固体物理第二章优秀PPT.pptx

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1、固体的弹性性质：固体的弹性性质：固体的弹性性质：固体的弹性性质：固体的范性性质：固体的范性性质：固体的范性性质：固体的范性性质：假设无形变的晶体内部粒子排列在其平衡位置，在外力作用下粒假设无形变的晶体内部粒子排列在其平衡位置，在外力作用下粒假设无形变的晶体内部粒子排列在其平衡位置，在外力作用下粒假设无形变的晶体内部粒子排列在其平衡位置，在外力作用下粒子偏离原来的平衡位置。由于晶体结构的各向异性，各方向上粒子偏子偏离原来的平衡位置。由于晶体结构的各向异性，各方向上粒子偏子偏离原来的平衡位置。由于晶体结构的各向异性，各方向上粒子偏子偏离原来的平衡位置。由于晶体结构的各向异性，各方向上粒子偏移程度不

2、同，从而使宏观的形变各向异性；移程度不同，从而使宏观的形变各向异性；移程度不同，从而使宏观的形变各向异性；移程度不同，从而使宏观的形变各向异性；-晶体内部粒子沿各方向偏移程度的差异，使粒子复原到原来平衡晶体内部粒子沿各方向偏移程度的差异，使粒子复原到原来平衡晶体内部粒子沿各方向偏移程度的差异，使粒子复原到原来平衡晶体内部粒子沿各方向偏移程度的差异，使粒子复原到原来平衡位置所产生的内应力也随方向不同。位置所产生的内应力也随方向不同。位置所产生的内应力也随方向不同。位置所产生的内应力也随方向不同。明显，晶体的弹性性质也是各向异性的，须要用张量来描述。明显，晶体的弹性性质也是各向异性的，须要用张量来

3、描述。明显，晶体的弹性性质也是各向异性的，须要用张量来描述。明显，晶体的弹性性质也是各向异性的，须要用张量来描述。2.82.82.82.8应力、应变、胡克定律应力、应变、胡克定律应力、应变、胡克定律应力、应变、胡克定律称为并矢，作为张量的称为并矢，作为张量的称为并矢，作为张量的称为并矢，作为张量的9 9 9 9个基。个基。个基。个基。一般张量可写为一般张量可写为一般张量可写为一般张量可写为张量：张量：张量：张量：（二阶）张量是具有（二阶）张量是具有（二阶）张量是具有（二阶）张量是具有9 9 9 9个分量的物理量。设直角坐标系的单个分量的物理量。设直角坐标系的单个分量的物理量。设直角坐标系的单个

4、分量的物理量。设直角坐标系的单位基矢量为位基矢量为位基矢量为位基矢量为张量的张量的张量的张量的9 9 9 9个分量写为个分量写为个分量写为个分量写为用矩阵表示用矩阵表示用矩阵表示用矩阵表示一、应力张量一、应力张量一、应力张量一、应力张量1 1 1 1、应力定义：固体受到外力时，内部产生的反抗形变的弹、应力定义：固体受到外力时，内部产生的反抗形变的弹、应力定义：固体受到外力时，内部产生的反抗形变的弹、应力定义：固体受到外力时，内部产生的反抗形变的弹性复原力。性复原力。性复原力。性复原力。弹性复原力：物体受外力作用发生形变，分子（质点）就偏离其平衡弹性复原力：物体受外力作用发生形变，分子（质点）就

5、偏离其平衡弹性复原力：物体受外力作用发生形变，分子（质点）就偏离其平衡弹性复原力：物体受外力作用发生形变，分子（质点）就偏离其平衡位置。此时每个分子受四周分子的作用产生位置。此时每个分子受四周分子的作用产生位置。此时每个分子受四周分子的作用产生位置。此时每个分子受四周分子的作用产生个趋向于使其复原到平个趋向于使其复原到平个趋向于使其复原到平个趋向于使其复原到平衡位置的力。衡位置的力。衡位置的力。衡位置的力。一个物体处于受力状态，一般有两种状况：一个物体处于受力状态，一般有两种状况：一个物体处于受力状态，一般有两种状况：一个物体处于受力状态，一般有两种状况：*物体整个体积受力并且力的大小与物体的

6、体积成正比，这称为彻物体整个体积受力并且力的大小与物体的体积成正比，这称为彻物体整个体积受力并且力的大小与物体的体积成正比，这称为彻物体整个体积受力并且力的大小与物体的体积成正比，这称为彻体力，例如重力；体力，例如重力；体力，例如重力；体力，例如重力；*另一种状况是物体受到压缩、拉伸或扭转、弯曲的作用而发生形另一种状况是物体受到压缩、拉伸或扭转、弯曲的作用而发生形另一种状况是物体受到压缩、拉伸或扭转、弯曲的作用而发生形另一种状况是物体受到压缩、拉伸或扭转、弯曲的作用而发生形变时，在物体内部的任一部分和它四周相邻部分之间将产生相互作用变时，在物体内部的任一部分和它四周相邻部分之间将产生相互作用变

