数值分析简明教程---课后答案.docx

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1、0.1算法1、 p.11，题1用二分法求方程在1,2内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】由二分法的误差估计式，得到.两端取自然对数得，因此取，即至少需二分9次.求解过程见下表。符号0121.5+1234567892、p.11，题2 证明方程在区间0,1内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过。【解】由于，那么在区间0,1上连续，且，即，由连续函数的介值定理知，在区间0,1上至少有一个零点.又，即在区间0,1上是单调的，故在区间0,1内有唯一实根.由二分法的误差估计式，得到.两端取自然对数得，因此取，即至少需二分7次.求解过程见下表。符号0010.512345670.2误差1p

2、.12，题8e=2.71828，试问其近似值，x2=2.71，各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。【解】有效数字：因为，所以有两位有效数字；因为，所以亦有两位有效数字；因为，所以有四位有效数字；评1经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字；2近似数的所有数字并非都是有效数字.2p.12，题9设，均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限)及相对误差(限)。【解】，；评经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位.3p.12，题10，的绝对误差限均为，问它们各有几位有效数字？【解】由绝对误差限均为知有效数字应从小数点后两位算起，故，有三位；有一位；而，

3、也是有一位。1.1泰勒插值和拉格朗日插值1、p.54，习题1求作在节点的5次泰勒插值多项式，并计算和估计插值误差，最后将有效数值及准确解进展比拟。【解】由，求得；，所以插值误差：，假设，那么，而，精度到小数点后5位，故取，及准确值相比拟，在插值误差的精度内完全吻合！2、p.55，题12给定节点，试分别对以下函数导出拉格朗日余项：1；2【解】依题意，拉格朗日余项公式为 1 ；2因为，所以 3、p.55，题13依据以下数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算的近似值并估计误差。0120.320.340.360.3145670.3334870.352274【解】依题意，拉格朗日余项公式为 （1） 线

4、性插值因为在节点和之间，先估计误差；须保存到小数点后4为，计算过程多余两位。（2） 抛物线插值插值误差：抛物线插值公式为： 经四舍五入后得：，及准确值相比拟，在插值误差范围内完全吻合！1.3分段插值及样条函数1、p.56，习题33设分段多项式 是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数b，c的值.【解】依题意，要求S(x)在x=1节点函数值连续：，即： 一阶导数连续：，即：解方程组1和2，得，即由于，所以S(x) 在x=1节点的二阶导数亦连续。2、 函数 的一组数据，和，1求其分段线性插值函数；2计算的近似值，并根据余项表达式估计误差。【解】1依题意，将x分为0,1和1,2两段，对应的插值

5、函数为，利用拉格朗日线性插值公式，求得2，而，实际误差为：。由,可知，那么余项表达式1.4 曲线拟合1、p.57，习题35用最小二乘法解以下超定方程组：【解】构造残差平方和函数如下：分别就Q对x和y求偏导数，并令其为零：解方程组1和2，得2、p.57，习题37用最小二乘法求形如 的多项式，使之及以下数据相拟合。【解】令，那么为线性拟合，根据公式(p.39,公式43)，取m=2，a1=0，N=5，求得依据上式中的求和项，列出下表xiyiXi (=xi2)Xi2(=xi4)Xi yi (=xi2yi)191936113032168592532.362539062520217.53149961923

6、521470893873.31444105845.24497.81936189340.8157271.45327369321.5将所求得的系数代入方程组1和2，得即：。2.1 机械求积和插值求积1、p.94，习题3确定以下求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度：【解】1令时等式准确成立，可列出如下方程组：解得：，即：，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式1具有3次代数精度。2令时等式准确成立，可列出如下方程组：解得：，即：，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式2具有3次代数精度。3令时等式准确成立，可解得：即： ，可以验证，对公式亦成立，而对不成立

