2-拉姆齐模型.pdf

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1、谋事在人，成事在天！增广贤文先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。范仲淹第三章 无限期界模型（拉姆齐模型）一、问题的提出 在索洛模型中，储蓄率 s 被假定为外生参数，储蓄率的变动将影响稳态的人均消费和动态的人均消费水平。当goldss 时，与最优储蓄（相对应于最优资本存量和最优消费）相比会出现“过度储蓄”（即“过度积累”）的情况，而一个高于黄金率的储蓄率被证明是动态无效的。当goldss 时，只有在给定在当前消费与未来消费之间的权衡参数的条件下，才能判断增加储蓄率的合理性。图示：s 的变动对稳态和动态的人均消费的影响 c*cgold s低 sgold s高 s c 动态无效区 c cgold s 上

2、升 s 下降 t 丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武常将有日思无日，莫待无时思有时。增广贤文那么，储蓄率是如何决定的必须引入消费者（家庭）行为来分析跨期预算约束条件下的消费和储蓄选择，即储蓄率的“内生化”。二、模型假定 1完全竞争市场结构 2长生不老的不断扩展的家庭（有限寿命的个人和基于利他主义的代际转让）3家庭和个人完全同质 4忽略资本的折旧 5暂不考虑政府行为 在简单经济中，家庭与厂商之间的关系：三、厂商行为 家庭 厂商 租让资本，获取利息 提供劳动，赚取工资 购买产品，进行消费 销售产品，获得利润 雇佣劳动，支付工资 租用资本，支付利息 相互拥有 志不强者智不达，言不

3、信者行不果。墨翟宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天上云卷云舒。洪应明 沿用新古典生产函数),(ALKFY 根据欧拉定理，ALALYKKYY)(其中，资本的边际产品为：rkfKY)(（真实利率）有效劳动的边际产品为：wkkfkfALY)()()(（工资率）四、家庭行为 1.一些假定和符号 总人口为 L，以速率 n 增长，eLtLnt)0()(；家庭的个数为 H，每个家庭有 L/H 个人；每个家庭成员在每一时点上提供 1 单位劳动；资本最初存量为 K(0)，每个家庭初始资本存量为 K(0)/H。2.家庭效用函数和即期效用函数 定义家庭效用函数（也称作“幸福函数”）为：dtHLtCudtHtL

4、tCuUottnottee)0()()()()(其中，C(t)为每个家庭成员的消费，)(u为即期效用函数，为贴现率（越大表明与现期消费相比远期消费的价值就越低）。注意：)(tCuet表示将第 t 期的消费的效用按照贴现到第 0期，即ttteCuCutCu)0()1)(0(lim)(，。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。唐王勃穷则独善其身，达则兼善天下。孟子即期效用函数的形式为：1)()(1tCtCu，0，0)1(gn 该函数具有以下三个特点：（1）边际效用弹性不变，为。定义边际效用弹性 uCuuCdCdu。（2）跨期替代弹性不变，为 1/，表示相对风险回避系数不变。【证明】下标

5、1，2 表示两期的消费，定义跨期替代弹性为：)2/1/()2/1()2/1(/)2/1(PPCCPPdCCd 由消费者均衡条件得：21)2()1(PPCuCu 代入得，2/1)2(/)1()2(/)1()2/1(CCCuCuCuCudCCd 其中，MRSCuCu)2(/)1(（边际替代率）图解：C2 MRS C1 可见，2/1)2/1(CCCCd是射线比率的变化率，)2(/)1()2(/)1(CuCuCuCud是切先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。范仲淹一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。增广贤文线斜率的变化率。令时间 1 趋近于 2，得到瞬时弹性CCuCu)()(（常数相对风险回避系数）根据1)(

