同济高数下9-8极值与最值.优秀PPT.ppt

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1、目录 上页 下页 返回 结束 第九章 第八节第八节一、多元函数的极一、多元函数的极值值 二、最二、最值应值应用用问题问题 三、条件极三、条件极值值 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法目录 上页 下页 返回 结束 一、一、多元函数的极多元函数的极值值 定定义义:若函数则称函数在该点取得极大值例如例如:在点(0,0)有微小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和微小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有(微小值).目录 上页 下页 返回 结束 提示提示:由题设 例例1.已知函数(D)依据条件无法推断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.则()的某个邻

2、域内连续,且A(2003 考研)目录 上页 下页 返回 结束 说说明明:使偏导数都为 0 的点称为驻点.例如,定理定理1(必要条件)函数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值 但驻点不确定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故目录 上页 下页 返回 结束 时,具有极值定理定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,令则:1)当A0 时取微小值.2)当3)当证明见 第九节(P121).时,没有极值.时,不能确定,需另行探讨.若函数且目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求函数解解:第一步第一步 求求驻驻点点

3、.得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).其次步其次步 判判别别.在点(1,0)处为微小值;解方程组的极值.求二阶偏导数目录 上页 下页 返回 结束 在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;目录 上页 下页 返回 结束 例例3.探探讨讨函数函数及是否取得极值.解解:明明显显(0,0)都是它都是它们们的的驻驻点点,在(0,0)点邻域内的取值,因此 z(0,0)不是极值.因此为微小值.正正负负0在点(0,0)并且在(0,0)都有 可能为目录 上页 下页 返回 结束 二、最二、最值应值应用用问题问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最

4、值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特殊特殊,当区域内部最当区域内部最值值存在存在,且只有一个极且只有一个极值值点点P 时时,为极小值为最小值(大大)(大大)依据目录 上页 下页 返回 结束 例例4 4.解解:设水箱长,宽分别为 x,y m,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2依据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能运用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.目录 上页 下页 返回 结束 例例5.有一宽为 24cm 的长方形铁板,把它折起来做成解解:设折起来的边长为 x cm

5、,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,积最大.为问怎样折法才能使断面面目录 上页 下页 返回 结束 令解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点,故此点即为所求.目录 上页 下页 返回 结束 三、条件极三、条件极值值极值问题无条件极值:条 件 极 值:条件极值的求法:方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其他条件限制例如,转化目录 上页 下页 返回 结束 方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.分析：分析：如方法 1 所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极故极值点必满足记例如例如,值问题

6、,故有目录 上页 下页 返回 结束 引入协助函数协助函数F 称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.目录 上页 下页 返回 结束 推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如例如,求函数下的极值.在条件目录 上页 下页 返回 结束 例例6.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解解:设 x,y,z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问目录 上页 下页 返回 结束 得唯一驻点由题意可知合理的

7、设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.因此,当高为思索思索:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示提示:利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价 应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示提示:长、宽、高尺寸相等.最省,目录 上页 下页 返回 结束 内容小内容小结结1.函数的极函数的极值问题值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组其次步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极函数的条件极值问题值问题(1)简洁问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法目录 上页 下页 返回 结束 设拉格朗日函数如求二元函数下

8、的极值,解方程组其次步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 依据依据问题问题的的实际实际意意义义确定最确定最值值第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最函数的最值问题值问题在条件求驻点.目录 上页 下页 返回 结束 已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点 C,使ABC 面积 S最大.解答提示解答提示:设 C 点坐标为(x,y),思索与思索与练习练习则 目录 上页 下页 返回 结束 设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点 C 与 E 重合时,三角形面积最大.点击图中随意点动画起先或暂停目录 上页 下页 返回 结束 P117 3,5,9,1

9、0,13 习题课 作作业业目录 上页 下页 返回 结束 注 备备用用题题 1.求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.解解:设内接三角形各边所对的圆心角为 x,y,z,它们所对应的三个三角形面积分别为设拉氏函数解方程组,得故圆内接正三角形面积最大,最大面积为 注则 目录 上页 下页 返回 结束 为边的面积最大的四边形,试列出其目标函数和约束条件?提示提示:目目标标函数函数:约约束条件束条件:答案答案:即四边形内接于圆时面积最大.2.求平面上以目录 上页 下页 返回 结束 3.设某电视机厂生产一台电视机的成本为c,每台电电视机的销售价格为p,销售量为x,假设该厂的生产处于平衡状态,即生产量等于销售量.依据市场预料,x 与p 满 足关系:其中M是最大市场需求量,a是价格系数.又据对生产环节的分析,预料每台电视机的生产成本满足:其中c0是生产一台电视机的成本,k是规模系数.问应如何确定每台电视机的售价 p,才能使该厂获得最大利润？解解:生产x台获得利润问题化为在条件,下求的最大值点.目录 上页 下页 返回 结束 作拉格朗日函数令将代入得由得将以上结果及,代入,得解得因问题本身最优价格必定存在,故此 p*即为所求.