《导数及其应用》单元测试题(理科).pdf

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1、我尽一杯，与君发三愿：一愿世清平，二愿身强健，三愿临老头，数与君相见。白居易一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。增广贤文导数及其应用单元测试题（理科）（满分 150 分 时间：120 分钟）一、选择题（本大题共 8 小题，共 40 分，只有一个答案正确）1函数22)(xxf的导数是（）(A)xxf4)(B)xxf24)(C)xxf28)(D)xxf16)(2函数xexxf)(的一个单调递增区间是（）(A)0,1 (B)(C)(D)3已知对任意实数x，有()()()()fxf xgxg x，且时，()0()0fxg x，则时（）A()0()0fxg x，B()0()0fxg x，C()0()0fxg

2、 x，D()0()0fxg x，4dxxxx)111(3221（）(A)872ln (B)872ln (C)452ln (D)812ln 5曲线12exy 在点2(4e)，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）29e2 6设是函数的导函数，将()yf x和()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）7已知二次函数2()f xaxbxc的导数为()fx，(0)0f，对于任意实数x都有人之为学，不日进则日退，独学无友，则孤陋而难成；久处一方，则习染而不自觉。顾炎武海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。林则徐()0f x，则(1)(0)ff的最小值为（）A3 B52 C2 D32 8

3、设2:()eln21xpf xxxmx在(0)，内单调递增，:5q m，则是q的（）充分不必要条件 必要不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件 二填空题（本大题共 6 小题，共 30 分）9用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1，则该长方体的长、宽、高各为 时，其体积最大.10将抛物线22xy 和直线围成的图形绕轴旋转一周得到的几何体 的体积等于 11 已知函数3()128f xxx在区间 3,3上的最大值与最小值分别为，则Mm 12 对正整数n，设曲线)1(xxyn在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列1nan的前 n 项和的公式是

4、13点 P 在曲线323xxy上移动，设在点 P 处的切线的倾斜角为为，则的取值范围是 14已知函数53123axxxy(1)若函数在,总是单调函数，则a的取值范围是 .(2)若函数在),1 上总是单调函数，则a的取值范围 .（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a的取值范围是 .三解答题（本大题共 6 小题，共 12+12+14+14+14+14=80 分）15设函数()eexxf x（1）证明：的导数()2fx；（2）若对所有0 x都有()f xax，求a的取值范围 16设函数3()32f xxx 分别在12xx、处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为勿以恶小而为之，勿以善小

5、而不为。刘备丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武11()x f x（,）、22()xf x（,），该平面上动点满足4PA PB u u uru u ur,点是点关于直线2(4)yx的对称点，.求(1)求点的坐标；(2)求动点的轨迹方程.17已知函数cbxxaxxf44ln)(x0)在 x=1 处取得极值-3-c，其中 a,b,c 为常数。（1）试确定 a,b 的值；（2）讨论函数 f(x)的单调区间；（3）若对任意 x0，不等式22)(cxf恒成立，求 c 的取值范围。18已知Raxxaaxxf14)1(3)(23（1）当1a时，求函数的单调区间。以家为家，以乡为乡，以国为国

6、，以天下为天下。管子牧民海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。林则徐（2）当Ra时，讨论函数的单调增区间。（3）是否存在负实数a，使0,1x，函数有最小值3 19已知函数3()3.f xxx （1）求曲线()yf x在点处的切线方程；（2）若过点(1,)(2)Amm 可作曲线()yf x的三条切线，求实数的取值范围.20已知函数 2af xxx，lng xxx，其中（1）若是函数 h xf xg x的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的12,1x xe，（e为自然对数的底数）都有 1f x 2g x成立，求实数a的取值范围 理科测试解答 一、选择题 1,42)(222xxxfxxf242)

7、(xxf28)(;古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。苏轼百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。汉乐府长歌行或 24222)(xxxxf（理科要求：复合函数求导）2.)(xxexexxf 21)(xxxeexexf，1,012xeexxx选(A)或.1,0.0)1(11)(xeexexexfxxxx 3.(B)数形结合 4（D）5（D）6（D）7（C）8（B）二、填空题 92cm,1cm,1.5cm;设长方体的宽为 x（m），则长为 2x(m)，高为 230(m)35.441218xxxh.故长方体的体积为).230()(m69)35.4(2)(3322xxxxxxV

8、从而).1(18)35.4(1818)(2xxxxxxV 令 V（x）0，解得 x=0（舍去）或 x=1，因此 x=1.当 0 x1 时，V（x）0；当 1x时，V（x）0，故在 x=1 处 V（x）取得极大值，并且这个极大值就是 V（x）的最大值。从而最大体积 VV（x）912-613（m3），此时长方体的长为 2 m，高为 1.5 m.10.dyxS102 .012210ydyy（图略）1132 12/11222,:222(2)nnnxynynx 切线方程为，令 x=0，求出切线与 y 轴交点的纵坐标为01 2nyn，所以21nnan，则数列1nan的前 n 项和12 1 2221 2nn