6、)(1tCtCu有：CCu)(，1)(CCu，则/1 例如：一个两期的效用函数为11111211CCU，可以证明/1（思考：为什么）。常数替代弹性意味着与 C 无关，因此在消费选择上没有不确定性。但决定了家庭在不同时期转换消费的愿望，越小，家庭越愿意接受消费较大的波动。（3）边际效用)(Cu为正；当1 时，边际效用随 C 增加而减少。（4）0)1(gn是为保证效用不发散（受到约束）。3考虑有效劳动的家庭效用函数和即期效用函数 考虑劳动增进型的技术进步,并定义每单位有效劳动的平均消费为 c(t)，有：gteAtA)0()()()()(tctAtC 注意：家庭总消费 C(t)L(t)/H=c(t)

7、A(t)L(t)/H 代入即期效用函数得：好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。中庸常将有日思无日，莫待无时思有时。增广贤文1)()(1)()(11tctAtCtCu 1)()0(11tceAgt1)()0(1)1(1tceAgt 再代入家庭效用函数，得：dtHLtCudtHtLtCuUottnottee)0()()()()(dtHLtceAgtottne)0(1)()0(1)1(1)(dttceHLAgtottne1)()0()0(1)1()(1 dttcHLAotgtne1)()0()0(1)1()(1 dttcBotte1)(1 其中，HLAB)0()0(1，0)1(gn（收敛条件）4家庭

8、的跨期预算约束 家庭面临的预算约束：其一生消费的现值不能超过其初始财富加上一生的收入（利息 r 和工资 w，均为外生变量）。定义todrR)(，因此在 0 期投资的 1 单位产品在 t 期产生)(tRe单位的产品，它说明在期间0,t上连续以复利计算利息的结果。)(tRe为现值因子。当 r 不变为r时，则 R=rt。（思考：如果 r 是变动的，平均 r 怎样表示）家庭 t 期的劳动收入为 w(t)A(t)L(t)/H，消费支出是 C(t)L(t)/H，则家庭的跨期预算约束为：大丈夫处世，不能立功建业，几与草木同腐乎？罗贯中宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天上云卷云舒。洪应明0)(0)()(

9、)()()0()()(ttRttRdtHtLtwtAeHKdtHtLtCe 类似的，考虑劳动增进型的技术进步，并定义每单位有效劳动的平均消费为 c(t)和每单位有效劳动的初始平均资本 k(0)，有：gteAtA)0()(C(t)=A(t)c(t)K(0)=k(0)A(0)L(0)/H 代入得：0)(0)()()()()0()0()0()()()(ttRttRdtHtLtAtweHLAkdtHtLtAtce 再考虑有效劳动的增长，tgneLAtLtA)()0()0()()(，代入，并在两边消去 A(0)L(0)/H，得：0)()()(0)()()0()(ttgntRtgnttRdttweekdt

10、etce 5横截面条件 利用家庭资本持有量的极限形式来表示预算约束（等价命题）。已知 0)()()()()()0(0)(0)(dtHtLtCedtHtLtwtAeHKttRttR，故 0)()()()()0(0)(dtHtLtAtctweHKttR 将积分改写成为极限形式，有：0)()()()()0(lim0)(dtHtLtAtctweHKvttRv 定义第 v 期的家庭资本持有量的总和为：非淡泊无以明志，非宁静无以致远。诸葛亮人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。刘鹗dtHtLtAtctweHKeHvKvttRvRvR)()()()()0()(0)()()(右式第一项表示第 v 期的初

11、始资本存量的贡献（非负），第二项表示两期之间的储蓄贡献（可正可负）。整理有：)()()()()0()(0)()(dtHtLtAtctweHKeHvKvttRvR HvKedtHtLtAtctweHKvRvttR)()()()()()0()(0)(代入极限形式的预算约束得：0)(lim)(HvKevRv，表示家庭持有资产的现值的极限为非负。由于)()()(vkevKvgn 因此，0)(lim)()(vkeevgnvRv 6家庭的最优化问题 根据前面的推导已知 a.家庭的最大化目标函数（幸福函数）：dttcBUotte1)(1 b跨期预算约束：0)()()(0)()()0()(ttgntRtgnt

