13常微分方程试卷A及答案.pdf

《13常微分方程试卷A及答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《13常微分方程试卷A及答案.pdf（10页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。苏轼云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。王实甫盐城师范学院考查试卷 2014-2015 学年 第 一 学期 数学科学学院 金融数学专业常微分方程试卷 A 班级 学号 姓名 一、单项选择题（在每小题的 4 个备选答案中，选出一个最佳答案，共 5 小题；每小题 3 分，共 15 分）1.方程yxxydxdy不是 （）（A）齐次微分方程.（B）贝努利微分方程.（C）变量分离方程.（D）非线性微分方程.2.微分方程0 yyxy满足条件0)0(y的解有 （）（A）1 个.（B）2 个.（C）3 个.（D）无穷多个.3.微分方程02 yyy的基本解组xxee2

2、,的朗斯基行列式的值为 （）（A）xe3.（B）xe3.（C）xe.（D）xe.4.微分方程1 xeyy的一个特解应具有形式 （）（A）baxex.（B）baex.（C）bxaex.（D）bxaxex.5.可以成为微分方程组xx2012的基解矩阵是 （）穷则独善其身，达则兼善天下。孟子谋事在人，成事在天！增广贤文（A）10012te.（B）1012tet.（C）1012tet.（D）tet1102.二、填空题（本大题 5 空,每空 3 分,共 15 分）1.当k_时，xxysec2是微分方程xkxyysectan的解.2.微分方程0)(22xydydxxyx有积分因子_.3.微 分 方 程xd

3、xdy2与 直 线32 xy相 切 的 解 是 _ _.4.通 解 为xxecexcc2321)(的 三 阶 常 系 数 齐 线 性 微 分 方 程 为_.5.证明微分方程组,),()(battfxtAx满足初值条件)(0tx的解的存在唯一性 定 理 时 所 构 造 的 皮 卡 逐 步 逼 近 向 量 函 数 序 列 为_。三、计算题（本大题共 5 小题,每小题 10 分,共 50 分）1.设)(xf连续，且满足xxedttfxf0)()(，求)(xf.先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。范仲淹以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。管子牧民2.利用解的存在唯一性定理确定初值问题0)1(,),

4、(,22yRyxyxdxdy的解的存在区间，并求第二次近似解,1,11|),(yxyxR这里.3.解方程 0)(122 xxx.4求解方程xxeyyy2.5解方程组.3,5,3zyxdtdzzyxdtdyzyxdtdx 百学须先立志。朱熹志不强者智不达，言不信者行不果。墨翟 四、应用题（本大题共 1 题，共 10 分）求一曲线，使其具有性质：曲线上每一点处的切线，切点到原点的向径以及x轴围成一个等腰三角形(以x轴为底)，且通过点(1，2).五、证明题（本大题共 1 题，共 10 分）设A为nn常数矩阵,)(t为微分方程组Axx 的定义在),(上的标准基解矩阵,所谓标准是指)(t还满足E)0(，

5、试证明:),(t,有)()()(010tttt，其中),(0t为某一确定的值.吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？论语以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。旧唐书魏征列传盐城师范学院 20142015 学年第一学期期末考查 常微分方程试卷 A 参考答案及评分标准 一、单项选择题(本大题共 5 题，每题 3 分，共 15 分)题 号 1 2 3 4 5 答 案 C D A A B 二、填空题(本大题共 5 空，每空 3 分，共 15 分)1.2；2.)1,01(都对或等于cccx；3.42 xy;4.0254 yyyy；5.ttkkdssfss

6、Att0,)()()()(,)(10 bta,2,1k.三、计算题（本大题共 5 题，每题 10 分，共 50 分）1解:所给积分方程两边关于x求导,得 xexfxf)()(,(4分)由积分方程还可以得到1)0(f.上述方程为一阶线性微分方程,它的通解为 忍一句，息一怒，饶一着，退一步。增广贤文人之为学，不日进则日退，独学无友，则孤陋而难成；久处一方，则习染而不自觉。顾炎武 )()()(xcedxeecexfxdxxdx,(8分)由(0)11fc知，故xexxf)1()(.(10分)1解:这里4141,1min,min4),(max),(MbahyxfMRyx，.由解的存在唯 一性定理知该初值

7、问题的解的存在区间为4345，。(5分)我们可以作如下的近似解表达式：,4211931863)()(,31)()(,0)(347121223120210 xxxxdyxyxdyxyxyxx (10 分)3解:令,yx 直接计算可得dxdyyx ，代入原方程,得 0122yxdxdyy,(4 分)即yxdxdyy120 或，由后一方程积分后得 2)1(xcy,即数为不同时为零的任意常其中积分得21212,11,)1(cccctcxxcx.(8 分)由cxxy积分得得,00,而当得到可由时21111ctcxcxc.于是,百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。汉乐府长歌行非淡泊无以明志，非

8、宁静无以致远。诸葛亮1211.xctc 原方程的通解为 (10 分)4解:所给方程的特征方程为0122 kk，解之得特征根为12,1k.(3 分)因1是特征根,所以可设特解为 xebaxxy2,(5分)求导得 xebxxbaaxy2)3(23，xebxbaxbaaxy 2)46()6(23.代入所给方程得 xxxeebax 26.比较系数得 61a，0b，则特解为xexy361.(7 分)于是原方程通解为 32161xxcceyx.(10 分)5解：所给方程组的特征方程为 06)(32311151113detAE.解之得特征根为21，32，63.(3分)百学须先立志。朱熹非淡泊无以明志，非宁静

9、无以致远。诸葛亮 解方程组0)(1uAE得与1对应的特征向量为0,101u;解方程组0)(2uAE得与2对应的特征向量为0,111u;解方程组0)(3uAE得与3对应的特征向量为0,121u.(9 分)于是所求方程组的通解为 236123111012111tttxycececez (10分)四、应用题（本大题共 1 题，共 10 分）解：设所求曲线方程为)(xyy，),(yx为其上的任一点，则过该点曲线的切线方程为)(xXyyY，(3 分)它与 x 轴的交点的坐标为)0,(yyx，由题意有 2222)(yyyyx,即xyy.因所求曲线经过点(1,2),显然xyy 不合题意,事实上,曲线)(xy

10、y 上过点(1,2)以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。管子牧民人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。刘鹗处的切线为xy2和点(1,2)处的向径所在的直线重合,这与题设相矛盾.所以有 xyy，（7分）它的通解为cxy，将条件2)1(y代入得所求曲线方程为2xy。（10分）五、证明题（本大题共 1 题，共 10 分）证明:因为)(t为所给方程组的解,所以),(t,有 )()(tAt,又矩阵A为nn常数矩阵,所以),(t,有 )()(00ttAtt,(4分)且有01)(det00Ett,则)(0tt 也是所给方程组的基解矩阵.因而存在常数方阵C使),(t,有 Cttt)()(0.（7分）又E)0(,故在上式中令0tt,得)(01tC.因而有 )()()(001tttt,),(t.（10 分）丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武志不强者智不达，言不信者行不果。墨翟