7.1.2　复数的几何意义.pptx

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1、7.1.27.1.2复数的几何意义复数的几何意义 目标导航目标导航 核心知识目标核心知识目标核心素养目标核心素养目标1.1.理解复数的几何意义理解复数的几何意义,会用复平面会用复平面内的点和向量来表示复数内的点和向量来表示复数.2.2.了解复数模的概念及几何意义了解复数模的概念及几何意义,会会求复数的模求复数的模.3.3.了解共轭复数的概念及意义了解共轭复数的概念及意义.通过复数代数形式及其几何意义的通过复数代数形式及其几何意义的理解、复数模的运用理解、复数模的运用,共轭复数的概共轭复数的概念的理解念的理解,发展数学抽象、直观想象、发展数学抽象、直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养逻辑推理及

2、数学运算的核心素养.新知探究新知探究素养启迪素养启迪课堂探究课堂探究素养培育素养培育新知探究新知探究素养启迪素养启迪1.1.复平面复平面(1)(1)定义定义:建立了建立了 来表示复数的平面叫做复平面来表示复数的平面叫做复平面.(2)(2)实轴实轴:在复平面内在复平面内,叫做实轴叫做实轴,单位是单位是 ,实轴上的点都表示实轴上的点都表示 .(3)(3)虚轴虚轴:在复平面内在复平面内,叫做虚轴叫做虚轴,单位是单位是 ,除除 外外,虚轴上的点虚轴上的点都表示都表示 .(4)(4)原点原点:原点原点(0,0)(0,0)表示表示 .2.2.复数的几何意义复数的几何意义(1)(1)复数复数z=a+biz=

3、a+bi一一对应复平面内的点一一对应复平面内的点 .直角坐标系直角坐标系x x轴轴1 1实数实数y y轴轴i i原点原点纯虚数纯虚数实数实数0 0Z(a,b)Z(a,b)(2)(2)复数复数z=a+biz=a+bi一一对应平面向量一一对应平面向量 .3.3.复数的模复数的模相等相等4.4.共轭复数共轭复数(1)(1)定义定义:一般地一般地,当两个复数的实部当两个复数的实部 ,虚部虚部 时时,这两个这两个复数叫做互为共轭复数复数叫做互为共轭复数.虚部不等于虚部不等于0 0的两个共轭复数也叫做共轭虚数的两个共轭复数也叫做共轭虚数.互为相反数互为相反数(3)(3)性质性质:两个共轭复数的对应点关于两

4、个共轭复数的对应点关于 对称对称.实轴实轴它本身它本身小试身手小试身手B B(A)(A)第一象限第一象限(B)(B)第二象限第二象限(C)(C)第三象限第三象限(D)(D)第四象限第四象限D D解解析析:由由题题意意知知点点A A的的坐坐标标为为(6 6,5 5),点点B B的的坐坐标标为为(-2 2,3 3).由由中中点点坐坐标标公公式式,得线段得线段ABAB的中点的中点C C的坐标为的坐标为(2,4),(2,4),故点故点C C对应的复数为对应的复数为2+4i.2+4i.故选故选C.C.3.3.在复平面内在复平面内,复数复数6+5i,-2+3i6+5i,-2+3i对应的点分别为对应的点分别

5、为A,B.A,B.若若C C为线段为线段ABAB的中点的中点,则则点点C C对应的复数是对应的复数是()(A)4+8i(A)4+8i (B)8+2i (B)8+2i(C)2+4i(C)2+4i (D)4+i (D)4+iC C答案答案:9 9课堂探究课堂探究素养培育素养培育探究点一探究点一复平面内的点同复数的对应关系复平面内的点同复数的对应关系(1)(1)在复平面的第二象限内在复平面的第二象限内;(2)(2)在复平面内的在复平面内的x x轴上方轴上方.解解:点点Z Z在在x x轴轴上上,所所以以a a2 2-2 2a a-1 15 5=0 0且且a a+3 30 0,所所以以a a=5 5.故

