辽宁实验中学2017-2018年度学年高二上学期期末专业考试数学(文)试题~含解析.doc

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1、|辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才 学校2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（文）试题 第卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 对于常数 ， “ ”是“方程 的曲线是双曲线“的” （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】方程 即为 ，故该方程表示双曲线等价于 同号，即 所 以“ ”是“方程 的曲线是双曲线”的充分必要条件选C 2. 若 ，则下列不等式中错误的是（ ） A. B. C. D

2、. 【答案】A 【解析】由不等式的性质可得选项B,C,D正确对于选项A，由于 ，所以 ，故 因此A 不正确选A 3. 下列函数中，最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选项A中， ，由于 不一定为正，故最小值为4不成立 选项B中，由于 ，故 ，当且仅当 ，即 时等 号成立故B正确 选项C中， ，但等号成立时需满足 ，不合题意，故C不正确|选项D中， 不一定为正数，故D不正确 综上选项B正确选B 4. 已知实数 满足 ，则目标函数 的最小值是（ ） A. B. 15 C. 0 D. 【答案】A 【解析】作出可行域如图： 当直线 向上移动，过点A时， 有最小值， 由 解

3、得 ，所以 ，故选A. 5. 下列命题中，说法错误的是（ ） A. “若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ” B. “ 是真命题”是“ 是真命题”的充分不必要条件 C. “ ”的否定是“ ” D. “若 ，则 是偶函数”的逆命题是真命题 【答案】C 【解析】选项A中，由否命题的定义知，结论正确 选项B中，由“ 是真命题”可得“ 是真命题” ，反之不成立故“ 是真命题”是 “ 是真命题”的充分不必要条件所以B正确 选项C中， “ ”的否定是“ ” ，故C不正确 选项D中，所给命题的逆命题为“若 是偶函数，则 ”为真命题故D正 确|选C 6. 设 ，若 是 与 的等比中项，则 的最小值为（ ） A.

4、 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 是 与 的等比中项， ， ， ，当且仅当 且 ，即 时等号成立选D 7. 已知 分别是椭圆 的左、右焦点， 是以 为直径的圆与该椭圆的一个交点， 且 ，则这个椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为 是以 为直径的圆与该椭圆的一个交点，所以 ，因为 ，所以 。在 中，因为 ，所以 ， 由椭圆定义可得 ，所以 。故选A。 【点睛】求离心率的值或范围就是找 的值或关系。由 是以 为直径的圆与该椭圆的 一个交点，得 为直角三角形。由 求出两锐角，根据斜边求两直角边， 再根据椭圆定义得关于 的关系式，可求离心率。

5、8. 设 为等比数列 的前 项和， ，则 （ ） A. B. C. 2 D. 17 【答案】A|. . 故答案选A。 9. 在等差数列 中， 是其前 项和， ， ，则 （ ） A. 11 B. C. 10 D. 【答案】B 【解析】由等差数列的知识可得，数列 为等差数列，且首项为 ，设其公差为 ， 则 ， ， 选B 10. 设 分别是双曲线 的左右焦点，点 .若 ，则双 曲线 的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 如图，由题意得点M在直线 上，则 是直角三角形，其中 ，|且 ， ， ， 则 ， ， 整理得 ， ， 解得 或 (舍去)选C 点睛：求椭圆或双曲线的离心

6、率（或范围）时，要先分析题意、理清所给的条件，并将所给 的条件转化到同一个三角形内，并根据三角形的有关知识得到关于 的方程或不等式，消 去 后转化为关于 的方程或不等式，再根据 得到关于离心率 的方程或不等式，求解后 可得离心率或其范围 11. 设 为等差数列，若 ，且它的前 项和 有最小值，那么当 取得最小正值时的 值为（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】C 【解析】 为等差数列, 有最小值，则 ， ，又 ，说明 ， ，则 ， ， ，则 为最小正值.选C. 12. 已知定义在 上的奇函数 的导函数为 ，当 时， 满足， ， 则 在 上的零点个数为（ ） A. 5