12、tRdttweekdtetce（均从有效劳动的人均情况来考虑）因此可以构造拉格朗日函数：)()()0(1)()(0)(0)()(1dtetcedttweekdttcBtgnttRttgntRotte吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？论语丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。杜甫 求解最优的 c(t)使最大，对 c(t)求导数，得到一阶条件为：tgntRteetcBe)()()(两边取对数得：tgntRtctB)()(ln)(lnln 两边再对 t 求导数，有：)()()()(gntrtctc 因此，)1()()()()(gngntrgntrtctc gtr)(这就是描述 c

13、 调整路径的“欧拉方程”，它表明家庭可以在不改变一生支出的现值的情况下通过调整其消费增加一生的效用。对欧拉方程的理解：gtrgtrtctc)()()()()()()()()()()(trtAtAtctcgtctc 已知，C(t)=c(t)A(t)则)()()()()()()(trtAtAtctctCtC 良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。汤显祖谋事在人，成事在天！增广贤文因此，当)(tr时，)(tC0；当)(tr时，)(tCk*时，gtkf)(，则)(tc0;当 k0。图示：c c=0 c0 c0 k*k 3.k 和 c 的动态学（k 和 c 的微分方程组和横截面条件

14、共同构成）（1）综合上两图，有以下相位图：c c=0 0k 谋事在人，成事在天！增广贤文天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。易经 k*kgold k （2）图中goldkk*【证明】)()(gnkfgold，gtkf)(*(，而 收 敛 条 件0)1(gn，故)(goldkf k(gold)时，追求跨期最优化的家庭将降低储蓄，使 k 收敛于 k*，且 k*k(gold)。定理 3：经济不收敛于产生最大 c（即 c(gold)）的平衡增长路径，而是收敛于一个较低的水平 c*。【证明】c*c(gold)的前提是0)1(gn，它表明贴现率较高，家庭和个人更重视现期消费，而不是未来消费。图

15、示（在索洛模型中当 s 低于 s(gold)时提高 s 的影响）：c(gold)c*c0 c0 以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。管子牧民天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。易经t t s 较大的提高 s 较小的提高 八、比较静态和动态转移：贴现率的变动 贴现率变动的含义：相当于索洛模型中储蓄率的变动。比较静态：由 c 的稳态条件gkf*)(可知，当贴现率下降时，k*提高，因此)(tc=0 线右移，导致 c 和 k*都增加。图示：c c=0 E E 0k k*k*(k(gold)k 动态转移：k 连续变化，而 c 瞬时变化，均沿鞍点路径收敛于新均衡点 E。思考：在动态转移

16、过程中、ln(Y/L)、c、k、s 的轨迹是什么 此外，贴现率下降将可以使人均消费达到黄金律水平的平衡增长。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。刘鹗穷则独善其身，达则兼善天下。孟子 九、基本结论 1拉姆齐模型没有改变索洛模型关于经济增长平衡路径的基本结论。2索洛模型可以被看作是拉姆齐模型的一个特例，它必须对应于后者特殊的参数和稳态。3拉姆齐模型的特点在于从家庭和个人的跨期消费行为的微观基础出发决定稳态的消费（储蓄），从厂商的微观基础出发决定稳态的资本存量，因此 c 和 k 是同时决定的。在这样的过程中，储蓄的决定被内生化了。4拉姆齐模型避免了在索洛模型中的无效过度资本积累。5拉姆齐模型中的任意初始状态不一定收敛到稳态，会存在发散的情况，而索洛模型则不会。作业：（对比较静态的扩展）考虑当其他外生参数n、g和上升时，由0)()(kgnckfkk和0)()()(gtkftctc共同决定的拉姆齐模型中的稳态均衡会发生怎样的变化