四川省省级精品课程概要优秀PPT.ppt

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1、四川省省级精品课程四川省省级精品课程实变函数论实变函数论 主讲人：魏勇绪 论1.实变函数论的内容（一）顾名思义：实变函数论即探讨以实数为变量的函数中学学的函数概念都是以实数为变量的函数高校的数学分析，常微分方程也是探讨的以实数为变量的函数实变函数论还有哪些内容可学呢？简洁地说：实变函数论只做一件事，那就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积，使得操作更加敏捷。Rieman积分的缺陷：Rieman积分缺陷产生的根源：分化呆板、苛刻：必需将定义域分成区间，无论区间多么小(x)的最大值都是，最小值都是。导致(x)的大小和之差恒为，无法随意小。克服Rieman积分的缺陷的新思路：yiyi-1用 mEi

2、 表示 Ei 的“长度”实现新思路的攻关路途：首要问题：如何规定不规则集合 的长度？（第三章：测度论）缺憾：不能对全部集合规定测度退而求其次：探究哪些函数满足（第四章：可测函数）准备充分后就改造积分定义：方法：见机行事干脆规定方法：依据初衷规定 （第五章：积分理论）接着探讨积分的性质：（第六章：微分与积分）（第一章，其次章是必备公共基础）2.实变函数论的特点（一）高度抽象，防不胜防：抽象到什么程度呢？有人用八个字概括为：“似是而非，似非而是”。在此举以下两例说明之：例：若很多同学站成一列，且男女生交叉排列，随意两个男生中间有女生，随意两个女生中间有男生，在其中任取一个片段，男女生的个数无非有三

3、种可能，但男女生个数至多相差一个。随意两个有理数中有无理术，随意两个无理数中间有有理数，而任取一个片段，无理数却比有理数多得多1，即“似是而非”例：有理数在直线上密密麻麻，自然数在直线上稀稀拉拉，假如以前有人说自然数与有理数一样多的话，没人敢承认，而实变函数论通过严密论证该结论无可非议。这就是所谓“似非而是”。2.实变函数论的特点（二）例题少、定理、定义、引理、推论多，理论性强：理论性强是由于实变函数论的内容结构所确定的，因它只做一件事：恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。这就使得实变函数论的绝大部分篇幅都是在作理论上的准备，很少有应用、例题的缘由。但从另一个角度讲，实变函数论的习题几乎全是

4、证明题，而定理、引理、推论的证明本身就是一些典型的，带证明示范性的例子。3.学习实变函数论的方法（一）由于实变函数论高度抽象、理论性强，对于每一个尚未证明的结论都应持谨慎看法，不能简洁类比后就盲目承认和否定，必需严格论证或举出反例，否则就有可能出现例、例类似的错误。3.学习实变函数论的方法（二）对于每一个已经证明的结论不仅仅是记住，更重要的是理解其证明，只有理解其证明才能借鉴其方法。有人将“可数集并上至多可数集仍为可数集”记得烂熟，但无法自己证明“无限集并上一个至多可数集后其势不变”。能看懂“无限集并上一个至多可数集后其势不变”的证明，但对干脆建立（0，1）与0，1之间的11对应仍手足无措。缘

5、由:根本想不到用证明的思想方法而不是干脆用结论。未消化其证明，从而不能借鉴其方法以达解决类似问题之目的。同理:有人知“可数个可数集之并仍为可数集”，不知如何将一个可数集分解成可数个互不相交的可数集之并3.学习实变函数论的方法（三）尽管凭直观想象可能会出现例1、例2那样“似是而非，似非而是”的结论，但不能因噎废食，在每一个定理、引理、推论的证明之前都应尽量想象其合理的直观意义。直观说明虽然不能代替严格的论证，却会给我们的证明带来开阔思路的启迪，直观想象恒久是数学各分支发觉联系、揭示规律、揣测命题的重要依据和行之有效的手段之一。3.学习实变函数论的方法（四）既然实变函数论是数学分析探讨范围、内容的

6、扩展，探讨结果的改进和完善，新旧学问之间就难免存在诸多内在联系，刚好复习相关旧学问以达温故而知新的目的，留意体会如何借鉴旧方法来解决新问题的思路，同时特殊留意新方法与旧方法实质区分之处，把握创新点。3.学习实变函数论的方法（五）留意“下连上串，瞻前顾后”。如在学习R 中点之间的距离时，请先复习初中学的直线上两点间的距离公式，中学平面解析几何学的平面上两点间的距离公式，高校空间解析几何学的立体空间中两点间的距离公式即“下连”，然后阅读本课程的后继课程泛函分析的度量空间中的距离即“上串”，从而把握距离概念的实质。又如，在学习抽象测度的定义时,不仅要联想到长度、面积、体积是一种测度。还要联想到：概率统计中的概率是一种测度。还要联想到：子集中元素的个数是一种测度。思索还有哪些问题实质上是测度，即“瞻前顾后”。3.学习实变函数论的方法（六）遇到困难刚好与同学探讨，或请老师释疑，不要拖延到问题成堆才来梳理，造成时间紧迫来不及、或见问题太多而丢失攻克难关志气。