协方差矩阵优秀PPT.ppt
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1、庄伯金庄伯金 bjzhuangbupt.edu 1 1概率论与随机过程概率论与随机过程期末复习期末复习-概率论概率论答疑时间n答疑时间:周一上午、周二上午、周四下午,周一至周五中午答疑时间:周一上午、周二上午、周四下午,周一至周五中午n答疑地点:教二答疑地点:教二214n理学院统一期末习题课理学院统一期末习题课n2012.5.25 18:30-20:20n教三教三339n郭永江老师郭永江老师庄伯金庄伯金 bjzhuangbupt.edu 2 2庄伯金庄伯金 bjzhuangbupt.edu 3 3基本概念n概率的公理化概率的公理化n试验、样本空间、事务试验、样本空间、事务n频率与概率频率与概率
2、n古典概型古典概型n条件概率条件概率n独立性独立性样本空间与随机事务n样本空间:随机试验中全部可能结果组成的集合。样本空间:随机试验中全部可能结果组成的集合。n样本空间为集合;样本空间为集合;n通常记作通常记作S;n包含了全部的可能状况,是随机试验结果的全集。包含了全部的可能状况,是随机试验结果的全集。n样本点:随机试验的每个结果。样本点:随机试验的每个结果。n随机事务:随机试验中满足某种条件的样本点组成的集合。随机事务:随机试验中满足某种条件的样本点组成的集合。n事务发生:在试验中,当且仅当事务子集中的一个样本点出现时,称为事事务发生:在试验中,当且仅当事务子集中的一个样本点出现时,称为事务
3、发生。务发生。n基本事务:由一个样本点组成的单点集。基本事务:由一个样本点组成的单点集。n必定事务:每次试验中,事务总是发生。必定事务:每次试验中,事务总是发生。n不行能事务:每次试验中,事务都不发生。不行能事务:每次试验中,事务都不发生。庄伯金庄伯金 bjzhuangbupt.edu 4 4事务的关系与运算n包含关系:若样本空间包含关系:若样本空间S中的事务中的事务A和和B,满足,满足 ,则称事务,则称事务B包含包含A。n和事务:和事务:n和事务发生当且仅当事务和事务发生当且仅当事务A与与B中至少有一个发生。中至少有一个发生。n积事务:积事务:n积事务发生当且仅当事务积事务发生当且仅当事务A
4、与与B同时发生;同时发生;n也记作也记作AB;n差事务:差事务:n差事务发生当且仅当事务差事务发生当且仅当事务A发生且发生且B不发生。不发生。n互斥事务:若互斥事务:若 ,则称事务,则称事务A与与B互不相容或互斥。互不相容或互斥。n对立事务:若对立事务:若 且且 ,则称事务,则称事务A与与B互为对立事务,互为对立事务,或互为逆事务。或互为逆事务。庄伯金庄伯金 bjzhuangbupt.edu 5 5概率n定义:设定义:设E是随机试验,样本空间为是随机试验,样本空间为S。对于。对于E的每一事务的每一事务A赐予一实数值,赐予一实数值,记作记作 ,若集合函数,若集合函数 满足下列条件满足下列条件n非
5、负性:非负性:n规范性:规范性:n可列可加性:若可列可加性:若 是两两互不相容事务,则有是两两互不相容事务,则有n则称该集合函数值则称该集合函数值 为事务为事务A的概率。的概率。庄伯金庄伯金 bjzhuangbupt.edu 6 6概率的性质n性质性质1:n性质性质2(有限可加性):若(有限可加性):若 是两两互不相容事务,是两两互不相容事务,则则n性质性质3:设事务:设事务A与与B,若,若 ,则,则n性质性质4:对随意事务:对随意事务A,有,有 。n性质性质5:对随意事务:对随意事务A,有,有 。n性质性质6:设随意事务:设随意事务A与与B,则,则庄伯金庄伯金 bjzhuangbupt.ed
6、u 7 7古典概型n两个前提两个前提n试验的样本空间试验的样本空间S是有限集;是有限集;n试验中每个基本事务发生的可能性相同。试验中每个基本事务发生的可能性相同。n古典概型也称为等可能概型。古典概型也称为等可能概型。n古典概型的计算:已知样本空间古典概型的计算:已知样本空间 ,基本事务的概,基本事务的概率相等,即率相等,即 ,则有,则有n古典概型的计算方法:古典概型的计算方法:A中包含基本事务数中包含基本事务数/S中包含基本事务中包含基本事务总数。总数。庄伯金庄伯金 bjzhuangbupt.edu 8 8条件概率、乘法公式n条件概率考虑在事务条件概率考虑在事务A已发生的前提下,事务已发生的前
7、提下,事务B发生的概率,发生的概率,记作记作P(B|A)。n定义:设定义:设A、B两个事务,且两个事务,且 ,称,称n为在事务为在事务A发生的条件下事务发生的条件下事务B发生的条件概率。发生的条件概率。n乘法公式:若乘法公式:若 ,则,则n设设 为为 个事务,且个事务,且 ,则有,则有庄伯金庄伯金 bjzhuangbupt.edu 9 9划分、全概公式与贝叶斯公式n划分:设划分:设S为样本空间,为样本空间,为其中一组事务。若为其中一组事务。若n1)n2)n则称则称 为样本空间为样本空间S的一个划分。的一个划分。n全概公式:设全概公式:设 为为S的一个划分,且有的一个划分,且有 ,则事务则事务A
8、的概率为:的概率为:nBayes公式:设样本空间公式:设样本空间S和事务和事务A,为为S的一个划的一个划分,且分,且 ,则有,则有庄伯金庄伯金 bjzhuangbupt.edu 1010独立性n定义:设事务定义:设事务A和和B,若满足等式,若满足等式n则称事务则称事务A和和B相互独立。相互独立。n定理定理1:设事务:设事务A和和B,且,且 ,则,则A、B独立当且仅当独立当且仅当n定理定理2:若事务:若事务A和和B相互独立,相互独立,则下列事务也相互独立:则下列事务也相互独立:和和 ,和和 ,和和 。庄伯金庄伯金 bjzhuangbupt.edu 1111庄伯金庄伯金 bjzhuangbupt.
