2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及其解答.pdf

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1、DCAB2016 年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答2016年6月5日上午8:3011:00一、填空题（每小题7分，共56分）1、若22016log65yxax的值域为R，那么a的取值范围是 答案：1616a解：由值域yR，2651xax，2640 xax24 640a，1616a.2、四面体ABCD中，ABC是一个正三角形，2ADBD，ADBD，ADCD，则D到面ABC的距离为答案：2 33解：如图，据题意得，222 2ABADBD，于是2 2BCCAAB，222CDACAD，因222BCBDCD，得BDCD，从而以D为顶点的三面角是三直三面角，四面体体积1433BCDVAD S，而232

2、 34ABCSAB，若设D到面ABC的距离为h，则12 333ABCVh Sh，由2 3433h，得到2 33h3、若对于所有的正数,x y，均有xyaxy，则实数a的最小值是答案：2OXYPABDC解：由221yxxyxy，得2yxxyxy，当xy时取等号4、已知P是正方形ABCD内切圆上的一点，记,APCBPD，则22tantan答案：8解：如图建立直角坐标系，设圆方程为222xyr，则正方形顶点坐标为(,),(,),(,),(,)ArrB rrC r rDr r，若点P的坐标为(cos,sin)P rr，于是直线,PA PB PC PD的斜率分别为1 sin1 sin,1cos1 cos

3、PAPBkk，1sin1sin,1cos1cosPCPDkk，所以222tan4(cossin)1PCPAPAPCkkkk，222tan4(cossin)1PDPBPBPDkkkk，由此立得22tantan8解 2：取特例，P在坐标轴上，则，这时，2tancot2tan1，2222tantan2285、等差数列2,5,8,2015与4,9,14,2014的公共项（具有相同数值的项）的个数是答案：134解：将两个数列中的各项都加1，则问题等价于求等差数列3,6,9,2016与等差数列5,10,15,2015的公共项个数；前者是1,2,3,2016M中的全体能被3整除的数，后者是M中的全体能被5整

4、除的数，故公共项987654321是M中的全体能被15整除的数，这种数有201613415个6、设x为锐角，则函数sinsin2yxx的最大值是答案：4 39解：由22sincosyxx，得2422224sincos2(1cos)(1cos)2cosyxxxxx33222(1cos)(1cos)2cos216223327xxx，所以4 39y当21cos3x时取得等号7、若将前九个正整数1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填写于一张3 3方格表的九个格子中，使得每行三数的和，每列三数的和皆为质数，你的填法是解答：（答案有多种）8、把从1到n(1)n这n个连续正整数按适当顺序排成一个数列，使得

5、数列中每相邻两项的和为平方数，则正整数n的最小值是答案：15例如，排出的一个数列为(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)解：这是一个操作问题，若用文字表达较为繁琐，故适宜作为填空题直接操作记这n个连续正整数的集合为1,2,Mn，由于1n，则M中必有2，而279，所以7n，当7n时，从1到7这7个数可以搭配成满足条件的三个数段：(1,3,6),(2,7),(4,5)，但它们不能连接成一个7项的数列，故应增加后续的XYCNMABOD数，增加8可使得第一段扩充成(8,1,3,6)，增加9可使得第二段扩充成(2,7,9)，但新的三段也不能连接，还需增加新数，即10n

6、，而之前的数若与8,9,10邻接，只有819,9716,10616，这三段扩充为(8,1,3,6,10)，(2,7,9)，(4,5)，仍旧不能连接，应当借助新的平方数25，从1到10这10个数能搭配成和为25的最小数是15，则15n，而当1,2,15M时，可排出上面的情形：(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)二、解答题（共64分）9、（14分）如图，CD是椭圆22221xyab的一条直径，过椭圆长轴的左顶点A作CD的平行线，交椭圆于另一点N，交椭圆短轴所在直线于M，证明：AMANCO CD证 1：椭圆方程为cos,sinxayb，点,A N的坐标为(,0)

7、,(cos,sin)AaN ab，则直线AN方程为cossinxatyt，3代入椭圆方程得到222222(cossin)2cos0batab t，222222coscossinabANtba，()cos2aAM，6因此2222222cossina bAMANba，9又据ANCD，则点,C D坐标为：(cos,sin)CODOD，(cos,sin)D ODOD，12因为,C D在椭圆上，则2222222cossina bCOba，而，222222222cossina bCO CDCOba，因此AMANCO CD14证 2：易知CD的斜率k存在，不妨令:CDykx，与椭圆方程联系，解得222222