7、B. 3 C. 1或3 D. 1 【答案】D|【解析】根据题意可构造函数 则 由题当 时， 满足， ， ， 即函数 在 时是增函数， 又 当 成立， 对任意 是奇函数， 时， 即 只有一个根就是0 故选D 第卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 函数 的递增区间为_ 【答案】 【解析】 ， ， 由 ，解得 函数的单调递增区间为 答案： （ 也对） 14. 在数列 中， ，且数列 是等比数列，则 _ 【答案】 【解析】试题分析：由于数列 是等比数列， ，所以 ，|所以公比是 ，所以数列 的通项公式是 ，进而 ，故答案填 . 考点：1.通项公式；2.等比数

8、列. 15. 已知函数 ，若函数 在区间 上是单调增函数，则实数 的取值范围 是_ 【答案】 【解析】由 ，得 函数 在区间 上是单调增函数， 在 上恒成立， 在 上恒成立， 即 在 上恒成立 令 ，则 ， 在 上单调递减 故实数 的取值范围是 答案： 16. 抛物线 的焦点为 ，已知点 为抛物线上的两个动点，且满足 ,过 弦 的中点 作抛物线准线的垂线 ，垂足为 ，则 的最大值为 _ 【答案】|【解析】 连AF、BF，设 ， 由抛物线定义得 ， 过A,B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为 ，则四边形ABPQ为梯形，MN为中位线，则 在 中，由余弦定理得， 又 ， ， 故 的最大值为 答案：

9、点睛：圆锥曲线中的最值与范围问题常与不等式、函数等知识结合在一起，涉及的知识点较 多、难度较大解题时可先建立关于某个参数的目标函数，再求这个函数的最值，常用的方 法有以下几个： 利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关 系； 利用基本不等式求出参数的取值范围； 利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 若数列 满足 .|（1）求证：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式； （2）设 ，若数列 的前 项和为 ，求证： . 【答案】(1)见解析， (2)见解析. 【解析

10、】试题分析： （1）由 变形得 ，可得数列 为等比数列，通过求该数列的 通项公式，可得数列 的通项公式 （2）由（1）可得 ，故 ， 利用裂项相消法求和即可 试题解析： （1)证明： ， 又 ， 数列 是首项为 ，公比为2的等比数列， （2）由（1）知 ， ， . 18. 已知函数 . （1）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围； （2）解关于 的不等式 . 【答案】(1) (2) 当 时， 的解集为 ；当 时， 的解集为 ；当 时， 的解集为 ；当 时， 的解集为|. 【解析】试题分析： （1）由条件可得不等式 在 上恒成立，根据抛物线的开口方向和判别式可 得所求范围 （2）原不等式化为 ，

11、根据 的不同取值解不等式即可 试题解析： （1）由 在 上恒成立，可得 在 上恒成立 ， 解得 实数 的取值范围为 （2）由不等式 得 当 时，不等式等价于 ， 解得 ； 当 时，不等式等价于 ，无解； 当 时，不等式等价于 ， 解得 ； 当 时，不等式等价于 ， 解得 或 ； 综上当 时， 的解集为 ； 当 时， 的解集为 ； 当 时， 的解集为 ； 当 时， 的解集为 . 点睛： （1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应 方程根的情况，然后结合相应二次函 数的图象写出不等式的解集|（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序

12、进行讨论： 首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最 后当根存在时，再根据根的大小进行分类 19. 已知过点 的动直线与抛物线 相交于 两点.当直线的斜率是 时， . （1）求抛物线 的方程； （2）设线段 的中垂线在 轴上的截距为 ，求 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的交点问题等基础知识， 考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用点斜式先写出直 线的方程，令直线与抛物线联立，消参得到关于y的方程，利用韦达定理，得到 和 ，再利用 ，解出 ，得到抛物线的方程；第

13、二问，设出直线的方程，令 抛物线与直线联立，消参得到关于x 的方程，利用韦达定理，得到BC的中点坐标，从而得 到BC的中垂线方程，令x=0，得到中垂线在y轴上的截距，再通过配方法求范围. 试题解析：(1)设B(x 1 ，y 1 )，C(x 2 ，y 2 )，当直线l的斜率是时，l的方程为y(x4)，即 x2y4. 由 得2y 2 (8p)y80， , 又 ，y 2 4y 1 ， 由及p0得：y 1 1，y 2 4，p2，得抛物线G的方程为x 2 4y. (2)设l：yk(x4)，BC的中点坐标为(x 0 ，y 0 )， 由 得x 2 4kx16k0， ，y 0 k(x 0 4)2k 2 4k.

