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2013年全国初中数学竞赛试题及答案.pdf

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1、第 1 页共 7 页2013年全国初中数学竞赛试题考试时间 2013 年 3 月 17 日 9:30-11:30 总分值 150 分答题时注意：1用圆珠笔或钢笔作答；2解答书写时不要超过装订线；3草稿纸不上交一、选择题共 5 小题，每题 7 分，共 35 分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0 分1设非零实数a，b，c，满足a2b+3c02a 3b+4c0则ab+bc+caa2+b2+c2的值为A12B0 C12D1 2已知 a，b，c 是实常数，关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0

2、有两个非零实根x1，x2，则以下关于x 的一元二次方程中，以1x12，1x22为两个实根的是Ac2x2+(b22ac)x+a2=0 Bc2x2(b2 2ac)x+a2=0Cc2x2+(b22ac)xa2=0 Dc2x2(b2 2ac)xa2=03如图，在 RtABC 中，已知 O 是斜边 AB 的中点，CDAB，垂足为 D，DE OC，垂足为 E，假设 AD，DB，CD 的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC 的长度中，不一定是有理数的为AOD BOE CDE DAC4如图，已知ABC 的面积为24，点 D 在线段 AC 上，点 F 在线段 BC 的延长线上，且BC=4CF，DCFE

3、是平行四边形，则图中阴影部分的面积为A3 B4 C6 D8 题号一二三总分15 610 11 12 13 14 得分评卷人复查人第 2 页共 7 页5对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：xy=3x3y+3x2y2+xy3+45(x+1)3+(y+1)360，且xyz=xyz（），则2013201232的值为A607967B1821 967C5463 967D16389 967二、填空题共5 小题，每题 7 分，共 35 分6设 a=33，b 是 a2的小数部分，则(b+2)3的值为 _7如图，点D，E 分别是 ABC 的边 AC，AB 上的点，直线BD 与 CE 交于点 F，已知 CD

4、F，BFE，BCF 的面积分别为3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 _8已知正整数a，b，c 满足 a+b2 2c2=0，3a28b+c=0，则 abc 的最大值为 _9实数 a，b，c，d 满足：一元二次方程x2+cx+d=0 的两根为 a，b，一元二次方程x2+ax+b=0 的两根为c，d，则所有满足条件的数组a，b，c，d为 _ 10小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4 元，圆珠笔每支售7 元开始时他有铅笔和圆珠笔共350 支，当天虽然笔没有卖完，但是他的销售收入恰好是2013 元，则他至少卖出了_支圆珠笔三、解答题共4 题，每题 20分，共 80 分11 如图，抛物线 y=a

5、x2+bx3，顶点为 E，该抛物线与x轴交于 A，B 两点，与y轴交于点 C，且 OB=OC=3OA，直线 y=13x2+1 与y轴交于点D，求 DBC CBEA D B C O y x E A B C F D E 第 4题)A B C E D 第 7 题)A B C O D E 第 3 题)文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M

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8、4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 H

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12、0 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5第 3 页共 7 页12设 ABC 的外心，垂心分别为O，H，假设 B，C，H，O 共圆，对于所有的ABC，求 BAC 所有可能的度数13设 a，b，c 是素数，记x=b+ca，y=c+a b，z=a+bc，当 z2=y，xy=2 时，a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论14如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7 整除，那么称M 为 m 的“魔术数

13、”例如，把 86 放在 415 的左侧，得到的数86415 能被 7 整除，所以称86 为 415 的魔术数求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，an，满足对任意一个正整数m，在 a1，a2，an中都至少有一个为m的魔术数2013 年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0abcabcabc，故2()0abc 于是2221()2abbccaabc，所以22212abbccaabc2【答案】B【解答】由于20axbxc是关于x的一元二次方程，则0a因为12bxxa，12cx xa，且120 x x，所以0c，且22121

14、2222221212()2112xxx xbacxxx xc，22221211axxc，于是根据方程根与系数的关系，以211x，221x为两个实根的一元二次方程是222220bacaxxcc，即2222(2)0c xbac xa3【答案】D 第 3 题文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档

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20、2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6

21、L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5第 4 页共 7 页【解答】因 AD，DB，CD 的长度都是有理数，所以，OAOBOC2ADBD是有理数于是，ODOA AD 是有理数由 RtDOERtCOD，知2ODOEOC，DC DODEOC都是有理数，而 ACAD AB不一定是有理数4【答案】C【解答】因为 DCFE 是平行四边形，所以DE/CF，且 EF/DC连接 CE，因为 DE/CF，即 DE/BF，所以 SDEB=SDEC，因此原来阴影部分的面积等于