9、edu 1212随机变量n随机变量的概念随机变量的概念n离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布n二点(二点(0-1)分布)分布n二项分布二项分布n泊松分布泊松分布n随机变量的分布函数随机变量的分布函数n连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度n概率密度概率密度n匀整分布匀整分布n指数分布指数分布n正态分布正态分布n随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布庄伯金庄伯金 bjzhuangbupt.edu 1313随机变量n试验结果的抽象化:将试验结果映射为一个实数。即试验结果的抽象化:将试验结果映射为一个实数。即n实值函数实值函数 称为随机变量。称为随机变量。n随机变量的取值不相
10、等时,所对应的事务互不相容。随机变量的取值不相等时,所对应的事务互不相容。n随机变量的分类随机变量的分类n离散型随机变量:随机变量的取值为有限个或可列无限个。离散型随机变量:随机变量的取值为有限个或可列无限个。n连续型随机变量:非离散型随机变量。连续型随机变量:非离散型随机变量。离散型随机变量n随机变量随机变量 ,可能的取值,可能的取值 ,取各个可能值的取各个可能值的概率,即事务概率,即事务 的概率为的概率为n随机变量随机变量 只可能取只可能取0和和1两个值。分布律为两个值。分布律为n称称 听从以听从以 为参数的两点分布或为参数的两点分布或0-1分布(伯努利分布)。分布(伯努利分布)。n0-1
11、分布律也可以表示成分布律也可以表示成庄伯金庄伯金 bjzhuangbupt.edu 1414伯努利试验n设试验设试验E只有两个可能结果:只有两个可能结果:和和 ,则称,则称E为为伯努利试验伯努利试验。n两个结果发生的概率分别为两个结果发生的概率分别为nn重伯努利试验:将重伯努利试验:将E独立重复进行独立重复进行n次。次。n独立:各次试验结果互不影响;独立:各次试验结果互不影响;n重复:每次试验结果的概率保持不变。重复:每次试验结果的概率保持不变。庄伯金庄伯金 bjzhuangbupt.edu 1515二项分布、泊松分布n定义:随机变量定义:随机变量 表示表示n重伯努利试验中事务重伯努利试验中事
12、务 发生的次数,发生的次数,则随机变量则随机变量 的分布律为的分布律为n 称随机变量称随机变量 听从参数为听从参数为 的二项分布,记为的二项分布,记为n设随机变量设随机变量 全部可能的取值为全部可能的取值为 ,其分布律为,其分布律为n其中其中 为常数,则称为常数,则称 听从参数为听从参数为 的泊松分布,记的泊松分布,记为为庄伯金庄伯金 bjzhuangbupt.edu 1616泊松定理n设设 是一个常数,是一个常数,是随意正整数,设是随意正整数,设 ,则对,则对于任一固定的非负整数于任一固定的非负整数 ,有,有n当当 很大,很大,很小时,有近似式很小时,有近似式n其中其中 。庄伯金庄伯金 bj
13、zhuangbupt.edu 1717分布函数n定义:设定义:设 是随机变量,是随机变量,是随意实数,函数是随意实数,函数n称为称为 的分布函数。的分布函数。n分布函数分布函数 是个不减函数。是个不减函数。n ,且有,且有n 右连续,即右连续,即 。庄伯金庄伯金 bjzhuangbupt.edu 1818连续型随机变量、概率密度n定义:若对于随机变量定义:若对于随机变量 的分布函数的分布函数 ,存在非负可积函,存在非负可积函数数 ,使对于随意实数,使对于随意实数 有有n则称则称 为连续型随机变量,为连续型随机变量,称为称为 的概率密度函数,的概率密度函数,简称概率密度。简称概率密度。n1n2n
