2020年高考数学(理)大题分解专题05--解析几何(含答案).pdf

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1、良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。汤显祖丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武 （2019 年全国卷 I）已知抛物线C：xy32的焦点为 F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若4|BFAF，求l的方程；（2）若3APPB，求|AB【肢解1】若4|BFAF，求l的方程；【肢解 2】若3APPB，求|AB 【肢解1】若4|BFAF，求l的方程；【解析】设直线l方程为mxy23，11,A x y，22,B x y，由抛物线焦半径公式可知12342AFBFxx，所以1252xx，专题 05 解析几何 大题肢解一 直线与抛物线 老当益

2、壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。唐王勃人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。刘鹗联立2323yxmyx得04)12(12922mxmx，由0144)1212(22mm得12m，所以121212592mxx，解得78m ，所以直线l的方程为3728yx，即12870 xy.【肢解 2】若3APPB，求|AB【解析】设直线l方程为23xyt，联立2233xytyx得0322tyy，由4 120t 得31t，由韦达定理知221 yy，因为PBAP3，所以213yy，所以12y，31y，所以1t，321yy.则212214)(941|yyyyAB)3(4294123134.设抛物线)0

3、(22ppxy的焦点为F，过点F的而直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p.云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。王实甫百学须先立志。朱熹弦长的计算方法：求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解 温馨提示：注意两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点 【拓展 1】已知抛物线C：xy32的焦点为 F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P若27|BFAF，求l在y轴上的截距.【解析】设直线l方程为m

4、xy23，11,A x y，22,B x y，由抛物线焦半径公式可知123722AFBFxx，所以122xx，联立2323yxmyx得04)12(12922mxmx，由0144)1212(22mm得12m，所以12121229mxx，解得21m ，所以直线l的方程为3122yx，令0 x得21y，所以直线l在y轴上的截距为21.大丈夫处世，不能立功建业，几与草木同腐乎？罗贯中良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。汤显祖【拓展 2】已知抛物线C：xy32的焦点为 F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P若2APPB，)0,4(M，求ABM的面积【解析】设直

5、线l方程为23xyt，联立2233xytyx得0322tyy，由4 120t 得31t，由韦达定理知221 yy，tyy321，因为PBAP2，所以212yy，所以22y，41y，所以821yy.38t，所以212214)(941|yyyyAB)8(429412132，直 线l方 程 为2833xy，即0823 yx，所 以 点)0,4(M到l的 距 离13413|812|d，所以ABM的面积为413413221|21dAB 1.（2019 年山西太原一模)已知抛物线xy42的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若AOB的面积为6，求|AB.【解析】由题意知抛物线xy4

6、2的焦点F的坐标为)0,1(，易知当直线AB垂直于x轴时，AOB的面积为 2，不满足题意，变式训练一 一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。增广贤文志不强者智不达，言不信者行不果。墨翟所以可设直线AB的方程为)0)(1(kxky，与xy42联立，消去x得0442kyky，设),(11yxA，),(22yxB，由韦达定理知kyy421，421yy，所以1616|221kyy，所以AOB的面积为616161212k，解得2k，所以6|11|212yykAB.2.（2019 年湖北荆州模拟)已知抛物线24yx的焦点为F，过点F的直线交抛物线于,A B两点.（1）若3AFFB，求直线AB的斜率；（2）设点M

7、在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值.【解析】（1）依题意可设直线:1AB xmy，将直线AB与抛物线联立214xmyyx2440ymy，设11(,)A x y，22(,)B xy，由韦达定理得121244yymy y，因为3AFFB，所以213yy，即312m，忍一句，息一怒，饶一着，退一步。增广贤文古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。苏轼谋事在人，成事在天！增广贤文宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天上云卷云舒。洪应明代入0,1A、13,2B两点得 222222221011321mnmn 解得21n，24m，所以椭圆:C2214xy.

8、【肢解 2】设直线)0(21:mmxyl与椭圆C交于P，Q两点，求当所取何值时，OPQ的面积最大.【解析】将直线1:,(0)2l yxm m代入2214xy得：221442xxm.整理得222220 xmxm.22224 22840mmm 得22m.由韦达定理得122xxm，21222x xm.2222121212444 2284xxxxx xmmm 242121222OPQSm xxmmmm.由二次函数可知当21m 即1m 时，OPQ的面积的最大 直线与圆锥曲线的相交弦长问题：设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|1k2|x1x

9、2|百学须先立志。朱熹海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。林则徐 1k2（x1x2）24x1x2 11k2|y1y2|11k2（y1y2）24y1y2.【变式 1】中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆C过)1,0(A、)21,3(B两点，（1）求椭圆C的方程；（2）设直线)0(21:mmxyl与椭圆C交于P，Q两点，若APQ的面积为1m，求m的值.【解析】（1）由题意可设椭圆C的方程为22221xymn，代入0,1A、13,2B两点得 222222221011321mnmn 解得21n，24m.所以椭圆:C2214xy.（2）将直线1:,(0)2l yxm m代入2214xy得221442

