2021-2022学年高二物理竞赛课件：量子力学之Schrodinger方程的矩阵形式.pptx

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1、SchrodingerSchrodinger方程的矩阵形式方程的矩阵形式左乘左乘 u um m*(t)*(t)对对 x x 整个空间积分整个空间积分按力学量算符按力学量算符 Q Q的本征函数展开的本征函数展开SchrodingerSchrodinger方程的矩阵形式方程的矩阵形式这里这里 H H 都是矩阵都是矩阵简写简写在线性代数中，我们已经知道如上方程组在线性代数中，我们已经知道如上方程组有非平庸解的条件有非平庸解的条件是方是方程组系数构成的程组系数构成的行列式行列式等于零等于零首先，这个方程组，肯定存在一组解。即首先，这个方程组，肯定存在一组解。即未知数全部为零未知数全部为零。这组。这组解

2、在线性代数中被称之为解在线性代数中被称之为平庸解平庸解。在物理上，意味着波函数为常。在物理上，意味着波函数为常数零，这是没有意义的。因此我们把注意力主要放在求数零，这是没有意义的。因此我们把注意力主要放在求非平庸解非平庸解补充补充:行列式：行列式：设有一设有一方阵方阵B行列式是一个行列式是一个多元函数多元函数，其自变量是方阵阵列中的，其自变量是方阵阵列中的所有所有元素。现元素。现在给出几个最简单行列式的求法在给出几个最简单行列式的求法如下记法称为方阵如下记法称为方阵B的行列式的行列式交叉乘再相减交叉乘再相减总之，行列式是方阵元素的总之，行列式是方阵元素的乘积和式乘积和式由于行列式是方阵各项的由

3、于行列式是方阵各项的乘积和式乘积和式，因此如上的行列式其实是一，因此如上的行列式其实是一个关于本征值个关于本征值 的的幂级数幂级数，即以上等式具有如下的形式，即以上等式具有如下的形式这是一个关于这是一个关于 （本征值）的高次线性方程，我们称为（本征值）的高次线性方程，我们称为久期方程久期方程。由于由于F Fmnmn都是确定的，因此以上行列式的取值由本征值的都是确定的，因此以上行列式的取值由本征值的 决定。要决定。要使行列式等于零，则必然要对使行列式等于零，则必然要对 的取值的取值有所限定有所限定。因此。因此为了使原来为了使原来的线性方程组具有非平庸解的线性方程组具有非平庸解，我们首先要找到满足

4、如上等式的本征，我们首先要找到满足如上等式的本征值值 。只要求出只要求出久期方程的根久期方程的根，我们就找到了符合如上行列式等式的，我们就找到了符合如上行列式等式的本本征值征值求解此久期方程得到一组求解此久期方程得到一组值：值：1 1,2 2,.,.,n n,.,.就是就是F F的的本征值。本征值。在这里我们看到了从另一个角度求解本征值的方法。再次在这里我们看到了从另一个角度求解本征值的方法。再次强调强调一下一下，这里求得的本征值与前面使用本征值方程求得的本征值，这里求得的本征值与前面使用本征值方程求得的本征值是是完全相同完全相同的。我们只不过是的。我们只不过是另一表象另一表象下求解相同的问题

5、。下求解相同的问题。将求得的求其方程的根将求得的求其方程的根 分别代入原齐分别代入原齐次线性方程组次线性方程组求解以上的方程组，我们就可以得到一求解以上的方程组，我们就可以得到一组解。即算符组解。即算符 在在Q表象下的本征矢量表象下的本征矢量本征值本征值坐标表象坐标表象本征方程本征方程Q表象表象本征代数方程组本征代数方程组求解微分方程求解微分方程求解线求解线性代数性代数方程组方程组久期久期方程方程波函数标波函数标准条件准条件此时此时m m只能取只能取-1-1，0 0，1 1。根据前面的例子，我们已经知道。根据前面的例子，我们已经知道L L2 2,L,Lz z的共同本征函数只有的共同本征函数只有

6、 Y Y1111,Y,Y1010,Y,Y1-11-1.在在 L L2 2,L,Lz z 的共同表象中的的共同表象中的矩阵形式就特别简单矩阵形式就特别简单。即可以记为：即可以记为：例：求例：求 L Lx x本征态在本征态在 L2,Lz共同共同表象中的矩阵表示，只讨论表象中的矩阵表示，只讨论(=1)=1)情况。情况。我们还知道我们还知道Lx在这个共同表象下的矩阵形式在这个共同表象下的矩阵形式因此在这个共同表象下，因此在这个共同表象下，L Lx x的本征方程为：的本征方程为：欲得欲得a1 1,a2 2,a3 3 有不全为零的解，必须要求系数行列式等于零有不全为零的解，必须要求系数行列式等于零把等号左边的项移到右边把等号左边的项移到右边利用公式利用公式可以得到可以得到解得本征值解得本征值取取=代入本征方程得：代入本征方程得：我们可以通过归一化条件确定我们可以通过归一化条件确定 a2 2解得：解得：。则则 L Lx x 属于本征属于本征值值 的本征态可记为的本征态可记为：可以取实数得可以取实数得同理得另外两个本征值同理得另外两个本征值 分别代入本征方程，也可得分别代入本征方程，也可得到相应的本征函数到相应的本征函数=-=-，0 0