7、时，在物体内部的任一部分和它四周相邻部分之间将产生相互作用变时，在物体内部的任一部分和它四周相邻部分之间将产生相互作用力，这种力的大小与相接触部分表面积的大小成正比，而力与面积之力，这种力的大小与相接触部分表面积的大小成正比，而力与面积之力，这种力的大小与相接触部分表面积的大小成正比，而力与面积之力，这种力的大小与相接触部分表面积的大小成正比，而力与面积之比就称为应力。比就称为应力。比就称为应力。比就称为应力。即在固体形变时，作用在固体中单位面积上的力。即在固体形变时，作用在固体中单位面积上的力。即在固体形变时，作用在固体中单位面积上的力。即在固体形变时，作用在固体中单位面积上的力。应力定义：

8、应力定义：应力定义：应力定义：直角坐标系中，（直角坐标系中，（直角坐标系中，（直角坐标系中，（x,y,zx,y,zx,y,zx,y,z）点，以）点，以）点，以）点，以x,y,zx,y,zx,y,zx,y,z为外法线的面积元上的应力为外法线的面积元上的应力为外法线的面积元上的应力为外法线的面积元上的应力分别为分别为分别为分别为yyST D D-此处此处 i,j=x,y,z i,j=x,y,z 第一下标第一下标i i表示应力的方向，其表示应力的方向，其次下标次下标j j表示应力所作用的面的法表示应力所作用的面的法向。向。作用在立方体上的应力张量元作用在立方体上的应力张量元作用在立方体上的应力张量元

9、作用在立方体上的应力张量元例如作用在垂直于例如作用在垂直于例如作用在垂直于例如作用在垂直于X X轴的单位面轴的单位面轴的单位面轴的单位面积上沿积上沿积上沿积上沿X X方向的应力是方向的应力是方向的应力是方向的应力是T Txxxx 。这类应。这类应。这类应。这类应力是垂直于表面的，称为正应力，代力是垂直于表面的，称为正应力，代力是垂直于表面的，称为正应力，代力是垂直于表面的，称为正应力，代表表表表张力或压力张力或压力张力或压力张力或压力;作用在垂直于作用在垂直于作用在垂直于作用在垂直于X X轴的单位面轴的单位面轴的单位面轴的单位面积上沿积上沿积上沿积上沿Y Y方向的应力是方向的应力是方向的应力是

10、方向的应力是T Tyxyx 。这类。这类。这类。这类应力是沿着表面的，即平行于表应力是沿着表面的，即平行于表应力是沿着表面的，即平行于表应力是沿着表面的，即平行于表面的切向，代表面的切向，代表面的切向，代表面的切向，代表切应力切应力切应力切应力。应力张量矩阵表达式应力张量矩阵表达式应力张量矩阵表达式应力张量矩阵表达式晶体中某点晶体中某点晶体中某点晶体中某点(x.y.z)(x.y.z)(x.y.z)(x.y.z)的应力状态对的应力状态对的应力状态对的应力状态对应应应应9 9 9 9个应力重量用矩阵表示，即个应力重量用矩阵表示，即个应力重量用矩阵表示，即个应力重量用矩阵表示，即作用在立方体上的应力

11、张量元作用在立方体上的应力张量元作用在立方体上的应力张量元作用在立方体上的应力张量元uu在静力平衡条件下，内应力在静力平衡条件下，内应力在静力平衡条件下，内应力在静力平衡条件下，内应力作用在物体上的总力矩等于零。作用在物体上的总力矩等于零。作用在物体上的总力矩等于零。作用在物体上的总力矩等于零。物理意义：物理意义：物理意义：物理意义：当不存在体积转矩时，当不存在体积转矩时，当不存在体积转矩时，当不存在体积转矩时，在相互垂直的面上，垂直于该二在相互垂直的面上，垂直于该二在相互垂直的面上，垂直于该二在相互垂直的面上，垂直于该二面交线的切应力相等。面交线的切应力相等。面交线的切应力相等。面交线的切应

12、力相等。即，应力张量是对称的二级张量，它只有六个独立的张量元。即，应力张量是对称的二级张量，它只有六个独立的张量元。即，应力张量是对称的二级张量，它只有六个独立的张量元。即，应力张量是对称的二级张量，它只有六个独立的张量元。常用符号常用符号常用符号常用符号ThThThTh代表应力重量：代表应力重量：代表应力重量：代表应力重量：作用在单位体积元上的力与应力张作用在单位体积元上的力与应力张作用在单位体积元上的力与应力张作用在单位体积元上的力与应力张量元的关系量元的关系量元的关系量元的关系如图所示，沿如图所示，沿如图所示，沿如图所示，沿x x x x方向力的重量方向力的重量方向力的重量方向力的重量有