10、xxm.变式训练二 人不知而不愠，不亦君子乎？论语宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天上云卷云舒。洪应明整理得222220 xmxm.22224 22840mmm 得22m.设),(11yxP，),(22yxQ，韦达定理得122xxm，21222x xm.所以)22(4)2()21(1|222mmPQ252m，由点到直线的距离公式得点)1,0(A到直线l的距离5|22|md.所以APQ的面积为255|22|212mm2|1|2mm，因为APQ的面积为1m，所以12|1|2mmm，解得1m或1m（舍去）.所以1m【变式2】已知椭圆)0(1:2222babyaxC的离心率为22，其中左焦点为)

11、0,2(F（1）求椭圆C的方程；（2）若直线mxy与椭圆C交于不同的两点A，B，1ABF的面积为)2(6m，求直线的方程【解析】(1)由题意，得222222cbacac解得222ba，丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。杜甫其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。论语所以椭圆C的方程为14822yx.（2）设点),(11yxA，),(22yxB，由mxyyx14822消去y得0824322mmxx，由0)84(12)4(22mm得3232m，由韦达定理知3421mxx，382221mxx，所以)82(4)34(2|22mmAB367342m，由点到直线的距离公式得)0,2(1F到直线mxy的距离2|

12、2|md，所 以1ABF的 面 积 为36342|2|212mm)2(6m，解 得3m，满 足3232m，所以所求直线方程为3 xy或3 xy.1.（2019 年山东高考模拟）已知圆22:4O xy，抛物线2:2(0)C xpy p（1）若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为抛物线C和圆O的一个交点，求AF；我尽一杯，与君发三愿：一愿世清平，二愿身强健，三愿临老头，数与君相见。白居易人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。刘鹗（2）若直线l与抛物线C和圆O分别相切于,M N两点，设00,M xy，当03,4y 时，求MN的最大值【解析】（1）由题意知(0,2)F，所以4p.所以抛物线C的方程为

13、28xy.将28xy与224xy联立得点A的纵坐标为2(52)Ay，结合抛物线定义得|2 522ApAFy.（2）由22xpy得22xyp，xyp，所以直线l的斜率为0 xp，故直线l的方程为000 xyyxxp.即000 x xpypy.又由0220|2pyONxp得02084ypy且2040y，所以2222200|4MNOMONxy 220000020824244ypyyyyy 2202200022001644164444yyyyyy 2020641644yy.令204ty，03,4y，则5,12t，以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。旧唐书魏征列传百川东到海

14、，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。汉乐府长歌行令64()16f ttt，则264()1f tt；当5,8t时()0f t，()f t单调递减，当(8,12t时()0f t，()f t单调递增，又64169(5)16555f，64100169(12)16 121235f，所以max169()5f x，即|MN的最大值为13 55.2.（2020 黑龙江省齐市地区普高联谊高二上学期期末）已知椭圆C：22221(0)xyabab过点)23,22(与点)22,1(.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l过定点1(0,)2，且斜率为10kk，若椭圆C上存在A，B两点关于直线l对称，O为坐标原点，求k的

15、取值范围及AOB面积的最大值.【解析】（1）由题意，可得2222231441214abab，解得222,1ab，所以椭圆的方程为2212xy.（2）由题意，设直线AB的方程为(0)ykxm k，良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。汤显祖人不知而不愠，不亦君子乎？论语由2212ykxmxy，整理得222(12)4220kxkmxm，所以，即2221km，.且2121222422,1212kmmxxx xkk，所以线段AB的中点横坐标02212kmxk，纵坐标为00212mykxmk，将00,xy代入直线l方程112yxk，可得2122km ，由可得232k，又0k，所以6

16、6(,0)(0,)22k ，又222221212211()48(12)812kABkxxx xkmk，且原点O到直线 AB 的距离21mdk，所以22218(12)822(12)AOBmSAB dkmk 2212168242mmmm，所以1m 时，AOBS最大值22，此时22k ，所以22k 时，AOBS最大值22.古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。苏轼先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。范仲淹3.（2020 福建省宁德市高三第一次质量检查）已知抛物线2:2C ypx的焦点为F，1(,)2Qt在抛物线C上，且32QF.（1）求抛物线C的方程及t的值；（2）若过点(0,)Mt的直线l

17、与C相交于,A B两点，N为AB的中点，O是坐标原点，且3AOBMONSS，求直线l的方程.【解析】（1）因为3|2QF，所以13222p，所以2p，抛物线C的方程为：24yx，将1(,)2Qt代入24yx得2t，（2）设1122(,),(,),A x yB xy00(,),(0,2)N x yM，显然直线l的斜率存在，设直线l：2(0)ykxk，联立242yxykx，消去y得224(1)40k xk x，因为2216(1)160kk，得12k 且0k，所以1212224(1)4,kxxx xkk，因为3AOBMONSS，所以|3|ABMN，所以 2212013 10kxxkx，即1203xx