14、3 对随意实数对随意实数 ,有,有n4 若若 在在 点连续,则有点连续,则有 。庄伯金庄伯金 bjzhuangbupt.edu 1919匀整分布n设随机变量设随机变量 的概率密度为的概率密度为n则称则称 在区间在区间 上听从匀整分布,记为上听从匀整分布,记为 。n匀整分布的概率密度在区间匀整分布的概率密度在区间 上相同,即可得随机变量上相同,即可得随机变量 落在落在 内某一子区间内的概率与子区间的长度成正比。其内某一子区间内的概率与子区间的长度成正比。其分布函数为分布函数为庄伯金庄伯金 bjzhuangbupt.edu 2020指数分布n设随机变量设随机变量 的概率密度为的概率密度为n其中其中
15、 为常数,则称为常数,则称 听从参数听从参数 的指数分布。的指数分布。n分布函数为分布函数为庄伯金庄伯金 bjzhuangbupt.edu 2121正态分布n设随机变量设随机变量 的概率密度为的概率密度为n其中其中 和和 为常数,则称为常数,则称 听从参数为听从参数为 的正的正态分布,记为态分布,记为 。正态分布也称作高斯分布。正态分布也称作高斯分布。n设随机变量设随机变量 听从参数为听从参数为0,1的正态分布,即概率密度为的正态分布,即概率密度为n则称随机变量则称随机变量 听从标准正态分布,记为听从标准正态分布,记为 。庄伯金庄伯金 bjzhuangbupt.edu 2222正态分布n标准正
16、态分布的分布函数为标准正态分布的分布函数为n性质:任一正态分布性质:任一正态分布 ,可以通过变量代换,可以通过变量代换转成标准正态分布转成标准正态分布 。n性质:性质:庄伯金庄伯金 bjzhuangbupt.edu 2323随机变量的函数的分布n设设 是随机变量,是随机变量,为一函数,则为一函数,则 称为随机变量称为随机变量 的函数。的函数。n设离散型随机变量设离散型随机变量 ,其可能取值为,其可能取值为 ,则,则 的的全部可能取值为全部可能取值为 设设 表示表示 的原像集,则有的原像集,则有n连续型随机变量连续型随机变量 ,分布函数为,分布函数为 ,概率密度为,概率密度为 。则则 的分布函数
17、的分布函数n对对 求导可得密度函数求导可得密度函数庄伯金庄伯金 bjzhuangbupt.edu 2424连续型随机变量函数的分布n定理:设随机变量定理:设随机变量 具有概率密度具有概率密度 ,函,函数数 到处可导且严格单调。则到处可导且严格单调。则 是连续型随机变是连续型随机变量,其概率密度为量,其概率密度为n其中其中 ,是是 的反函数。的反函数。庄伯金庄伯金 bjzhuangbupt.edu 2525庄伯金庄伯金 bjzhuangbupt.edu 2626多维分布n二维随机变量二维随机变量n联合分布函数联合分布函数n联合概率密度联合概率密度n边缘分布边缘分布n边缘概率密度边缘概率密度n条件
18、分布条件分布n条件概率密度条件概率密度n相互独立的随机变量相互独立的随机变量n两个随机变量函数的分布两个随机变量函数的分布n设二维随机变量设二维随机变量 ,对于随意实数,对于随意实数 ,二元函数,二元函数n称为二维随机变量称为二维随机变量 的分布函数,或称为随机变量的分布函数,或称为随机变量 的联合分布函数。的联合分布函数。n二维随机变量二维随机变量 落在矩形区域落在矩形区域n的概率的概率二维随机变量的分布函数庄伯金庄伯金 bjzhuangbupt.edu 2727联合分布函数的性质n 是是 和和 的不减函数。的不减函数。n随意固定随意固定 ,对,对 ,有,有 ;n随意固定随意固定 ,对,对
19、,有,有 ;n规范性:规范性:。n对随意固定的对随意固定的 ,;n对随意固定的对随意固定的 ,;n ;n ;庄伯金庄伯金 bjzhuangbupt.edu 2828联合分布函数的性质n ,。n 关于关于 右连续;右连续;n 关于关于 右连续。右连续。n对随意对随意 ,有,有n注:满足上述四条性质的随意函数注:满足上述四条性质的随意函数 ,都可以成为某两,都可以成为某两个随机变量个随机变量 的联合分布函数。的联合分布函数。庄伯金庄伯金 bjzhuangbupt.edu 2929二维离散型随机变量n定义:设二维随机变量定义:设二维随机变量 的全部可能取值为有限对或可的全部可能取值为有限对或可列无限
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