13、三个：有三个：有三个：有三个：三式相加，可得作用在体积元三式相加，可得作用在体积元三式相加，可得作用在体积元三式相加，可得作用在体积元xyzxyzxyzxyz上的力的上的力的上的力的上的力的x x x x重量为：重量为：重量为：重量为：作用在体积元上的应力作用在体积元上的应力作用在单位体积上的力的作用在单位体积上的力的作用在单位体积上的力的作用在单位体积上的力的x x x x重量为：重量为：重量为：重量为：作用在体积元上的应力作用在体积元上的应力同理，可得作用在单位体积上的力的同理，可得作用在单位体积上的力的同理，可得作用在单位体积上的力的同理，可得作用在单位体积上的力的 y y y y、z

14、z z z 重量：重量：重量：重量：二、应变张量二、应变张量二、应变张量二、应变张量当晶体形变时，晶体内随意两点间的距离都会发生形变当晶体形变时，晶体内随意两点间的距离都会发生形变当晶体形变时，晶体内随意两点间的距离都会发生形变当晶体形变时，晶体内随意两点间的距离都会发生形变:介质间发生的相对位移，称之为应变。介质间发生的相对位移，称之为应变。介质间发生的相对位移，称之为应变。介质间发生的相对位移，称之为应变。如图，在固体中取如图，在固体中取如图，在固体中取如图，在固体中取xyxyxyxy平面，平面，平面，平面，P P P P为任为任为任为任一点，一点，一点，一点，PAPAPAPAx x x

15、x，PBPBPBPB y y y y，PAPAPAPA平行平行平行平行x x x x轴，轴，轴，轴，PBPBPBPB平行于平行于平行于平行于y y y y轴，由于形变，轴，由于形变，轴，由于形变，轴，由于形变，P P P P，A A A A，B B B B三点分别移到三点分别移到三点分别移到三点分别移到质点位移表示质点位移表示质点位移表示质点位移表示计算沿坐标轴方向线元的伸缩形变：计算沿坐标轴方向线元的伸缩形变：计算沿坐标轴方向线元的伸缩形变：计算沿坐标轴方向线元的伸缩形变：线段在长度方向上的相对伸长线段在长度方向上的相对伸长线段在长度方向上的相对伸长线段在长度方向上的相对伸长（或缩短）量称为

16、（或缩短）量称为（或缩短）量称为（或缩短）量称为正应变正应变正应变正应变，PAPAPAPA的正应变为：的正应变为：的正应变为：的正应变为：PBPBPBPB线段的正应变线段的正应变线段的正应变线段的正应变坐标轴间夹角的变更：坐标轴间夹角的变更：坐标轴间夹角的变更：坐标轴间夹角的变更：从图可知，从图可知，从图可知，从图可知，PAPAPAPA、PBPBPBPB线段发生正应变的同时，其方向也发生了变更线段发生正应变的同时，其方向也发生了变更线段发生正应变的同时，其方向也发生了变更线段发生正应变的同时，其方向也发生了变更:PAPAPAPA转过的角度为转过的角度为转过的角度为转过的角度为PBPBPBPB转

17、过的角度为转过的角度为转过的角度为转过的角度为定义：定义：定义：定义：PAPAPAPA与与与与PBPBPBPB线段的偏转角之和为线段的偏转角之和为线段的偏转角之和为线段的偏转角之和为切应变切应变切应变切应变同理，对于同理，对于同理，对于同理，对于yzyzyzyz和和和和xzxzxzxz平面，可求得平面，可求得平面，可求得平面，可求得由以上可知，某一点的应变有由以上可知，某一点的应变有由以上可知，某一点的应变有由以上可知，某一点的应变有9 9 9 9个重量，用矩阵表示，则为个重量，用矩阵表示，则为个重量，用矩阵表示，则为个重量，用矩阵表示，则为应变张量是个对称二级张量，只有应变张量是个对称二级张

18、量，只有应变张量是个对称二级张量，只有应变张量是个对称二级张量，只有6 6 6 6个独立的元。个独立的元。个独立的元。个独立的元。假如把双下标按下列对应关系换成单下标假如把双下标按下列对应关系换成单下标假如把双下标按下列对应关系换成单下标假如把双下标按下列对应关系换成单下标并规定：并规定：并规定：并规定：则与应变有关的很多公式可进一步简化，运算中，应变张量常则与应变有关的很多公式可进一步简化，运算中，应变张量常则与应变有关的很多公式可进一步简化，运算中，应变张量常则与应变有关的很多公式可进一步简化，运算中，应变张量常被写成一个六元纵列矩阵。被写成一个六元纵列矩阵。被写成一个六元纵列矩阵。被写成

19、一个六元纵列矩阵。三、胡克定律、晶体弹性模量三、胡克定律、晶体弹性模量三、胡克定律、晶体弹性模量三、胡克定律、晶体弹性模量胡克定律指出，在弹性形变下，应力与应变存在线性关系，其胡克定律指出，在弹性形变下，应力与应变存在线性关系，其胡克定律指出，在弹性形变下，应力与应变存在线性关系，其胡克定律指出，在弹性形变下，应力与应变存在线性关系，其数学表达式为：数学表达式为：数学表达式为：数学表达式为：可以写成矩阵的形式可以写成矩阵的形式可以写成矩阵的形式可以写成矩阵的形式或统一表示为：或统一表示为：或统一表示为：或统一表示为：系数系数系数系数c c c c称为晶体的弹性模量称为晶体的弹性模量称为晶体的弹