7、，故公式3具有2次代数精度。2、p.95，习题6给定求积节点 试构造计算积分的插值型求积公式，并指明该求积公式的代数精度。【解】依题意，先求插值求积系数：插值求积公式：当，左边=；右边=；左=右；当，左边=；右边=；左=右；当，左边=；右边=；左右；故该插值求积公式具有一次代数精度。2.2 梯形公式和Simpson公式1、p.95，习题9设已给出的数据表，x0.000.250.500.751.00f(x)1.000 001.655 341.551 521.066 660.721 59分别用复化梯形法及复化辛普生法求积分的近似值。【解】1用复化梯形法：2用复化辛普生法： 2、p.95，习题10设

8、用复化梯形法计算积分，为使截断误差不超过，问应当划分区间【0,1】为多少等分？如果改用复化辛普生法呢？ 【解】1用复化梯形法， ，设需划分n等分，那么其截断误差表达式为：依题意，要求，即，可取。2用复化辛普生法， ，截断误差表达式为：依题意，要求，即，可取，划分8等分。2.3 数值微分1、p.96，习题24导出三点公式(51)、(52)和(53)的余项表达式【解】如果只求节点上的导数值，利用插值型求导公式得到的余项表达式为由三点公式(51)、(52)和(53)可知，那么2、p.96，习题25设已给出的数据表，x1.01.11.2f(x)0.25000.22680.2066试用三点公式计算的值，

9、并估计误差。【解】，用三点公式计算微商：用余项表达式计算误差3、p.96，习题26设，分别取步长，用中点公式52计算的值，令中间数据保存小数点后第6位。【解】中心差商公式：，截断误差：。可见步长h越小，截断误差亦越小。(1) ,那么(2) ,那么(3) ,那么而准确值，可见当时得到的误差最小。在时反而误差增大的原因是及很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失。因此，从舍入误差的角度看，步长不宜太小。3.1 Euler格式1、p.124，题1列出求解以下初值问题的欧拉格式，取；，取；【解】1；2。2、p.124，题2取，用欧拉方法求解初值问题，。【解】欧拉格式：；化简后，计算结果见下表。n012

10、3xn0.00.20.40.6yn1.00.80.61440.46133、p.124，题3取，用欧拉方法求解初值问题，。并及准确解比拟计算结果。【解】欧拉格式：；化简后，计算结果见下表。1、p.124，题7用改良的欧拉方法求解上述题2，并比拟计算结果。【解】因为，且，那么改良的欧拉公式：计算结果见下表。n0123xn0.00.20.40.6yp1.00.67300.51470.3941yc0.760.70920.55640.4319yn0.880.69110.53560.413及原结果比拟见下表 n0123xn0.00.20.40.6yn1.00.80.61440.4613yn(改良)0.88

11、0.69110.53560.4133.3 龙格-库塔方法1、p.124，题11用四阶经典的龙格-库塔方法求解初值问题，试取步长计算的近似值，要求小数点后保存4位数字。【解】四阶经典的龙格-库塔方法公式：列表求得如下：nxnyn00.02.00010.22.300420.42.46544.1 迭代法及收敛定理1、p.153，题1试取，用迭代公式，求方程的根，要求准确到。【解】迭代计算结果列于下表kxk|xk-xk-1|0.001kxk|xk-xk-1|0.00111.538460.53846N61.365930.00937N21.295020.24344N71.370090.00416N31.4

12、01820.10680N81.368240.00185N41.354210.04761N91.369060.00082Y51.375300.02109N因为，所以。2、p.153，题2证明方程有且仅有一实根。试确定这样的区间，使迭代过程对均收敛。【证明】设：，那么当时，且一阶导数连续， ，所以迭代过程对均收敛。压缩映像定理，方程有且仅有一实根。3、p.153，题4证明迭代过程对任意初值均收敛于。【证明】设：，对于任意，因为，所以。一阶导数， 根据压缩映像定理，迭代公式对任意初值均收敛。假设，对迭代式两边取极限，那么有，那么，解得，因不在范围内，须舍去。故。4.2 牛顿迭代法1、p.154，题1