6、故a a=5 5时时,点点Z Z在在x x轴上轴上.变变式式训训练练1 1-1 1:本本例例中中题题设设条条件件不不变变,求求复复数数z z表表示示的的点点Z Z在在x x轴轴上上时时,实实数数a a的值的值.变变式式训训练练1 1-2 2:本本例例中中题题设设条条件件不不变变,求求复复数数z z表表示示的的点点Z Z在在y y轴轴上上时时,实实数数a a的值的值.变式训练变式训练1-3:1-3:本例中题设条件不变本例中题设条件不变,如果点如果点Z Z在直线在直线x+y+7=0 x+y+7=0上上,求实数求实数a a的值的值.方法总结方法总结利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤利用复数与复

7、平面内点的对应关系解题的步骤(1)(1)首先确定复数的实部与虚部首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的横、纵坐标从而确定复数对应点的横、纵坐标.(2)(2)根据已知条件根据已知条件,建立实部与虚部满足的关系建立实部与虚部满足的关系,通过解方程通过解方程(组组)或不等式或不等式(组组)求解求解.即时训练即时训练1-1:1-1:已知复数已知复数z=(az=(a2 2-1)+(2a-1)i,-1)+(2a-1)i,其中其中a aR R.当复数当复数z z在复平面内对在复平面内对应的点应的点Z Z满足下列条件时满足下列条件时,求求a a的值的值(或取值范围或取值范围).).(1)(1)在实轴上

8、在实轴上;即时训练即时训练1-1:1-1:已知复数已知复数z=(az=(a2 2-1)+(2a-1)i,-1)+(2a-1)i,其中其中a aR R.当复数当复数z z在复平面内对在复平面内对应的点应的点Z Z满足下列条件时满足下列条件时,求求a a的值的值(或取值范围或取值范围).).(2)(2)在第三象限内在第三象限内.备用例备用例1 1(1)(1)实部为实部为-2,-2,虚部为虚部为1 1的复数的共轭复数所对应的点位于复平面的复数的共轭复数所对应的点位于复平面的的()(A)(A)第一象限第一象限(B)(B)第二象限第二象限(C)(C)第三象限第三象限(D)(D)第四象限第四象限解析解析:

9、(1)(1)实部为实部为-2,-2,虚部为虚部为1 1的复数的共轭复数所对应的复平面内的点为的复数的共轭复数所对应的复平面内的点为(-2,-1),(-2,-1),位于第三象限位于第三象限.故选故选C.C.答案答案:(1)C(1)C(2)i(2)i为虚数单位为虚数单位,设复数设复数z z1 1,z,z2 2在复平面内对应的点关于原点对称在复平面内对应的点关于原点对称,若若z z1 1=2-3i,=2-3i,则则z z2 2=.解析解析:(2)(2)可知可知z z1 1=2-3i=2-3i在复平面内对应点为在复平面内对应点为(2,-3),(2,-3),再由再由z z1 1,z,z2 2对应的点关对

10、应的点关于原点对称易知于原点对称易知z z2 2对应点的坐标为对应点的坐标为(-2,3),(-2,3),所以所以z z2 2=-2+3i.=-2+3i.答案答案:(2)-2+3i(2)-2+3i复数与复平面内向量的关系复数与复平面内向量的关系探究点二探究点二 方法技巧方法技巧(1)(1)根据复数与平面向量的对应关系根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点为原点时可知当平面向量的起点为原点时,向向量的终点对应的复数即为向量对应的复数量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后反之复数对应的点确定后,从从原点引出的指向该点的有向线段原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对

11、应的向量即为复数对应的向量.(2)(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时解决复数与平面向量一一对应的题目时,一般以复数与复平面内的点一般以复数与复平面内的点一一对应的关系为工具一一对应的关系为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.(A)1+i,1+i(A)1+i,1+i(B)2+i,2+i(B)2+i,2+i(C)1+i,2+i(C)1+i,2+i(D)2+i,1+i(D)2+i,1+i 备用例备用例2 2 在复平面内在复平面内,复数复数i,1,4+2ii,1,4+2i对应的点分别是对应的点分别是A,B,C.A,B,C.求平行四边形求平行四边形A