22、ACE 的面积连接 AF，因为 EF/CD，即 EF/AC，所以 SACE=SACF因为4BCCF，所以 SABC=4SACF故阴影部分的面积为65【答案】C【解答】设2013 20124m，则2013 2012433m32323339274593316460mmmmmm，于是2013 201232923223333923929245546310360967二、填空题6【答案】9【解答】由于2123aa，故32292ba，因此333(2)(9)9b7【答案】20413【解答】如图，连接AF，则有：45=3AEFAEFBFEBCFAFDAFDCDFSSSBFSSSFDS，354AFDAFDCDF

23、BCFAEFAEFBEFSSSCFSSSFES，解得10813AEFS，9613AFDS所以，四边形AEFD 的面积是204138【答案】2013【解答】由已知2220abc，2380abc消去 c，并整理得第 3 题答题第 4 题答题第 7 题答题第 4 题文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2

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30、T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5第 5 页共 7 页228666baa由 a为正整数及26aa66，可得 1a3假设1a，则2859b，无正整数解；假设2a，则2840b，无正整数解；假设3a，则289b，于是可解得11b，5bi假设11b，则61c，从而可得3 11 612013abc；ii假设5b，则13c，从而可得35 13195abc综上知abc的最大值为20139【答案】(12 12)，(00)，ttt为任意实数【解答】由韦达定

31、理得，abcabdcdacdb由上式，可知bacd假设0bd，则1dab，1bcd，进而2bdac假设0bd，则ca，有()(00)，a b c dttt为任意实数经检验，数组(12 12)，与(00)，ttt为任意实数满足条件10【答案】207【解答】设 x，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，xyxy所以201371(5032)44yyxy，于是14y是整数又20134()343503xyyy，所以204y，故 y 的最小值为207，此时141x三、解答题11如图，抛物线y23axbx，顶点为E，该抛物线与x轴交于 A，B 两点，与y轴交于点C，且 OBOC

32、3OA直线113yx与y轴交于点D求 DBC CBE【解答】将0 x分别代入y113x，23yaxbx知，D(0，1)，C(0，3)，第 11 题文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J

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37、0N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA

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39、A10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5第 6 页共 7 页所以 B(3，0)，A(1，0)直线y113x过点 B将点 C(0，3)的坐标代入y(1)(3)a xx，得1a抛物线223yxx的顶点为E(1，4)于是由勾股定理得BC3 2，CE2，BE2 5因为 BC2 CE2 BE2，所以，BCE 为直角三角形，90BCE因此 tanCBE=CECB=13又 tanDBO=13ODOB，则 DBOCBE所以，45DBCCBEDBCDBOOBC12 设ABC的外心，垂心分别为OH，假设BCHO，共圆，对于所有的ABC，求BAC所有可能的度数【解答】分三种情况讨

40、论i假设ABC为锐角三角形因为1802BHCABOCA，所以由BHCBOC，可得1802AA，于是60Aii假设ABC为钝角三角形当90A时，因为1802 180BHCABOCA，所以由180BHCBOC，可得3 180180A，于是120A。当90A时，不妨假设90B，因为2BHCABOCA，所以由180BHCBOC，可得3180A，于是60Aiii 假设ABC为直角三角形当90A时，因为O为边BC的中点，BCHO，不可能共圆，所以A不可能等于90；当90A时，不妨假设90B，此时点 B 与 H 重合，于是总有BCHO，共圆，因此A可以是满足090A的所有角综上可得，A所有可能取到的度数为所

41、有锐角及120第 11 题答题第 12 题答题i 第 12题答题ii 文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA

42、10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:C

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47、编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5第

48、 7 页共 7 页13设a，b，c是素数，记xbcaycabzabc，当2,2zyxy时，a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论【解答】不能依题意，得111()()()222ayzbxzcxy，因为2yz，所以211(1)()()222z zayzzz又由于z为整数，a为素数，所以2z或3，3a当2z时，224(2)16yzxy，进而，9b，10c，与b，c是素数矛盾；当3z时，0abc，所以a，b，c不能构成三角形的三边长14 如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7 整除，那么称 M 为 m 的“魔术数”例如，把 86 放在 415 的左侧，得到的数86415 能被

49、 7 整除，所以称86 为 415 的魔术数求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数12naaa，满足对任意一个正整数m，在12naaa，中都至少有一个为m 的魔术数【解答】假设 n6，取m1，2，7，根据抽屉原理知，必有12naaa，中的一个正整数 M 是(1ij，ij7)的公共的魔术数，即7|(10Mi)，7|(10Mj)则有 7|(ji)，但 0ji 6，矛盾故 n7又当12naaa，为 1，2，7 时，对任意一个正整数m，设其为k位数 k为正整数则10kim1 2i，7被7 除的余数两两不同假设不然，存在正整数i，(1jij 7)，满足7|(10)(10)kkjmim，即7|1

50、0()kji，从而 7|()ji，矛盾故必存在一个正整数i(1i7)，使得 7|(10)kim，即i为 m 的魔术数所以，n 的最小值为7文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1Y10 HX4M4R2Q5L5 ZH1T9U6L2M5文档编码:CA10N3J10K1

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4.3 金币

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