8、222222,abkababkabCDba kba kba kba k、322222222222214 1,ka bka bCOCDba kba k,2222222 1ka bCOCDba k6AN方程为：,0,yk xaMka.将AN方程与椭圆方程联立，得222232222220ba kxa k xk aa b322322222222,ANNa kaba kxxxba kba k9222222,1NkabyAMakba k122232224222222222222421aba kk a babkANaba kba kba k，EDCBA22222221a bkAMANCOCDba k1410

9、、（15分）如图，D是ABC的旁心，点A关于直线DC的对称点为E 证明：(1)、,B C E三点共线；(2)、,A B D E四点共圆证：1、延长DC到M，延长AC到N,连CE，D为旁心，CD平分BCN，2又AE、关于DC对称，CM平分ACEDCNACM,BCDMCEBCNACE,B、C、E三点共线。52、过C作/CIAE交AD于I，则ICDC7I为ABC内心。连BI,则BI平分ABC,1090IBD,B、D、C、I四点共圆，12CBDCIDEAD,A、B、D、E四点共圆。1511、（15分）设,x y z为正数，满足：1xyyzzx，证明：22()()()(1)(1)(xyz xyyzxzx

10、y21-z)证：据条件，即要证22(1)(1)(xy2xyz(x+y+z-xyz)1-z)也即22222222)()yzx yy zx z2xyz(x+y+z)1-(x3将此式各项齐次化，因为22222221()2()xyyzxzx yy zx zxyz xyz6222222()()xyzxyzxyyzxz333()()()()xyzyxzzxyxyz xyz代入，只要证()xyz xyz2222223332()()()()()x yy zx zxyzyxzzxyxyz xyz即333222222()()()2()0 xyzyxzzxyx yy zx z12也即222()()()0 xy xy

11、yz yzxz xz。此为显然，故命题得证15证 2：由题设得：1,1,1y xzzx x yzyz z xyxy，三式相乘，故原不等式等价于证明：222111111zxyzxyxyz3上式两边展开并化简得：222xyzxyyzzx222222222x yy zz xx yzxy zxyz6配方得：222222xyyzzxxyxzyzxyyzzx222222xyzyzxzxy9即2222221110zxyxyzyzx122220,1,10,10,10,x y zxyz显然成立.1512、（20分）设集合1,2,2016A，对于A的任一个1008元子集X，若存在,x yX，满足,xy x y，则

12、称X为“好集”，求最大的正整数a，（aA），使得任一个含a的1008元子集皆为“好集”解：因任何正整数n可以表为2nt形式，其中N，t为正奇数，于是集合A可划分为以下1008个子集：2(21),12016jAm mjNm，1,2,1008j4对于集合A的任一个1008元子集X，只要集X中含有某一个jA中的至少两个元素,()x yxy，因122(21),2(21)kkxjyj，12kk，则x y；此时X为好集；以下证明正整数a的最大值为671：8若671a时，对于A的任一个1008元子集X，如果X中含有某个jA中的至少两个元素，则X便是好集；如果jA中的1008个集合，每个集合中恰有一个元素在X

13、中，那么1007A也有一个元素在X中，但10072013A为 单 元 素 集，于 是2013X，而2013a，(201367133)a，这说明X仍是好集，因此671a合于要求12下面说明当672a时，存在含a的集X不是好集；分两种情况：(1)、若1009a，取1008元 集01009,1010,2016X，则0aX，因0X中任两个不同元素xy，均有xy，故0X不为好集，这种a不合要求15(2)、若6721008a，记16720,1,336Xj j，202(672)0,1,336XXjj，令12XXX，则1008X，且1aX，若X中存在,xy x y，因672x，2016y，则3yx；若672x，如果,x y xy，只有2yx或者3yx，此时y的取值 只 能 是：26721344y，或 者36722016y；由 于13442(6720),20162(672336)，这说明，这两个数已被挖去，不在集合X中；18若672x，假若x y，只有2yx，这种数y也已悉数被挖去，即yX，因此X不是好集，这种a也不合要求综上所述，a的最大值为67120