12、BCDABCD的顶点的顶点D D所对应的复数所对应的复数.复数的模及其几何意义复数的模及其几何意义探究点三探究点三 (1)(1)求求|z|z1 1|与与|z|z2 2|的值的值,并比较它们的大小并比较它们的大小;(2)(2)设复平面内设复平面内,复数复数z z满足满足|z|z2 2|z|z|z|z1 1|,|,复数复数z z对应的点对应的点Z Z的集合是什么的集合是什么?解解:(2)|z(2)|z2 2|z|z|z|z1 1|,|,由由(1)(1)知知1 1|z|z|2.2.因为不等式因为不等式|z|z|1 1的解集是圆的解集是圆|z|=1|z|=1上和该圆外部所有点的集合上和该圆外部所有点的

13、集合,不等式不等式|z|z|2 2的解集是圆的解集是圆|z|=2|z|=2上和该圆内部所有点组成的集合上和该圆内部所有点组成的集合,所以满足条件所以满足条件1 1|z|z|2 2的点的点Z Z的集合是以原点的集合是以原点O O为圆心为圆心,以以1 1和和2 2为半径的两圆所夹的圆为半径的两圆所夹的圆环环(包括边界包括边界),),如图所示如图所示.方法总结方法总结(1)(1)两个复数不全为实数时不能比较大小两个复数不全为实数时不能比较大小,而任意两个复数的模均可比较而任意两个复数的模均可比较大小大小.(2)(2)复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离

14、,这可以类比实数的这可以类比实数的绝对值绝对值,也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解.(3)|z(3)|z1 1-z-z2 2|表示表示z z1 1,z,z2 2所表示的两点间的距离所表示的两点间的距离,|z|=r,|z|=r表示以原点为圆心表示以原点为圆心,以以r r为半径的圆为半径的圆.即即时时训训练练3 3-1 1:已已知知复复数数z z满满 足足|z z|2 2-2 2|z z|-8 8=0 0,则则复复数数z z对对应应点点的的轨轨迹迹为为()(A)(A)一个圆一个圆(B)(B)线段线段(C)(C)两点两点 (D)(D)两个圆两个圆解析

15、解析:因为因为|z|z|2 2-2|z|-8=0,-2|z|-8=0,所以所以(|z|-4)(|z|+2)=0,(|z|-4)(|z|+2)=0,所以所以|z|=4,|z|=4,表示一个表示一个圆圆.故选故选A.A.即时训练即时训练3-2:3-2:已知已知3-4i=x+yi(x,y3-4i=x+yi(x,yR R),),则则|1-5i|,|x-yi|,|y+2i|1-5i|,|x-yi|,|y+2i|的大小关的大小关系为系为 .答案答案:|y+2i|x-yi|1-5i|y+2i|x-yi|1-5i|备用例备用例3 3 已知复数已知复数z=3+ai(az=3+ai(aR R),),且且|z|4,

16、|z|4,求实数求实数a a的取值范围的取值范围.课堂达标课堂达标A A1.1.已知复数已知复数z z在复平面上对应的点的坐标为在复平面上对应的点的坐标为(1,-1),(1,-1),则则z z等于等于()(A)1-i(A)1-i (B)1+i (B)1+i(C)-1-i(C)-1-i(D)-1+i(D)-1+i解析解析:复数复数z z在复平面上对应的点的坐标为在复平面上对应的点的坐标为(1,-1),(1,-1),所以所以z z的实部为的实部为1,1,虚部虚部为为-1,-1,所以所以z=1-i.z=1-i.故选故选A.A.B B2.2.若复数若复数a+1+(1-a)ia+1+(1-a)i在复平面

17、内对应的点在第二象限在复平面内对应的点在第二象限,则实数则实数a a的取值范围的取值范围是是()(A)(-(A)(-,1),1)(B)(-(B)(-,-1),-1)(C)(1,+(C)(1,+)(D)(-1,+(D)(-1,+)3.3.已知已知0a2,0a2,复数复数z z的实部为的实部为a,a,虚部为虚部为1,1,则则|z|z|的取值范围是的取值范围是.4.4.若复数若复数z z1 1=2+bi=2+bi与复数与复数z z2 2=a-4i=a-4i互为共轭复数互为共轭复数,则则a=a=,b=,b=.解析解析:因为因为z z1 1与与z z2 2互为共轭复数互为共轭复数,所以所以a=2,b=4.a=2,b=4.答案答案:2 24 4