高等数学(上册)教案17-不定积分的概念和性质.docx

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1、第4章 不定积分不定积分的概念和性质 【教学目的】：1. 理解原函数的概念；2. 理解不定积分的定义，及几何意义；3. 掌握不定积分的基本公式和性质；4. 会用直接积分法计算不定积分。【教学重点】：1. 原函数的概念；2. 不定积分的概念及几何意义；3. 不定积分的基本公式和性质。【教学难点】：1. 基本积分公式；2. 用直接积分法计算不定积分。【教学时数】：2学时【教学过程】：4.1.1原函数及不定积分定义1 如果在区间I上，可导函数的导数为，即或（），那么函数就称为(或)在区间I上的原函数如果有一个原函数，那么就有无穷多个原函数设是的另一个原函数，则任意的，有于是所以(为某个常数)这表明及

2、只差一个常数因此当为任意常数时，表达式 就可以表示的全体原函数，也就是说，的全体原函数所组成的集合，即函数族定义2 如果是在某区间上的一个原函数，那么（为任意常数）称为在该区间上的不定积分即=其中符号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量由上面的讨论可知，若是的一个原函数，那么=（为任意常数）因此，求函数的不定积分，只需求出被积函数的一个原函数再加上积分常数，求不定积分的方法称为积分法 从不定积分的定义，即可知不定积分及微分(求导)互为逆运算：由于是的原函数，所以或又由于是的原函数，所以由此可见微分运算(以记号表示)及求不定积分的运算(简称积分运算以记号表示)是互逆的，记号及一

3、起时或者抵消，或者抵消后差一常数例3 求解 当时，由于，所以是在内的一个原函数，因此在内，有 当时，由于，所以是在内的一个原函数，因此在内 把以上结果综合起来，得 4.1.2不定积分的几何意义因为不定积分=是的原函数的一般表达式，所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族积分曲线族有如下特点：（1）积分曲线族中任意一条积分曲线都可以由曲线沿轴方向上、下平移得到；（2）由于，即横坐标相同的点处，所有曲线的切线都是互相平行的4.1.3基本积分公式表（1） （为常数）； （2） ；（3）； （4），；（5）； （6）；（7）；（8）；（9）； （10）；（11）； （12）4.1.4不定积分的性质性质1 设函数的原函数存在，则性质2 设函数的原函数存在， 为非零常数，则例6 求解 注意到被积函数中是幂函数，和是指数函数，而是常数，它们的积分公式是不同的【教学小节】：通过本节的学习，理解原函数、不定积分的概念及几何意义，熟记基本积分公式，掌握不定积分性质并学会使用直接积分法计算不定积分。【课后作业】：无第 3 页