13、7试用牛顿迭代法求以下方程的根，要求计算结果有4位有效数字：1，2，【解】1设，那么，牛顿迭代公式：，迭代计算过程见以下表。kxk|xk-xk-1|0.0001kxk|xk-xk-1|0.000111.888890.11111N31.879390.00006Y21.879450.00944N因为，所以。2设，那么，牛顿迭代公式：，迭代计算过程见以下表。kxk|xk-xk-1|0.0001kxk|xk-xk-1|0.00110.268940.73106N30.257530.00014N20.257390.01155N40.257530.00000Y因为，所以。2、p.154，题18应用牛顿法于方

14、程，导出求立方根的迭代公式，并证明该迭代公式具有二阶收敛性。【证明】1设：，那么，对任意，牛顿迭代公式2由以上迭代公式，有：。设 ，可见该迭代公式具有二阶收敛性。5.1 线性方程组迭代公式1、p.170，题1用雅可比迭代及高斯-赛德尔迭代求解方程组：，要求结果有3位有效数字。【解】雅可比迭代公式：，迭代计算结果列于下表。?000-12/31/22/31/2N21/21/61/61/3N311/181/41/91/12N47/127/361/361/18N50.601850.208330.018520.01389N60.597220.199080.004630.00925N70.600310.2

15、02190.003090.00231N80.599540.199850.000770.00154N90.600050.200230.000510.00038N100.599920.199980.000030.00025Y由上表可见，所求根皆为小数点后第1位不为零的小数，要取3位有效数，那么误差限为。高斯-赛德尔迭代公式：，迭代计算结果列于下表。?000-12/31/62/31/6N20.61110.1944N30.60190.19910.00920.0047N40.60030.19990.00160.0008N50.60000.19990.00030.0000Y2、p.171，题7取，用松弛法

16、求解以下方程组，要求精度为。【解】欧先写出高斯-赛德尔迭代：引入松弛因子，得将方程组1代入2，并化简计算结果见下表。?0000-152.5-3.12552.53.125N21.406252.65625-2.14844N32.158203.03223-2.28882N41.611733.15872-2.19860N51.635773.24423-2.19187N61.549593.28508-2.17800N71.532843.30793-2.17320N81.515613.31978-2.17001N91.508803.32615-2.16847N01.504533.32951-2.16762

17、N11.502453.33130-2.16717N21.501293.33225-2.16694N31.500693.33276-2.16672N41.500373.33306-2.16676N51.500163.33318-2.16670N61.500103.33325-2.16668N71.500053.33329-2.166680.000050.000040.00000Y迭代解：准确解：5.1 线性方程组迭代公式1、p.170，题2试列出求解以下方程组的雅可比迭代公式及高斯-赛德尔迭代公式，并考察迭代过程的收敛性。【解】1雅可比迭代公式： (1)，迭代收敛。2高斯-赛德尔迭代公式： (2

18、)将方程组1带入2，经化简后，得： (3)，迭代收敛。2、p.171，题5分别用雅可比迭代及高斯-赛德尔迭代求解以下方程组：12【解】1雅可比迭代： ，,不收敛。高斯-赛德尔迭代： 或 ，,不收敛。2雅可比迭代：，,不收敛。高斯-赛德尔迭代： 或 ,不收敛。3、p.171，题6加工上述题5的方程组，比方调换方程组的排列顺序，以保证迭代过程的收敛性。【解】加工后结果如下：12方程组1的雅可比迭代：，迭代收敛。方程组1的高斯-赛德尔迭代：，迭代收敛。方程组2的雅可比迭代：，迭代收敛。方程组1的高斯-赛德尔迭代：，迭代收敛。6.1 高斯消元法1、p.198，题2用选列主元高斯消元法求解以下方程组：12【解】1所以：，,.2所以：，,.2、p.199，题9计算以下三阶坡度阵的条件数：1。【解】令：，先求A-1。，所以 最后求得条件数为：第 14 页