20、性模量称为晶体的弹性模量。我们也可以把晶体的应变和应力的。我们也可以把晶体的应变和应力的。我们也可以把晶体的应变和应力的。我们也可以把晶体的应变和应力的关系写成如下形式：关系写成如下形式：关系写成如下形式：关系写成如下形式：系数系数系数系数S S S S称为称为称为称为弹性系数弹性系数弹性系数弹性系数，从上面两式可以看出，从上面两式可以看出，从上面两式可以看出，从上面两式可以看出，弹性模量张量和弹弹性模量张量和弹弹性模量张量和弹弹性模量张量和弹性系数张量是互逆性系数张量是互逆性系数张量是互逆性系数张量是互逆的，即：的，即：的，即：的，即：四、弹性模量的对称性四、弹性模量的对称性四、弹性模量的对

21、称性四、弹性模量的对称性通过求解晶体的应变能（应力作功使晶体的位能增加量），可以证通过求解晶体的应变能（应力作功使晶体的位能增加量），可以证通过求解晶体的应变能（应力作功使晶体的位能增加量），可以证通过求解晶体的应变能（应力作功使晶体的位能增加量），可以证明，明，明，明，c c c c具有交换脚标的对称性，即：具有交换脚标的对称性，即：具有交换脚标的对称性，即：具有交换脚标的对称性，即：c c c c c c c c因此，因此，因此，因此，矩阵（矩阵（矩阵（矩阵（C C C C）为一对称矩阵，只有）为一对称矩阵，只有）为一对称矩阵，只有）为一对称矩阵，只有21212121个独立元素个独立元素个

22、独立元素个独立元素。假如晶体具有对称性，独立元素的数目还要削减。假如晶体具有对称性，独立元素的数目还要削减。假如晶体具有对称性，独立元素的数目还要削减。假如晶体具有对称性，独立元素的数目还要削减。对六角晶系，只剩下五个独立的晶体张量元；对六角晶系，只剩下五个独立的晶体张量元；对六角晶系，只剩下五个独立的晶体张量元；对六角晶系，只剩下五个独立的晶体张量元；而对称性最大的立方晶系，假如将坐标轴取作立方体轴，矩阵只有而对称性最大的立方晶系，假如将坐标轴取作立方体轴，矩阵只有而对称性最大的立方晶系，假如将坐标轴取作立方体轴，矩阵只有而对称性最大的立方晶系，假如将坐标轴取作立方体轴，矩阵只有三个不为零的

23、矩阵元。三个不为零的矩阵元。三个不为零的矩阵元。三个不为零的矩阵元。下面，我们以立方晶系为例，通过变换下标的方法来说明。下面，我们以立方晶系为例，通过变换下标的方法来说明。下面，我们以立方晶系为例，通过变换下标的方法来说明。下面，我们以立方晶系为例，通过变换下标的方法来说明。以三个以三个以三个以三个4 4 4 4度轴为坐标轴，先绕度轴为坐标轴，先绕度轴为坐标轴，先绕度轴为坐标轴，先绕z z z z轴转轴转轴转轴转90909090度，则坐标将按以下方式变换：度，则坐标将按以下方式变换：度，则坐标将按以下方式变换：度，则坐标将按以下方式变换：或简写为：或简写为：或简写为：或简写为：于是在四个下标的

24、四阶张量中，下标的变换方式如下：于是在四个下标的四阶张量中，下标的变换方式如下：于是在四个下标的四阶张量中，下标的变换方式如下：于是在四个下标的四阶张量中，下标的变换方式如下：留意：弹性模量是四阶张量，具有四个下标，它的前两个下标和后留意：弹性模量是四阶张量，具有四个下标，它的前两个下标和后留意：弹性模量是四阶张量，具有四个下标，它的前两个下标和后留意：弹性模量是四阶张量，具有四个下标，它的前两个下标和后两个下标分别具有对称性，因此我们通常接受以下方法简化下标来两个下标分别具有对称性，因此我们通常接受以下方法简化下标来两个下标分别具有对称性，因此我们通常接受以下方法简化下标来两个下标分别具有对

25、称性，因此我们通常接受以下方法简化下标来代替双下标，对应关系如下：代替双下标，对应关系如下：代替双下标，对应关系如下：代替双下标，对应关系如下：x xy y于是弹性模量中于是弹性模量中于是弹性模量中于是弹性模量中21212121个独立重量的下标，将发生如下变换：个独立重量的下标，将发生如下变换：个独立重量的下标，将发生如下变换：个独立重量的下标，将发生如下变换：用简化下标时：用简化下标时：用简化下标时：用简化下标时：此处略去左下方的一半，因为它是对称的。此处略去左下方的一半，因为它是对称的。此处略去左下方的一半，因为它是对称的。此处略去左下方的一半，因为它是对称的。由于是对称操作，变换由于是对