18、x，因为N是AB的中点，所以1202xxx，天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。易经大丈夫处世，不能立功建业，几与草木同腐乎？罗贯中所以22121212()()434xxxxx x，整理得21212()16xxx x 所以2224(1)64kkk，解得1211,3kk，所以直线l的方程为：2yx 或123yx.4.（2020 福建省龙岩市上杭县第一中学月考）已知点 A(0，2)，椭圆 E：22221xyab(ab0)的离心率为32，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为2 33，O为坐标原点.（1）求 E 的方程；（2）设过点 A 的动直线l与 E 相交于 P，Q 两点.当

19、OPQ 的面积最大时，求l的方程.【解析】（1）设,0F c，因为直线AF的斜率为2 33，0,2A，所以22 33c，3c.又2223,2cbaca，解得2,1ab，所以椭圆E的方程为2214xy.（2）设1122,P x yQ x y由题意可设直线l的方程为：2ykx，联立22142,xyykx，消去y得221416120kxkx，好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。中庸良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。汤显祖当216 430k，所以234k，所以32k 或32k，由韦达定理知1212221612,1414kxxx xkk.所以22121214PQkxxx x22

20、22164811414kkkk2224 14314kkk，点O到直线l的距离221dk，所以2214 43214OPQkSd PQk，设2430kt，则2243kt，所以24441442 4OPQtSttt，当且仅当2t，即2432k，解得72k 时取等号，满足234k，所以OPQ的面积最大时直线l的方程为：722yx或722yx.5.（2020 广东省佛山市高三教学质量检测）已知椭圆C：222210 xyabab的离心率为12，点31,2A在椭圆C上，直线1l过椭圆C的右焦点与上顶点，动直线2l：ykx与椭圆C交于M，N两点，交1l于P点.（1）求椭圆C的方程；（2）已知O为坐标原点，若点P

21、满足14OPMN，求此时MN的长度.谋事在人，成事在天！增广贤文一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。增广贤文【解析】（1）由题意得12cea，2223121ab，结合222abc，解得24a，23b，21c，故所求椭圆C的方程为22143xy.（2）易知定直线1l的方程为330 xy.联立22143ykxxy，整理得223412kx，解得21234xk，令M点的坐标为221212,3434kkk.因为14OPMN，由对称性可知，点P为OM的中点，故2212123434(,)22kkkP，又P在直线1l：330 xy上，故221212343433022kkk，解得10k，22 33k，所以M点的坐标

22、为2,0或6 4 3,55，所以2OM 或2 215，所以MN的长度为 4 或4 215.6.（2020 广西名校高三上学期 12 月高考模拟）如图，中心为坐标原点 O 的两圆半径分别为11r，22r，射线 OT 与两圆分别交于 A、B 两点，分别过 A、B 作垂直于 x 轴、y 轴的直线1l、2l，1l交2l于点 P 宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天上云卷云舒。洪应明万两黄金容易得，知心一个也难求。曹雪芹（1）当射线OT绕点O旋转时，求 P 点的轨迹 E 的方程；（2）直线 l：3ykx与曲线 E 交于 M、N 两点，两圆上共有 6 个点到直线l的距离为12时，求MN的取值范围【解析

23、】（1）设,P x y,OT 与 x 轴正方向夹角为,则cossinxOAyOB，即cos2sinxy，化简得2214yx,即 P 点的轨迹 E 的方程为2214yx.（2）当两圆上有 6 个点到直线 1 的距离为12时,原点O至直线l的距离1 3,2 2d,即2133221k,解得21,113k，联立方程22314ykxyx得2242 310kxkx，设11,M x y,22,N xy,则1222 34kxxk,12214x xk，非淡泊无以明志，非宁静无以致远。诸葛亮人之为学，不日进则日退，独学无友，则孤陋而难成；久处一方，则习染而不自觉。顾炎武所以2222121222212414144k

24、MNkxxx xkkk2224 134 144kkk，则16 16,135MN.7.（2020 辽 宁 省 沈 阳 市 东 北 育 才 学 校 高 三 模 拟）已 知(2,0)P为 椭 圆2222:1(0)xyCabab的右顶点，点M在椭圆C的长轴上，过点M且不与x轴重合的直线交椭圆C于A B、两点，当点M与坐标原点O重合时，直线PAPB、的斜率之积为14（1）求椭圆C的标准方程；（2）若2AMMB，求OAB面积的最大值【解析】（1）设1(A x，1)y，1(Bx，1)y，则2121144PAPBykkx 又2211221xyab，代入上式可得2214ba，又2a，解得1b 所以椭圆C的标准方

25、程为：2214xy（2）设直线AB的方程为：(0)xtym t，(22)m1(A x，1)y，2(B x，2)y，志不强者智不达，言不信者行不果。墨翟先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。范仲淹联立2244xtymxy，化为222(4)240tymtym，由韦达定理知12224mtyyt，212244my yt，因为2AMMB，所以122yy，所以122152yyyy，代入可得：22241694tmt 所以OAB的面积12213|()|22Sm yymy，22222222222299416161694494(4)(94)(94)tttSmytttt 所以212|1214949|tSttt，当且仅当249t 时取等号 所以OAB面积的最大值为1