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2020年高考数学复习高中数学解题思想方法方程思想.pdf

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文档编号：55491206

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1、1 方程思想方程思想不仅是最基本的也是最重要的数学思想之一，它是从对问题的数量关系分析入手，将问题中的条件转化为数学模型（这种模型可以是方程、不等式或方程与不等式的混合组成），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获得解决的思想.利用方程思想解决数学问题时，首先要具备正确列出方程的能力，其次要具备用方程思想解题的意识.方程思想在高中数学体系中的应用主要体现在数列、解析等方面.例 1.(1)已知函数)(xf满足.2)(2)(xxfxf，求).(xf的解析式.解：此题显然是关于)(xf与)(xf的方程，凭借已知中的一个方程是无法求解出)(xf的，抓住已知中x与x互为相反数，以x代换x再造

2、一个方程xxfxf2)(2)(，得到相当于两个“未知数”)(xf与)(xf的两个方程，再进行求解.易得所求xxf2)(.这里核心是“轮换”，即以x代换x，再造一个方程.类似地有，若函数)(xf满足，xxfxf2)(2)1(，求解)(xf，我们应以x1代换x得)1(2)1(2)(xxfxf再利用方程思想求解.还有，若,)(2)1(xxfxf求)(xf等都需要方程思想求解.(2)已知 sin()23，sin()15，则tantan_.解：由已知得sin cos cos sin 23，sin cos cos sin 15，sin cos 1330，cos sin 730，第 1 页

3、，共 9 页2 tantansin coscos sin137.这里把两个已知视为关于cossin与sincos的二元一次方程组是解题的关键.（一）方程思想在数列中的应用利用方程思想解决数列问题时,基本的解题思路是待定系数法，通过设元,寻找已知与未知之间的等量关系,构造方程或方程组,然后求解方程完成未知向已知的转化。例 2.设等差数列 an 的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列 bn 的公比为 q，已知 b1a1，b22，qd，S10100.(1)求数列 an，bn 的通项公式；(2)当 d1时，记 cnanbn，求数列 cn 的前 n 项和 Tn.解(1)由题意有，10a145d10

4、0，a1d2，即2a19d20，a1d2，解得211da或a19，d29.故an2n1，bn2n1或an192n79，bn929n1.(2)由 d1，知 an2n1，bn2n1，故 cn2n12n1，于是Tn1325227239242n12n1，12Tn123225237249252n12n.可得12Tn21212212n22n12n32n32n，故 Tn62n32n1.（二）方程思想在解析几何中的应用第 2 页，共 9 页文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5

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11、6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G53 方程思想在解析几何中的应用主要体现在对圆锥曲线参数a、b、c的求解上。例 3.已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的半焦距为 c，原点 O 到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆 E 的离心率；(2)如图，

12、AB 是圆 M：(x2)2(y1)252的一条直径，若椭圆E 经过 A，B两点，求椭圆 E 的方程解(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为 bxcybc0，则原点 O到直线的距离 dbcb2c2bca，由 d12c，得 a2b2a2c2，解得离心率ca32.(2)解法一：由(1)知，椭圆 E的方程为 x24y24b2.依题意，圆心 M(2,1)是线段 AB的中点，且|AB|10.易知，AB与 x 轴不垂直，设其方程为yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2 k1)x4(2k1)24b20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x28k2k114k2，x1x242k124

13、b214k2.由 x1x24，得8k2k114k24，解得 k12.从而 x1x282b2.第 3 页，共 9 页文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10

14、H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W1

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19、10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7

20、V10W10H4 ZQ9K4K6J10G54 于是|AB|1122|x1x2|52x1x224x1x210b22.由|AB|10，得10b2210，解得 b23.故椭圆 E的方程为x212y231.解法二：由(1)知，椭圆 E的方程为 x24y24b2.依题意，点 A，B关于圆心 M(2,1)对称，且|AB|10.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x214y214b2,x224y224b2，两式相减并结合 x1x24，y1y22，得4(x1x2)8(y1y2)0.易知 AB与 x 轴不垂直，则 x1x2，所以 AB的斜率 kABy1y2x1x212.因此直线 AB的方程为 y12(x