26、称操作，变换由于是对称操作，变换由于是对称操作，变换前后的各对应项应相等前后的各对应项应相等前后的各对应项应相等前后的各对应项应相等，从而有，从而有，从而有，从而有：项不变；项不变；项不变；项不变；最终得矩阵形式为：最终得矩阵形式为：最终得矩阵形式为：最终得矩阵形式为：然后再绕然后再绕然后再绕然后再绕y y y y轴或轴或轴或轴或x x x x轴旋转轴旋转轴旋转轴旋转90909090度，坐标变换分别按以下方式变换：度，坐标变换分别按以下方式变换：度，坐标变换分别按以下方式变换：度，坐标变换分别按以下方式变换：则有：则有：则有：则有：其余各项为零。其余各项为零。其余各项为零。其余各项为零。于是，

27、立方晶系中的弹性模量的独立重量再次削减到于是，立方晶系中的弹性模量的独立重量再次削减到于是，立方晶系中的弹性模量的独立重量再次削减到于是，立方晶系中的弹性模量的独立重量再次削减到3 3 3 3个，其完个，其完个，其完个，其完整的矩阵形式为整的矩阵形式为整的矩阵形式为整的矩阵形式为2.9 2.9 2.9 2.9 弹性动力学方程、弹性波弹性动力学方程、弹性波弹性动力学方程、弹性波弹性动力学方程、弹性波一、弹性动力学方程（弹性波通过晶体时，晶体中单位体积一、弹性动力学方程（弹性波通过晶体时，晶体中单位体积一、弹性动力学方程（弹性波通过晶体时，晶体中单位体积一、弹性动力学方程（弹性波通过晶体时，晶体中

28、单位体积元的运动方程）元的运动方程）元的运动方程）元的运动方程）前面我们导出过作用在单位体积上的力的前面我们导出过作用在单位体积上的力的前面我们导出过作用在单位体积上的力的前面我们导出过作用在单位体积上的力的x x x x、y y y y、z z z z方向的重量为：方向的重量为：方向的重量为：方向的重量为：弹性波通过晶体时，质点的运动方程可写为：弹性波通过晶体时，质点的运动方程可写为：弹性波通过晶体时，质点的运动方程可写为：弹性波通过晶体时，质点的运动方程可写为：弹性波通过晶体时，质点的运动方程可写为：弹性波通过晶体时，质点的运动方程可写为：弹性波通过晶体时，质点的运动方程可写为：弹性波通过

29、晶体时，质点的运动方程可写为：式中式中式中式中代表晶体密度，代表晶体密度，代表晶体密度，代表晶体密度，u u u u、v v v v、w w w w代表晶体中质粒位移沿主轴代表晶体中质粒位移沿主轴代表晶体中质粒位移沿主轴代表晶体中质粒位移沿主轴x x x x、y y y y、z z z z方向的重量。方向的重量。方向的重量。方向的重量。依据应力重量符号，上式可以写为依据应力重量符号，上式可以写为依据应力重量符号，上式可以写为依据应力重量符号，上式可以写为上式称为上式称为上式称为上式称为弹性动力学方程弹性动力学方程弹性动力学方程弹性动力学方程。二、弹性波求解二、弹性波求解二、弹性波求解二、弹性波

30、求解在各向异性结构中的晶体中，弹性波在不同方向上的传播状况是在各向异性结构中的晶体中，弹性波在不同方向上的传播状况是在各向异性结构中的晶体中，弹性波在不同方向上的传播状况是在各向异性结构中的晶体中，弹性波在不同方向上的传播状况是不同的。不同的。不同的。不同的。假设有一沿假设有一沿假设有一沿假设有一沿R R R R（l l l l，m m m m，n n n n）方向传播的弹性波，它的方向余弦）方向传播的弹性波，它的方向余弦）方向传播的弹性波，它的方向余弦）方向传播的弹性波，它的方向余弦为为为为l,m,nl,m,nl,m,nl,m,n，在这方向上某点振动质点在这方向上某点振动质点在这方向上某点振

31、动质点在这方向上某点振动质点P P P P（x x x x、y y y y、z z z z）同原点的距离为：）同原点的距离为：）同原点的距离为：）同原点的距离为：我们探讨该方向上我们探讨该方向上我们探讨该方向上我们探讨该方向上P P P P点处的应变点处的应变点处的应变点处的应变Sn:Sn:Sn:Sn:由应变张量元公式由应变张量元公式由应变张量元公式由应变张量元公式将胡克定律将胡克定律将胡克定律将胡克定律和上式代入和上式代入和上式代入和上式代入动力学方程（动力学方程（动力学方程（动力学方程（3 3 3 3）式）式）式）式 式中式中式中式中ijijijij称为克利斯托夫模量，共有九个重量，但称为

