2021-2022学年高二物理竞赛课件：零级近似波函数.pptx

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1、零零级近似波函数近似波函数零级近似波函数零级近似波函数波波函函数数的的零零级级近近似似取取为为 nljm nljm 对对不不同同 m m 的的线线性性组组合合，也也可可以以就就直直接接取取为为 nljm nljm 因因为为微微扰扰 Hamilton Hamilton 量量 HH在在该该态态的的矩矩阵阵元元已是对角化的了。已是对角化的了。上述波函数是耦合表象基矢，表示成相应的上述波函数是耦合表象基矢，表示成相应的 Dirac Dirac 符号后符号后并用非耦合表象基矢表示出来。并用非耦合表象基矢表示出来。上述讨论适用于上述讨论适用于 0 0的情况，当的情况，当 =0=0时，没有自旋轨道耦合时，没

2、有自旋轨道耦合作用，因而能级不发生移动。作用，因而能级不发生移动。类氢原子类氢原子Hamilton量量对类氢原原子子在在不不考考虑核核外外电子子对核核电得得屏屏蔽蔽效效应情情况况下下，势场可可写写为：因因为 H H0 0,L,L2 2,L,Lz z 和和 S Sz z 两两两两对易，易，所以它所以它们有共同完有共同完备得本征函数（无耦合表象基矢）：得本征函数（无耦合表象基矢）：可见电子状态由可见电子状态由 n,l,mn,l,ml l,m,ms s 四个量子数确定，四个量子数确定，能级能级公式公式只与只与 n 有关有关能能级简并度，不并度，不计电子自旋子自旋时，是，是 n n2 2 度度简并，并

3、，考考虑电子自旋后，因子自旋后，因 m ms s 有二有二值，故，故 E En n 是是 2n2n2 2 度度简并。并。作作为为一一个个例例子子下下面面列列出出了了电电子子自自旋旋角角动动量量j j2 2 =1/21/2情情况况下下几几个个C-GC-G系数公式。系数公式。将将这些系数代入本征矢表达式可得：些系数代入本征矢表达式可得：耦合表象耦合表象电子子总角角动量量因因为 L L2 2,S,S2 2,J,J2 2,J,Jz z 两两两两对易且与易且与 H H0 0 对易，故体系定易，故体系定态也也可写成它可写成它们得共同本征函数：得共同本征函数：耦合表象基矢耦合表象基矢电子状子状态 用用 n,

4、l,j,m n,l,j,m 四个量子四个量子 数确定。数确定。j j 的取值范围的取值范围由于由于 j j 只取只取 0 0 的数，所以当的数，所以当 j j1 1 j j2 2 给定后，给定后，j j 的可能取值由的可能取值由下式给出：下式给出：j=jj=j1 1+j+j2 2,j,j1 1+j+j2 2-1,j-1,j1 1+j+j2 2-2,.,|j-2,.,|j1 1-j-j2 2|.|.该结论与与旧旧量量子子论中中角角动量量求求和和规则相相符符合合。j j1 1,j j2 2 和和 j j 所所满足足的上述关系称的上述关系称为三角形关系，表示三角形关系，表示为(j(j1 1,j,j2

5、 2,j),j)。求得求得 j,m j,m 后，后，J J2 2,J,Jz z 的本征值问题就得到解决。的本征值问题就得到解决。本征矢本征矢Hamilton Hamilton 量量基于相对论量子力学和实基于相对论量子力学和实验依据，验依据，L-SL-S自旋轨道作用自旋轨道作用可以表示为：可以表示为：称为自旋称为自旋 轨道耦合项轨道耦合项于是体系于是体系HamiltonHamilton量量由于由于 H H 中包含有自旋中包含有自旋-轨道耦合项，所以轨道耦合项，所以 L Lz z,S,Sz z与与 H H 不不再对易。二者不再是守恒量，相应的量子数再对易。二者不再是守恒量，相应的量子数 m ml

6、l,m,ms s都不是好量子都不是好量子数了，不能用以描写电子状态。数了，不能用以描写电子状态。现在好量子数是现在好量子数是 l,j,m l,j,m，这是因为其相应的力学量算符，这是因为其相应的力学量算符 L L2 2,J,J2 2,J,Jz z 都与都与 H H 对易的缘故。对易的缘故。证：证：所以所以 L L2 2,J,J2 2,J,Jz z 都与都与 HH对易从而也与对易从而也与 H H 对易。对易。微扰法求解微扰法求解因因为 H H0 0的本征的本征值是是简并的，并的，因此需要使用因此需要使用简并微并微扰法法求解。求解。H H0 0 的的波波函函数数有有两两套套：耦耦合合表表象象波波函

7、函数数和和非非耦耦合合表表象象波波函函数数。为方便方便计，我，我们选取耦合表象波函数作取耦合表象波函数作为零零级近似波函数。近似波函数。之之所所以以方方便便，是是因因为微微扰 Hamilton Hamilton 量量 HH在在耦耦合合表表象象矩矩阵是是对角角化化的的，而而简并并微微扰法法解解久久期期方方程程的的本本质就就是是寻找找正正确确的的零零级波波函函数数是是 HH对角化。角化。这样我我们就可以省去求解久期方程的步就可以省去求解久期方程的步骤。令：令：展开系数展开系数满足如下方程：足如下方程：其中其中 矩矩阵元元下面我下面我们计算此矩算此矩阵元元其中：其中：代入关于代入关于Cljm的方的方

8、程得：程得：为书写写简捷将捷将 ljlj m m用用 l j m l j m 代替代替由于由于 C Cljm ljm 0 0，所以能量一所以能量一级修正级修正（3 3）光谱精细结构）光谱精细结构1.1.简并性简并性由上式由上式给出的能量一出的能量一级修正可以看出，修正可以看出，L-SL-S耦合使耦合使原来原来简并能并能级分裂开来，分裂开来，简并消除，但是是部分并消除，但是是部分消除。消除。这是因是因为 E Enljnlj(1)(1)仍与仍与 m m 无关，同一无关，同一j j值，m m 可取可取 2j+12j+1个个值，所以，所以还有有 2j+12j+1度度简并。并。精细结构精细结构对给定的定

9、的 n,n,值，j=j=(1/2)(1/2)有二有二值 =0=0除外除外具有相同具有相同 n,n,的能级有二个的能级有二个由于由于(r)(r)通常很小，通常很小，所以所以这二个能二个能级间距距很小，很小，这就是就是产生精生精细结构的原因。构的原因。例例:钠原子钠原子 2p 2p 项精细结构项精细结构 求求 58905896钠原子钠原子 2P 项的精细结构项的精细结构关关 于于 上上 式式 积 分分 具具 体体 计 算算 参参 见 E.U.E.U.Condon Condon and and G.H.G.H.Shortley,The Theory of Atomic Spectra,p.120-125.Shortley,The Theory of Atomic Spectra,p.120-125.原能级分裂为：原能级分裂为：n,j=+1/2j=1/2