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2017北京市高一数学初赛试题及解答.pdf

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1、2017 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答第1页共 6 页2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答 2017 年4 月 9 日选择题答案123456AABDCD填空题答案1 2 3 4 5 6 7 8 24 8 2 504(124 2)4101 4 5一、选择题1集合 A=2,0,1,7，B=x|x2-2A,x-2A，则集合 B 的所有元素之积为A36B54C72D108答：A解：由 x2-2A，可得 x2=4，2，3，9，即 x=2，2，3，3又因为 x-2A，所以 x 2，x 3，故 x=-2，2，3，-3 因此，集合 B=-2,-2,2,-3,

2、3，-3 所以，集合 B 的所有元素的乘积等于(-2)(-2)(2)(-3)(3)(-3)=36 2已知锐角 ABC 的顶点 A 到它的垂心与外心的距离相等，则tan(2BAC)=A33B22C1D32017 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答第2页共 6 页答：A解：作锐角 ABC 的外接圆，这个圆的圆心O 在形内，高 AD，CE 相交于点 H，锐角ABC 的垂心 H 也在形内连接 BO 交O 于 K，BK 为O的直径.连接 AK，CK因为 AD，CE 是ABC 的高，KAB，KCB 是直径 BK 上的圆周角，所以 KAB=KCB=90 于是 KA/CE，KC/AD，因此 A

3、KCH 是平行四边形所以 KC=AH=AO=12BK在直角 KCB 中，由 KC=12BK，得 BKC=60，所以 BAC=BKC=60 故 tan(2BAC)=tan30=333将正奇数的集合 1,3,5,7,从小到大按第 n 组 2n-1 个数进行分组：1，3,5,7，9,11,13,15,17，数 2017位于第 k组中，则 k 为A31B32C33D34答：B.解：数 2017是数列 an=2n-1 的第 1009项设 2017位于第 k 组，则1+3+5+(2k-1)1009，且 1+3+5+(2k-3)1009即 k 是不等式组221009(1)1009kk的正整数解，解得k=32

4、，所以 2017 在第 32 组中4如图，平面直角坐标系 x-O-y 中，A,B 是函数 y=1x在第 I 象限的图象上两点，满足OAB=90 且 AO=AB，则等腰直角 OAB 的面积等于A12 B22 C32 D52答：DABCDOHKEABOyxy=1x文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:C

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7、2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码

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11、17 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答第3页共 6 页解：依题意，OAB=90 且 AO=AB，AOB=ABO=45 过点 A 做 y 轴垂线交y轴于点 C，过点 B 做 y轴平行线，交直线CA 于点 D易见 COADAB设点 A(a,1a)，则点 B(a+1a,1a-a)因为点 B在函数 y=1x的图象上，所以(a+1a)(1a-a)=1，即21a-a2=1因此 SABC=12OA2=12(21a+a2)=1222215()42aa5已知 f(x)=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，且当 m=1,2,3,4时，f(m)=2017m，则f(10)-f(-5)=

12、A71655B75156C75615D76515答：C解：因为当 m=1,2,3,4 时，f(m)=2017m，所以 1,2,3,4 是方程 f(x)-2017x=0 的四个实根，由于 5 次多项式 f(x)-2017 x 有 5 个根，设第 5 个根为 p，则f(x)-2017 x=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-p)即f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-p)+2017x所以 f(10)=9 876(10-p)+2017 10，f(-5)=-6789(5+p)-2017 5，因此 f(10)-f(-5)=15(9876+2017)=756156已知函数2|,

13、()42,.xxaf xxaxaxa假设存在实数 m，使得关于 x的方程 f(x)=m有四个不同的实根，则a 的取值范围是A17aB16aC15aD14a答：D解：要使方程 f(x)=m 有四个不同的实根，必须使得y=m的图像与 y=f(x)的图像有4 个不同的交点而直线与y=|x|的图像及二次函数的图像交点都是最多为两个，所以ABOyxy=1xDC文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文

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15、4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6

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20、9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A92017 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答第4页共 6 页y=m 与函数 y=|x|,xa 的图像和 y=x2-4 ax+2a,xa 的图像的交点分别都是2 个而存在实数 m，使 y=m 与 y=|x|,xa 的图像有两个交点，需要 a0，此时 0ma；又因为 y=x2-4 ax+2a,xa 顶点的纵坐标为242(4)4aa，所以，要 y=m 与 y=x2-4 ax+2a,xa 的图像有两个交点，需要m242(4)4aa因此 y=m 的图像与 y=f(x)的图像有 4 个不同的交点需要满足

21、：0ma 且 m242(4)4aa，解得14a二、填空题1.用x表示不超过 x 的最大整数，设 12 3 99S，求S的值答：24解：因为 121,2,322，所以 11,2,32，因此 1231，共 3 个 1；同理，224,5,6,7,832，因此，456782，共 5 个 2；又 329,10,11,12,13,14,15 42，因此9 10=153，共 7 个 3；依次类推，16 1723244，共 9 个 4；252634355，共 11个 5；363747486，共 13个 6；495062637，共 15个 7；646579808，共 17个 8；818298999，共 19个