32、克利斯托夫模量，共有九个重量，但称为克利斯托夫模量，共有九个重量，但称为克利斯托夫模量，共有九个重量，但ijijijij ji ji ji ji，故独立重量只有，故独立重量只有，故独立重量只有，故独立重量只有6 6 6 6个，其具体表达式为：个，其具体表达式为：个，其具体表达式为：个，其具体表达式为：上式是一个波动方程，其特解可用晶体中传播的声波（平面上式是一个波动方程，其特解可用晶体中传播的声波（平面上式是一个波动方程，其特解可用晶体中传播的声波（平面上式是一个波动方程，其特解可用晶体中传播的声波（平面波）来表示。波）来表示。波）来表示。波）来表示。为便于记忆和运算，为便于记忆和运算，为便于

33、记忆和运算，为便于记忆和运算，ijijijij也可以写成矩阵形式：也可以写成矩阵形式：也可以写成矩阵形式：也可以写成矩阵形式：克利斯托夫模量只是弹性波的传播方向克利斯托夫模量只是弹性波的传播方向克利斯托夫模量只是弹性波的传播方向克利斯托夫模量只是弹性波的传播方向R R R R（l l l l、m m m m、n n n n）和晶体弹）和晶体弹）和晶体弹）和晶体弹性模量的函数，它具有弹性模量的量纲。性模量的函数，它具有弹性模量的量纲。性模量的函数，它具有弹性模量的量纲。性模量的函数，它具有弹性模量的量纲。设设设设表示沿表示沿表示沿表示沿R R R R传播的波在晶体中所引起的弹性位移矢传播的波在晶

34、体中所引起的弹性位移矢传播的波在晶体中所引起的弹性位移矢传播的波在晶体中所引起的弹性位移矢，分量为分量为分量为分量为位移矢的方向余弦为位移矢的方向余弦为位移矢的方向余弦为位移矢的方向余弦为把上式代入把上式代入把上式代入把上式代入波动方程波动方程波动方程波动方程（4 4 4 4）得）得）得）得这就是这就是这就是这就是沿沿沿沿R R R R方向传播的弹性波方程方向传播的弹性波方程方向传播的弹性波方程方向传播的弹性波方程。为有效弹性模量。为有效弹性模量。为有效弹性模量。为有效弹性模量。那么那么那么那么的长度为的长度为的长度为的长度为把把把把（6 6）式代入式代入式代入式代入波动方程波动方程波动方程波

35、动方程（4 4 4 4）得）得）得）得同理同理同理同理有效弹性模量与有效弹性模量与有效弹性模量与有效弹性模量与克利斯托夫模量关系克利斯托夫模量关系克利斯托夫模量关系克利斯托夫模量关系为使该线性方程组具有非零解，必须满足如下久期方程：为使该线性方程组具有非零解，必须满足如下久期方程：为使该线性方程组具有非零解，必须满足如下久期方程：为使该线性方程组具有非零解，必须满足如下久期方程：它必需满足如下方程组：它必需满足如下方程组：它必需满足如下方程组：它必需满足如下方程组：对应这三个波，质粒分别有相应的三个位移。对应这三个波，质粒分别有相应的三个位移。对应这三个波，质粒分别有相应的三个位移。对应这三个

36、波，质粒分别有相应的三个位移。的传播声速为的传播声速为的传播声速为的传播声速为由此可知，一般情况下由此可知，一般情况下由此可知，一般情况下由此可知，一般情况下有三个解有三个解有三个解有三个解，它们对应三个不同的波，其对应，它们对应三个不同的波，其对应，它们对应三个不同的波，其对应，它们对应三个不同的波，其对应例：探讨立方晶系的晶体中沿例：探讨立方晶系的晶体中沿例：探讨立方晶系的晶体中沿例：探讨立方晶系的晶体中沿100100100100方向传播的声波。方向传播的声波。方向传播的声波。方向传播的声波。解：当声波沿解：当声波沿解：当声波沿解：当声波沿100100100100方向传播时，方向传播时，方

37、向传播时，方向传播时，立方晶系只有三个独立的弹性模量，其矩阵形式如下：立方晶系只有三个独立的弹性模量，其矩阵形式如下：立方晶系只有三个独立的弹性模量，其矩阵形式如下：立方晶系只有三个独立的弹性模量，其矩阵形式如下：因此由克利斯托夫模量表达式可以算得：因此由克利斯托夫模量表达式可以算得：因此由克利斯托夫模量表达式可以算得：因此由克利斯托夫模量表达式可以算得：这时久期方程式变为：这时久期方程式变为：这时久期方程式变为：这时久期方程式变为：当声波沿当声波沿当声波沿当声波沿100100100100方向传播时，方向传播时，方向传播时，方向传播时，可解得可解得可解得可解得代入（代入（代入（代入（7 7 7

38、 7）式）式）式）式得三个弹性波的得三个弹性波的得三个弹性波的得三个弹性波的波速波速波速波速和对应的和对应的和对应的和对应的质粒位移方向质粒位移方向质粒位移方向质粒位移方向：v v v v1 1 1 1对应的声波使质点沿对应的声波使质点沿对应的声波使质点沿对应的声波使质点沿方向振动。方向振动。方向振动。方向振动。-纵波纵波纵波纵波1 1）v v v v2 2 2 2对应的声波使质点沿对应的声波使质点沿对应的声波使质点沿对应的声波使质点沿方向振动。方向振动。方向振动。方向振动。-横波横波横波横波2 2）v v v v3 3 3 3对应的声波使质点沿对应的声波使质点沿对应的声波使质点沿对应的声波使