9、nS 13.,432,0 14.(1).3)3(;3)2(;1aaa 三、解答题 好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。中庸志不强者智不达，言不信者行不果。墨翟15解：（1）的导数()eexxfx 由于ee2 e e2x-xxxg，故()2fx（当且仅当时，等号成立）（2）令()()g xf xax，则()()eexxg xfxaa，（）若2a，当时，()ee20 xxg xaa，故在(0)，上为增函数，所以，0 x时，()(0)g xg，即()f xax（）若，方程()0g x的正根为214ln2aax，此时，若1(0)xx，则()0g x，故在该区间为减函数 所以，1(0)xx，时，()(0

10、)0g xg，即()f xax，与题设()f xax相矛盾 综上，满足条件的a的取值范围是2，16解：（1）由题意知(1)3fc ，因此3bcc ，从而3b 又对求导得 3431()4ln4fxaxxaxbxxg 3(4 ln4)xaxab 由题意(1)0f，因此40ab，解得12a （2）由（I）知3()48lnfxxx（），令()0fx，解得 当01x时，()0fx，此时为减函数；当时，()0fx，此时为增函数 因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为(1)，（3）由（II）知，在处取得极小值(1)3fc ，此极小值也是最小值，要使2()2f xc谋事在人，成事在天！增广贤文常将有日思无日

11、，莫待无时思有时。增广贤文（）恒成立，只需232cc 即2230cc ，从而(23)(1)0cc，解得32c或1c 所以c的取值范围为3(12 U，17解:(1)令033)23()(23xxxxf解得11xx或 当1x时,0)(xf,当11x时,0)(xf,当时,0)(xf 所以,函数在1x处取得极小值,在取得极大值,故1,121xx,4)1(,0)1(ff 所以,点 A、B 的坐标为)4,1(),0,1(BA.(2)设),(nmp，),(yxQ，4414,1,122nnmnmnmPBPA 21PQk，所以21mxny，又 PQ 的中点在)4(2xy上，所以4222mxny 消去得92822y

12、x.另法：点 P 的轨迹方程为,9222 nm其轨迹为以（0，2）为圆心，半径为 3 的圆；设点（0，2）关于 y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点 Q 的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为 3 的圆，由2102ab，420222ab得 a=8,b=-2 18（1）,2,x或,2 x递减;,2,2x递增;（2）1、当,0a,2,x递增;2、当,0a,2,2ax递增;3、当,10 a,2,x或,2ax递增;当,x递增;当,1a,2,ax或,2 x递增;（3）因,0a由分两类（依据：单调性，极小值点是否在区间-1,0上是分类“契机”：1、当,2,12aa,2,20,1ax递增，3)1()(m

13、infxf，解得,243a 2、当,2,12aa由单调性知：3)2()(minafxf，化简得：01332 aa，解得 其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。论语丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武,26213a不合要求；综上，43a为所求。19解（1）23()33,(2)9,(2)23 22fxxff 2 分 曲线()yf x在处的切线方程为29(2)yx，即9160 xy；4 分（2）过点(1,)Am向曲线()yf x作切线，设切点为00(,)xy 则32000003,()33.yxx kfxx 则切线方程为320000(3)(33)()yxxxxx6 分 整理得3200

14、2330(*)xxm 过点(1,)(2)Amm 可作曲线()yf x的三条切线 方程（*）有三个不同实数根.记322()233,()666(1)g xxxmg xxxx x 令()0,0g xx或 1.10 分 则,(),()x g x g x的变化情况如下表 x(,0)0 1(1,)0 0 极大 极小 当0,()xg x有极大值3;1,()mxg x有极小值.12 分 由的简图知，当且仅当(0)0,(1)0gg 即30,3220mmm 时，函数有三个不同零点，过点可作三条不同切线.所以若过点可作曲线()yf x的三条不同切线，的范围是(3,2).14 分 20（1）解法1：22lnah xx

15、xx，其定义域为0 ，2212ahxxx 是函数的极值点，10h，即230a ，3a 经检验当3a 时，是函数的极值点，3a 解法2：22lnah xxxx，其定义域为0，2212ahxxx 令 0h x，即22120axx，整理，得2220 xxa 志不强者智不达，言不信者行不果。墨翟百学须先立志。朱熹21 80a ，0h x的两个实根2111 84ax（舍去），2211 84ax，当x变化时，的变化情况如下表：x 20,x 2,x 0 极小值 依题意，211 814a，即23a，3a （2）解：对任意的12,1x xe，都有 1f x 2g x成立等价于对任意的12,1x xe，都有 mi

16、nf x maxg x 当x1，e时，110gxx 函数 lng xxx在1e，上是增函数 max1g xg ee 2221xaxaafxxx，且 1,xe，当01a且x1，e时，20 xaxafxx，函数 2af xxx在1，e上是增函数，2min11f xfa.由，得a，又01a，a不合题意 当1ae时，若1xa，则 20 xaxafxx，若axe，则 20 xaxafxx 函数 2af xxx在上是减函数，在ae，上是增函数 min2f xf aa.由，得a12e，又1ae，ae 当且x1，e时，20 xaxafxx，以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。旧唐书魏征列传谋事在人，成事在天！增广贤文函数 2af xxx在1 e，上是减函数 2minaf xf eee.由2aee，得a，又，综上所述，a的取值范围为1,2e