中考数学专题复习--“PA+kPB”最值探究(胡不归+阿氏圆)-学案.pdf

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1、其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。论语好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。中庸“胡不归”与“阿氏圆”背景：初中几何常见考查线段最值问题，解决问题本质思想有两个：在平面内 两点之间线段最短 垂线段最短 思想 两点之间线段最短 垂线段最短 体现 三角形三边关系(三角形两大模型边的关系)直角三角形斜边大于直角边 将军饮马大类 将军饮马特例 费马点 平行线间垂线段最短 圆外一点与圆上点距离最值 垂径定理相关最值 阿氏圆 胡不归 (三边关系)若四边形的一组对边中点的连线的长为 d，另一组对边的长分别为 3、5，则 d 的最大值是_ (斜边大于直角边)如图，已知 AB=10，P 是线段 AB 上的任意

2、一点，在 AB 的同侧分d53丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。杜甫老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。唐王勃别以 AP、PB 为边作等边三角形 APC 和等边三角 PBD，求 CD 的最小值 (费马点)已知正方形 ABCD 内一点，E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值为26，求此正方形的边长 (圆外一点与圆上点距离最值)如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，A=60，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上的一动点，将AMN 沿 MN 所在直线翻折得到AMN，连接 AC，求 AC 长度的最小值 如图，RtABC 中，ABBC，AB=12，BC=8，P 是ABC 内部的一

3、个动点，且满足PAB=PBC，求线段 CP 长的最小值 百学须先立志。朱熹丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。杜甫(将军饮马特例)如图，在锐角ABC 中，AB=8，BAC=45，BAC 的平分线交BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则求 BM+MN 的最小值.(垂径定理相关最值)如图，点 A 在半径为 3 的O 内，OA=3，P 为O 上一点，当OPA 取最大值时，PA 的长等于_.答案：4；5；2；71；4；4 2；6 BUT 以上专题不作为我们今天的主题，TODAY WE STUDY:“PA+kPB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当 k 值为 1 时，即可转

4、化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。汤显祖我尽一杯，与君发三愿：一愿世清平，二愿身强健，三愿临老头，数与君相见。白居易们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。当 k 取任意不为 1 的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点 P 所在图像的不同来分类，一般分为 2 类研究。即点 P 在直线上运动和点 P 在圆上运动。点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。胡不归 前景引入：从前，有一个小伙子在外地读

5、书，当他获悉在家的老父亲病危 古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。苏轼吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？论语的消息后，便立即启程赶路。由于着急的不行，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 AB（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归胡不归何以归”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家倘若可以，他应该选择一条 怎样的路线呢这就是风靡千百年的“胡不归问题”。天行健，君子以自强不息。地势坤

6、，君子以厚德载物。易经丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。杜甫胡不归问题探究：已知：AC 上方为砂地，速度为 V2，AC 上则为平地，速度为 V1,路线 1：走 AB 路线 2：走 AD 后再走 DB 求解：D 在何处所花时间最短 问题解决：路线 1 时间：12ABtV 路线 2 时间：212ADDBtVV 关键点：将 V1转化为 V2 作CAE=，使得21sinVV 过点 B 作 BEAE 交 AC 与点 D,则 D 为所求点，此时：211211sinADDEDEDEVVVVVV 则路线 2 时间变为：22BEtV V1V2V2DEACBV2V2V1DBCA宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望

7、天上云卷云舒。洪应明以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。旧唐书魏征列传模型归纳：在当 V2等于 1 个单位每秒，V1等于1k个单位每秒时，则路线 2 所用时间变为了211ADDBkAtkDDB，即PA+kPB 型的最值问题 模型说理：如下图，A,B 为定点，P 为射线 BM 上一点，求 PA+kPB 的最小值及确定 P 点的位置 分析：关键是转化 kPB 的大小，构造NBM，使 sinNBM=k，过 P 作 PQBN 与点 Q,此时 PQ=PBsinNBM=kPB 求 PA+kPB 的最小值转化为 求 PA+PQ 的最小值，则过 A 作 AQBN 与点 Q 交 B

8、M 于点 P,此时 AQ 即为最小值，P 为所求点 BMAPQBMANPQPPQNAMB先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。范仲淹以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。管子牧民本质：垂线段最短 解题步骤：1.将所求线段写成 PA+kPB 的形式（0k1）2.在 PB 一侧，PA 异侧，构造一个角度，使 sin=k 3.过 A 做构造的角的另一边的垂线，则垂线段即为所求最小值 4.计算即可 注意：当 k 大于 1 时需要变换（提取 k）PQNAMB勿以恶小而为之，勿以善小而不为。刘备吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？论语牛刀小试 例 1：如图，四边形 ABCD 是菱形