21、2)1，代入得 x24x82b20.所以 x1x24，x1x282b2.于是|AB|1122|x1x2|52x1x224x1x210b22.由|AB|10，得10b2210，解得 b23.故椭圆 E的方程为x212y231.（三）方程思想在解决图象交点或方程根等问题中的应用函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f（x）0，就是求函数 yf（x）的零点，再如方程f（x）g（x）的解的问题可以转化为函数yf（x）与 yg（x）的交点问题，也可以转化为函数yf（x）g（x）与 x 轴的交点问题，方程f（x）a 有解，当且仅当

22、a 属于函数 f（x）的值域.例 4.已知函数 f(x)x22ext1，g(x)xe2x(x0)，其中 e 表示自然对数的底数(1)若 g(x)m有实根，求 m的取值范围；(2)确定 t 的取值范围，使得g(x)f(x)0 有两个相异实根解(1)解法一：因为 x0，所以 g(x)xe2x2 e22e，等号成立的条件是 xe.故 g(x)的值域是 2e，)，因而只需 m 2e，g(x)m就有实根解法二：作出g(x)xe2x(x0)的图象，如图所示，观察图象可知g(x)的第 4 页，共 9 页文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I

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29、码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G55 最小值为 2e，因此要使 g(x)m有实根，则只需 m 2e.解法三：由g(x)m，得x2 mxe20，此方程有大于0 的根，故m20，m24e20，等价于m 0，m 2e

30、或m 2e，故 m 2e.(2)若 g(x)f(x)0 有两个相异的实根，则函数 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点因为 f(x)x22ext 1(xe)2t 1e2，所以函数 f(x)图象的对称轴为直线 xe，开口向下，最大值为t 1e2.由题意，作出 g(x)xe2x(x0)及 f(x)x22ext 1 的大致图象，如图所示第 5 页，共 9 页文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9

31、K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ

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35、 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H

36、4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10

37、H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G56 故当 t 1e22e，即 t e22e1 时，g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点，即 g(x)f(x)0 有两个相异实根所以 t 的取值范围是(e22e1，)反思：解决图象交点及方程根问题的方法函数图象的交点、函数零点、方程的根三者之间可互相转化，解题的宗旨就是函数与方程的思想即方程的根可转化为函数

38、零点、函数图象的交点，反之函数零点、函数图象交点个数问题也可转化为方程根的问题函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的。函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系。配套练习：1.已知等差数列 an前 9 项的和为 27，a108，则 a100()A100B99 C98 D97 2.若方程2|21|0 xxt有四个不同的实数根1234,xxxx，且1234xxxx，则41322()()xxxx的取值范围是（）A(8,62)B(8,4 5 C.(62,4 5)D(62,4 53.已知定义在 R上的函数 f(x)满足：f(x)x22，x0，1，2

39、x2，x1，0，且f(x2)f(x)，g(x)2x5x2，则方程 f(x)g(x)在区间 5,1上的所有实根之和为()A5 B6 C7 D8 4.已知数列 an是一个等差数列，且a21，a55.(1)求an 的通项 an；(2)求an 前 n 项和 Sn的最大值5.已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，左、右焦点分别为F1、F2，以原点 O 为圆心，椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线xy20 相切(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设 Q为椭圆 C上不在 x 轴上的一个动点，过点 F2作 OQ 的平行线交椭圆C于 M、N两个不同的点，记QF2M的面积为 S1，OF2N的面

40、积为 S2，令 SS1S2，求 S的最大值解析：第 6 页，共 9 页文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY

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47、 1.设等差数列 an 的公差为 d，因为 an 为等差数列，且S99a527，所以 a53.又 a108，解得 5da10a55，所以 d1，所以 a100a595d98.故选 C 2.方程2|21|0 xxt有四个不同的实数根,在同一坐标系内作出函数2()|21|f xxx与函数()g xt的图象如下图所示所以14,x x是方程221xxt的两根，23,xx是方程221xxt的两根，由求根公式得41322 2,2 2xxt xxt，且 02t，所以41322()()2(2 22)xxxxtt，令()2(222)f ttt，由22(2 22)()04ttftt得65t，函数()f t在区间6

48、(0,5递增，在区间6,2)5递减，又6(0)6 2,()4 5,(2)85fff，所以所求函数的取值范围是(8,4 5，故选 B.3.第 7 页，共 9 页文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:C

49、Y5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:CY5I8W5L5Y8 HA1A7V10W10H4 ZQ9K4K6J10G5文档编码:

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4.3 金币

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