39、质点沿方向振动。方向振动。方向振动。方向振动。-横波横波横波横波3 3）从以上探讨可以看出，某方向传播的弹性波，一般有三个模从以上探讨可以看出，某方向传播的弹性波，一般有三个模从以上探讨可以看出，某方向传播的弹性波，一般有三个模从以上探讨可以看出，某方向传播的弹性波，一般有三个模式，其中一个波的位移方向和波矢方向式，其中一个波的位移方向和波矢方向式，其中一个波的位移方向和波矢方向式，其中一个波的位移方向和波矢方向R R R R相同，称为纵波；而另两相同，称为纵波；而另两相同，称为纵波；而另两相同，称为纵波；而另两个波的位移方向垂直于波矢方向，则称为横波。个波的位移方向垂直于波矢方向，则称为横波

40、。个波的位移方向垂直于波矢方向，则称为横波。个波的位移方向垂直于波矢方向，则称为横波。例题例题例题例题:已知某晶体中相邻两原子间的互作用势能可表示成已知某晶体中相邻两原子间的互作用势能可表示成已知某晶体中相邻两原子间的互作用势能可表示成已知某晶体中相邻两原子间的互作用势能可表示成（1 1）求出平衡时，两原子间的距离。）求出平衡时，两原子间的距离。）求出平衡时，两原子间的距离。）求出平衡时，两原子间的距离。（2 2）平衡时的结合能。）平衡时的结合能。）平衡时的结合能。）平衡时的结合能。（3 3）若取）若取）若取）若取m=2,n=10,m=2,n=10,两原子间的平衡距离为两原子间的平衡距离为两原

41、子间的平衡距离为两原子间的平衡距离为3 3埃，每个原子的离解能为埃，每个原子的离解能为埃，每个原子的离解能为埃，每个原子的离解能为4eV4eV，计算，计算，计算，计算A A及及及及B B的值。的值。的值。的值。（4 4）假如平衡时晶体的体积为）假如平衡时晶体的体积为）假如平衡时晶体的体积为）假如平衡时晶体的体积为V0V0，结合能为，结合能为，结合能为，结合能为E0E0，求出晶体的体弹性，求出晶体的体弹性，求出晶体的体弹性，求出晶体的体弹性模量。模量。模量。模量。（5 5）晶体在平衡时，原子之间具有量值相等、方向相反的吸引力和排）晶体在平衡时，原子之间具有量值相等、方向相反的吸引力和排）晶体在平

42、衡时，原子之间具有量值相等、方向相反的吸引力和排）晶体在平衡时，原子之间具有量值相等、方向相反的吸引力和排斥力，求出平衡时，原子间的吸引力（排斥力）的量值。斥力，求出平衡时，原子间的吸引力（排斥力）的量值。斥力，求出平衡时，原子间的吸引力（排斥力）的量值。斥力，求出平衡时，原子间的吸引力（排斥力）的量值。解：（解：（解：（解：（1 1）平衡时，要求互作用势能取微小值，所以）平衡时，要求互作用势能取微小值，所以）平衡时，要求互作用势能取微小值，所以）平衡时，要求互作用势能取微小值，所以由上式可以求得平衡时两原子间的距离由上式可以求得平衡时两原子间的距离由上式可以求得平衡时两原子间的距离由上式可以

43、求得平衡时两原子间的距离（2 2）平衡时的结合能即为平衡时的结合能即为平衡时的结合能即为平衡时的结合能即为 离解能就是晶体全部解离成各个原子状态所须要的参量。因此，离解能就是晶体全部解离成各个原子状态所须要的参量。因此，离解能就是晶体全部解离成各个原子状态所须要的参量。因此，离解能就是晶体全部解离成各个原子状态所须要的参量。因此，离解能事实上即是该晶体的结合能离解能事实上即是该晶体的结合能离解能事实上即是该晶体的结合能离解能事实上即是该晶体的结合能EbEb。假如只计及最近邻原子间的。假如只计及最近邻原子间的。假如只计及最近邻原子间的。假如只计及最近邻原子间的互作用势能，则互作用势能，则互作用势

44、能，则互作用势能，则（3 3 3 3）已知已知已知已知m=2m=2m=2m=2，n=10n=10n=10n=10，已知每个原子的离解能已知每个原子的离解能已知每个原子的离解能已知每个原子的离解能因此因此因此因此因此把上述数值分别代入（因此把上述数值分别代入（因此把上述数值分别代入（因此把上述数值分别代入（2 2）和（）和（）和（）和（3 3）式，可得）式，可得）式，可得）式，可得即即即即由（由（由（由（6 6）式即可得）式即可得）式即可得）式即可得把把把把A A的数值代入（的数值代入（的数值代入（的数值代入（5 5）式，即得）式，即得）式，即得）式，即得（4 4）体弹性模量和晶体总互作用势能关