9、，AB=4，且ABC=60，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，求解 AM+12BM 的最小值。详解：如图，作 AN于 BC 垂足为 N,四边形 ABCD 是菱形且ABC=60，DBC=30，即1sin2MNDBCBM 12BM=MN，AM+12BM=AM+MN，即 AM+12BM 的最小值为 AN.在 RtABN 中，AN=ABsinABC=342 32.AM+12BM 的最小值为2 3.变式思考：(1)改为求 2AM+BM 的最小值 AM+BM+CM 的最小值(2)改为求 AM+2BM 的最小值 BCADMMNCAD人之为学，不日进则日退，独学无友，则孤陋而难成；久处一方，则习染

10、而不自觉。顾炎武天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。易经例 2：如图所示，点 A 为直线 l 外一定点，点 B,C 为直线 l 上两点，且 AB=2，ABC=15，点 P 为直线 l 上的动点，请确定点 P 的位置，使 AP+12BP 最小，并求出这个最小值。变式思考：改为求 2AP+2BP 的最小值 例 3：如图，P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上一动点，若 AB=2，则 AP+BP+CP 的最小值为_ 例 4：如图，一条笔直的公路 l 穿过草原，公路边上有一消防BCABCADP人之为学，不日进则日退，独学无友，则孤陋而难成；久处一方，则习染而不自觉。顾炎武宠辱不惊，看庭前

11、花开花落；去留无意，望天上云卷云舒。洪应明站 A，距离公路 5 千米的地方有一居名点 B，A，B 的直线距离是13 千米.居民点 B 着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是 80 千米/小时，而在草地上的最快速度是40 千米/小时，则消防车在出发后最快经_小时可到达居民点B.（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶）例 5：如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,4)，B(-1,0)，在y 轴上有一动点 G，求 BG+13AG 的最小值.513BAyxOAB云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。王实甫丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武例 6：如图，等腰AB

12、C 中，AB=AC=3，BC=2，BC 边上的高为AO，点 D 为射线 AO 上一点，一动点 P 从点 A 出发，沿 AD-DC 运动，动点 P 在 AD 上运动速度 3 个单位每秒，动点 P 在 CD 上运动的速度为 1 个单位每秒，则当 AD=_时，运动时间最短为_秒.例 7：如图，在菱形 ABCD 中，AB=6，且ABC=150，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，则 PA+PB+PD 的最小值为_.OBCADBCADP谋事在人，成事在天！增广贤文人不知而不愠，不亦君子乎？论语例 8：如图，在平面四边形 ABCD 中，AB=BC=1，AD=CD=2，DAB=DCB=90，点 P 为 A

13、D 中点，M，N 分别在线段BD，BC 上，则 PM+22MN 的最小值为_ 例 9：（2016 徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图像经过点 A（-1，0），B（0，-3），C（2，0），其中对称轴与 x 轴交于点 D。若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，则12PB+PD 的最小值为_。CPDBAMN勿以恶小而为之，勿以善小而不为。刘备以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。旧唐书魏征列传例 10：（2014.成都）如图，已知抛物线8 3249yxx与 x轴从左至右依次交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线

14、34 333yx与抛物线的另一个交点为D（-5，3 3）.设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接 AF，一动点 M 从点 A出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标为_时，点 M 在整个运动过程中用时最少 古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。苏轼百学须先立志。朱熹 例 11：如图所示，抛物线 y=x2-2x-3 与 x 轴交于 A,B 两点，过点 B 的直线交抛物线于点 E,且 tanEBA=43,有一只蚂蚁从 A 出发，先以 1 单位/秒的速度爬到线段 BE 的点 D 处，再以单位

15、/秒的速度沿着 DE 爬到 E 处觅食，则蚂蚁从 A 到 E 的最短时间是_秒 百学须先立志。朱熹天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。易经例 12：(2017 徐州二模)二次函数 y=x2-2x-3 图像与 x 轴交于点A,C 两点，点 C，与 y 轴交于点 B,点 P 为 x 轴上一动点，点D(0,1)在 y 轴上，连接 PD，求2PD+PC 的最小值.志不强者智不达，言不信者行不果。墨翟以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。旧唐书魏征列传答案 例 1 变式：（1）4 3；4 3（2）无解 例 2：2 例 3：26 例 4：5 3 1280 例 5：2

16、 2 43 例 6：7 24；4 23 例 7：6 2 例 8：1 例 9：3342 例 10：（-2，2 3）例 11：649 例 12：4 宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天上云卷云舒。洪应明非淡泊无以明志，非宁静无以致远。诸葛亮阿氏圆 简介：又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点 A、B，则所有满足PA/PB=k 且不等于 1 的点 P 的轨迹是一个以定比 m：n 内分和外分定线段 AB 的两个分点的连线为直径的圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆（k=m：n）证明：设点 A(a，0)，B(0,0)，P(x,y)，22PAxay,22PBxy PA=kPB,即2222

