCABC，即sinsinsincoscoscosABCABC，平方得222sinsinsin2(sinsinsinsinsinsin

45、)ABCABBCCA222coscoscos2(coscoscoscoscoscos)ABCABBCCA所以222222(cossin)(cossin)(cossin)AABBCC2cos()cos()cos()ABBCCA，即cos2cos2cos22(coscoscos)ABCABC，所以cos2cos2cos22coscoscosABCABC10、如图，设,MN BI交于点F，连,AF AI IE EF，由于中位线MNBC，以及BF平分B，则M FM BM A，所以090AFB，因IEAE，得AFEI共圆所以AEFAIF；又注意I是ABC的内心，则090222ABCAEFAIFIA

46、BIBA.连DE，在CDE中，由于切线CDCE，所以0011809022CCEDCDECAEF，因此,D E F三点共线，即有,MN BI DE三线共点ABCDEFMNI文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10

47、文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I1

48、0文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I

49、10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6

50、I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W6I10文档编码:CJ3W2E8W10T9 HS10A9W9H2U8 ZI1H2Y4W

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4.3 金币

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