45、系为体弹性模量和晶体总互作用势能关系为体弹性模量和晶体总互作用势能关系为体弹性模量和晶体总互作用势能关系为假如只计及最近邻的原子间互作用势能，则有假如只计及最近邻的原子间互作用势能，则有假如只计及最近邻的原子间互作用势能，则有假如只计及最近邻的原子间互作用势能，则有因为相邻原子间的距离为因为相邻原子间的距离为因为相邻原子间的距离为因为相邻原子间的距离为r r，所以晶体的体积，所以晶体的体积，所以晶体的体积，所以晶体的体积 这里这里这里这里是与晶体的原子几何结构有关的系数，对于简立方结是与晶体的原子几何结构有关的系数，对于简立方结是与晶体的原子几何结构有关的系数，对于简立方结是与晶体的原子几何结

46、构有关的系数，对于简立方结构，构，构，构，1 1，因此，因此，因此，因此依据（依据（依据（依据（9 9）式，）式，）式，）式，所以所以所以所以依据（依据（依据（依据（8 8）式，）式，）式，）式，把（把（把（把（2 2）式代入，可得）式代入，可得）式代入，可得）式代入，可得把（把（把（把（1111）、（）、（）、（）、（1212）代入（）代入（）代入（）代入（1010）式，得到）式，得到）式，得到）式，得到因为平衡时的结合能为因为平衡时的结合能为因为平衡时的结合能为因为平衡时的结合能为E0E0，所以依据（，所以依据（，所以依据（，所以依据（3 3）及（）及（）及（）及（4 4）式）式）式）式即

47、即即即把上式代入（把上式代入（把上式代入（把上式代入（1313）式，并利用）式，并利用）式，并利用）式，并利用则可得则可得则可得则可得（5 5）平衡时，原子间的吸引力（排斥力）的量值平衡时，原子间的吸引力（排斥力）的量值平衡时，原子间的吸引力（排斥力）的量值平衡时，原子间的吸引力（排斥力）的量值 在互作用势能表达式在互作用势能表达式在互作用势能表达式在互作用势能表达式中，第一项相应于吸引势，其次项相应于排斥势，即吸引势及排斥势中，第一项相应于吸引势，其次项相应于排斥势，即吸引势及排斥势中，第一项相应于吸引势，其次项相应于排斥势，即吸引势及排斥势中，第一项相应于吸引势，其次项相应于排斥势，即吸引

48、势及排斥势分别为分别为分别为分别为因此吸引力及排斥力应为因此吸引力及排斥力应为因此吸引力及排斥力应为因此吸引力及排斥力应为在平衡时，它们的值分别为在平衡时，它们的值分别为在平衡时，它们的值分别为在平衡时，它们的值分别为其次章要点其次章要点其次章要点其次章要点1 1 1 1、晶体结合的基本类型、晶体结合的基本类型、晶体结合的基本类型、晶体结合的基本类型晶体中原子的相互作用称为键，晶体结合按键的性质主要有以下几种：晶体中原子的相互作用称为键，晶体结合按键的性质主要有以下几种：晶体中原子的相互作用称为键，晶体结合按键的性质主要有以下几种：晶体中原子的相互作用称为键，晶体结合按键的性质主要有以下几种：

49、离子鍵、共价健、金属键、范德瓦尔斯键和氢键。离子鍵、共价健、金属键、范德瓦尔斯键和氢键。离子鍵、共价健、金属键、范德瓦尔斯键和氢键。离子鍵、共价健、金属键、范德瓦尔斯键和氢键。2 2 2 2、结合能、结合能、结合能、结合能（1 1 1 1）定义）定义）定义）定义：原子结合成晶体后释放的能量原子结合成晶体后释放的能量原子结合成晶体后释放的能量原子结合成晶体后释放的能量E E E E0 0 0 0：晶体的总能量（内能）晶体的总能量（内能）晶体的总能量（内能）晶体的总能量（内能）E E E EN N N N：是组成该晶体的是组成该晶体的是组成该晶体的是组成该晶体的N N N N个原子在自由状态时的总

50、能量个原子在自由状态时的总能量个原子在自由状态时的总能量个原子在自由状态时的总能量（2 2 2 2）相互作用能）相互作用能）相互作用能）相互作用能两原子间的相互作用能两原子间的相互作用能两原子间的相互作用能两原子间的相互作用能（3 3 3 3）结合能的计算）结合能的计算）结合能的计算）结合能的计算结合能可认为是平衡时结合能可认为是平衡时结合能可认为是平衡时结合能可认为是平衡时N N N N个原子对相互作用能之和个原子对相互作用能之和个原子对相互作用能之和个原子对相互作用能之和（4 4 4 4）离子晶体的结合能）离子晶体的结合能）离子晶体的结合能）离子晶体的结合能晶体结构所确定的系数。晶体结构所