17、xayk xy 整理配方得：2222211akaxykk 点 P 的轨迹是一个以(21ak,0)为圆心,21kak为半径的圆 BAP先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。范仲淹以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。管子牧民重要结论：(1)AMANPAkMBNMPB(2)OPOAPAkOBOPPB OBPOPA（母子型相似）模型考法：考察阿氏圆模型时常常已知阿氏圆Pe和一个定点 A（大前提：OAkOP），要求找到1kAP，那么需要找出 B 点，则 BP 为所求。But how to get the B 法一：法二：根据AMPAOAkMBPBOP 根据OPOAkOBOP 截取1MBAMk 截取1O

18、BOPk 阿氏圆定义 构造母子相似 BMAONP忍一句，息一怒，饶一着，退一步。增广贤文人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。刘鹗模型说理：已知O 的半径为 r,点 A、B 都在O 外，P 为O 上的动点，已知 r=kOB.连接 PA、PB，则当“PA+kPB”的值最小时，P 点的位置如何确定 分析：关键在于转化 kPB 的大小 在 OB 上截取 OC=kOP=kr，则可得OPB 与OCP 相似,所以 PC=kPB,求 PA+kPB 的最小值转化为 求 PA+PC 的最小值 则连接 AC 即为所求 OBAPABOPCABOPC老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。唐王勃忍一句，

19、息一怒，饶一着，退一步。增广贤文解题步骤：1.连接动点至圆心 O（将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接 OP、OB 2.计算出所连接的这两条线段 OP、OB 长度 3.计算这两条线段长度的比OPkOB 4.在 OB 上取点 C，使得OCOPOPOB 5.连接 AC，与圆 O 交点即为点 P 6.计算 AC 长度即可 ABOPC天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。易经人之为学，不日进则日退，独学无友，则孤陋而难成；久处一方，则习染而不自觉。顾炎武牛刀小试 例 1：如图，在 RtABC 中，ACB90，CB4，CA6，C半径为 2，P 为圆上一动点，连结 AP，B

20、P，求 AP12BP 的最小值 详解：连接 CP，在 CB 上取点 D，使 CD1，则有12CDCPCPCB，又PCDBCP,PCDBCP，12PDBP，12PDBP 12APBPAPPDAD 2237ADACCD 变式思考：改为求解13APBP 的最小值呢 丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。杜甫丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。杜甫例 2：如图，在直角坐标系中，以原点 O 为圆心作半径为 4 的圆交 X 轴正半轴于点 A，点 M 坐标为（6,3），点 N 坐标为（8,0），点 P 在圆上运动，求 PM+12PN 的最小值.例 3：正ABC 的内切圆半径为 1，P 为圆上一点，BP+12CP 的最

21、小值为_.天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。易经人不知而不愠，不亦君子乎？论语例 4：如图，半圆的半径为 1，AB 为直径，AC、BD 为切线，AC=1，BD=2，P为AB上 一 动 点，求22PC+PD的 最 小 值.例 5：已知扇形 COD 中，COD90，OC6，OA3，OB5，点 P 是 CD 上一点，则 2PAPB 的最小值为_ AODCBP谋事在人，成事在天！增广贤文良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。汤显祖例 6：如图，菱形 ABCD 的边长为 2，锐角大小为 60，A 与 BC相切与点 E，在A 上任取一点 P，求 PB+32PD 的最小值

22、 例 7：在平面直角坐标系中，A(2,0)，B(0,2)，C(4,0)，D(3,2)，P 是AOB 外部的第一象限内一动点，且BPA=135，则 2PD+PC的最小值是_.yxODCBAP宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天上云卷云舒。洪应明志不强者智不达，言不信者行不果。墨翟例 8：（1）如图 1，已知正方形 ABCD 的边长为 4，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个动点，求 PD+12PC 的最小值和 PD-12PC 的最大值；（2）如图 2，已知正方形 ABCD 的边长为 9，圆 B 的半径为 6，点 P 是圆 B 上的一个动点，那么 PD+23PC 的最小值为_，PD

23、-23PC 的最大值为_（3）如图 3，已知菱形 ABCD 的边长为 4，B=60，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个动点，那么 PD+12PC 的最小值为_，PD-12PC 的最大值为_ 良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。汤显祖丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武例 9：如图 1，抛物线 y=ax2+（a+3）x+3（a0）与 x 轴交于点A（4，0），与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 E（m，0）（0m4），过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N，交抛物线于点P，过点 P 作 PMAB 于点 M（1）求 a 的值和直线 AB 的函数表达式；（2）设PMN 的周长为 C1，AEN 的周长为 C2，若1265CC，求 m 的值；（3）如图 2，在（2）条件下，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE，旋转角为（090），连接 EA、EB，求 EA+23EB 的最小值 百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。汉乐府长歌行百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。汉乐府长歌行答案 例 1 变式：2 373 例 2：5 例 3：212 例 4：3 22 例 5：13 例 6：372 例 7：2 2 例 8：（1）5 5 （2）106 106 （3）37 37 例 9：4 103