22、9.文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10

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29、，所以，S=242确定(201721log 2017201741log 2017201781log 20172017161log20172017321log2017)15的值答：8解：原式=(20172017log220172017log420172017log820172017log1620172017log32)15=(2481632)15=(2122232425)15=(21+2+3+4+5)15=(215)15=23=83 已知ABC 的边 AB=29厘米，BC=13厘米，CA=34厘米，求ABC的面积答：平方厘米解：注意到 13=32+22，29=52+22，34=52+32，作边长

30、为 5 厘米的正方形 AMNP，分成 25个 1平方厘米的正方形网格，如图根据勾股定理，可知，AB=29厘米，BC=13厘米，CA=34厘米，因此 ABC 的面积可求ABC 的面积=55-1235-1225-122平方厘米4.设函数222(1)ln(1)()1xxxf xx的最大值为 M，最小值为 N，试确定 M+N的值答：2解：由已知得222ln(1)()11xxxf xx因为2222ln(1)ln()1()ln()1()()1()xxxxxxxx=22ln()1()ln10 xx，NAMBCP文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC

31、1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ

32、4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2

33、T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:

34、CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5

35、HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 Z

36、G2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编

37、码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A92017 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答第6页共 6 页所以22ln()1()ln(1)xxxx，因此，2ln(1)xx 是奇函数进而可判定，函数222ln(1)()1xxxg xx为奇函数则 g(x)的最大值 M1和最小值 N1满足 M1+N1=0因为 M=M1+1，N=N1+1，所以 M+N=25设 A 是数集 1,2,2017的 n

38、元子集，且 A 中的任意两个数既不互质，又不存在整除关系，确定n 的最大值答：504解：在数集 1,2,2017中选取子集，使得子集中任意两个数不互质，最大的子集是偶数集 2,4,2016共 1008 个元素，但其中，有的元素满足整除关系，由于 1010的 2 倍是 2020，所以集合 A=1010,1012,1014,2016中，任意两个数既不互质，又不存在整除关系，A 中恰有 504 个元素事实上 504 是 n 的最大值因为假设从 1009,1011,2017中任取一个奇数，会与 A 中的与它相邻的偶数互质；假设从 1,2,3,1008中任取一数，则它的2 倍在 A 中，存在整除关系6

39、如图，以长为4 厘米的线段 AB 的中点 O 为圆心、2 厘米为半径画圆，交 AB 的中垂线于点 E 和 F.再分别以 A、B 为圆心，4 厘米为半径画圆弧交射线AE 于点 C，交射线 BE 于点 D.再以 E 为圆心 DE 为半径画圆弧DC，求这 4 条实曲线弧连接成的“卵形”AFBCDA的面积圆周率用表示，不取近似值答：(12-42)-4 平方厘米解：半圆(O,2)的面积=12 22=2 因为 AO=OB=2，所以 AB=AC=BD=4，AE=BE=22，ED=EC=4-22 又AEB=CED=90，EAB=EBA=45，BFADCEO文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1

40、C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H

41、9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G1

42、0A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2

43、X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E

44、1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1

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46、S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A92017 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答第7页共 6 页因此，扇形 BAD 的面积=扇形 ACB 的面积=18 42=2，AEB 的面积=1242=4，直角扇形EDC的面积=14(4-22)2=6-42 ，卵形AFBCDA的面积=半圆(O,2)的面积+扇形 BAD 的面积+扇形 ACB 的面积

47、-AEB 的面积+直角扇形EDC的面积=2+22 -4+6 -42=(12-42)-4 平方厘米7.已知22()1005000 xf xxx，求 f(1)+f(2)+f(100)的值答：101解：设 g(x)=x2-100 x+5000，则g(100-x)=(100-x)2-100(100-x)+5000=1002-200 x+x2-1002+100 x+5000=x2-100 x+5000=g(x)，即 g(k)=g(100-k)所以 f(k)+f(100-k)=22(100)()(100)kkg kgk=22(100)()kkg k=2，又f(50)=2250=150100 505000，

48、f(100)22100=2.100100 1005000所以，f(1)+f(2)+f(100)=(f(1)+f(99)+(f(2)+f(98)+(f(49)+f(51)+f(50)+f(100)=2 49+1+2=1018如图，在锐角 ABC 中，AC=BC=10，D 是边 AB 上一点，ACD 的内切圆和BCD 的与 BD 边相切的旁切圆的半径都等于2，求 AB 的长答：4 5解：线段 AB 被两圆与 AB 的切点及点 D 分成四段，由于两圆半径相等，再根据切线长定理，可知中间两段相等，于DACB文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC

49、1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ4S2X1C6B2 ZG2T7E1H9A9文档编码:CC1G10A6A4U5 HQ

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4.3 金币

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