14、 线段BC的中垂线方程为y2k 2 4k (x2k)， 线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b2k 2 4k22(k1) 2 ， 对于方程，由16k 2 64k0得k0或k4. b(2，)|考点：抛物线的标准方程、直线与抛物线的交点问题. 20. 已知数列 ， 为数列 的前 项和， ， . （1）求数列 的通项公式； （2）证明 为等差数列. （3）若数列 的通项公式为 ，令 . 为 的前 项的和， 求 . 【答案】(1) (2)见解析；（3） 【解析】试题分析： 试题解析： （1） ， , , . 当 时， ， 数列 是首项为2，公比为 2的等比数列， . |（2） ， ， 又 ， ， 数列

15、是首项为1，公差为1的等差数列. （3）由（2)知 , ， ， -得： . 21. 已知椭圆 的左顶点为 ，右焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 两点. （1）求该椭圆的离心率； （2）设直线 和 分别与直线 交于点 ，问： 轴上是否存在定点 使得 ？ 乳品存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.|【答案】(1) (2) 轴上存在定点 或 ，使得 【解析】试题分析：（1）由椭圆方程分别求出a,b,c的值，求出离心率；（2）假设在x轴 上存在点p，设直线BC的方程为 ，B(x 1 ，y 1 )，C(x 2 ，y 2 )， 联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出 的表达式，求出M,N的坐标，由 MPN

16、P，求出P点的坐标，即得出定点。 试题解析： (1)由椭圆方程可得a2，b ，从而椭圆的半焦距c 1. 所以椭圆的离心率为e . (2)依题意，直线BC的斜率不为 0， 设其方程为xty1. 将其代入 1，整理得(43t 2 )y 2 6ty90. 设B(x 1 ，y 1 )，C(x 2 ，y 2 )， 所以y 1 y 2 ，y 1 y 2 . 易知直线AB的方程是y (x2)， 从而可得M(4， )，同理可得N(4， ) 假设x轴上存在定点P(p，0)使得MPNP，则有 0. 所以(p4) 2 0. 将x 1 ty 1 1，x 2 ty 2 1代入上式，整理得 (p4) 2 0， 所以(p4

17、) 2 0， 即(p4) 2 90，解得p1或 p7. 所以x轴上存在定点P(1，0)或 P(7，0)，使得MPNP. 点睛：本题主要考查椭圆的几何性质以及定点问题，属于难题。本题关键是利用韦达定理求 出 的表达式，再表示出 M,N的坐标。 22. 已知函数 （1）若曲线 与 在公共点 处有相同的切线，求实数 的值；|（2）若 ，且曲线 与 总存在公共的切线，求正数 的最小值. 【答案】(1) (2) 【解析】试题分析： （1）根据 可求得 （2）根据导数的几何意义可求得函数 在点 处的切线方程为 ，由 得 ，由两曲线总 存在公切线可得 有解，即关于的方程 有 解，分离参数后转化为函数的最值问

18、题求解即可 试题解析： （1) ， 依据题意得 ，即 ，解得 . （2）当 时， ， ， 设切点为 ，则 ， 曲线 在点 处的切线方程为： ， 即 由 消去y得 ， 总存在公切线， 总有解， 即关于的方程 总有解. , ,解得 ，|方程 总有解 令 ， 则 ， 则当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增 ， ，解得 ， 正数 的最小值故 . 点睛： （1）对于一些复杂的问题，解题时要善于将问题转化，转化成能用熟知的导数研究的问题 来处理 （2）求解不等式能成立（方程有解）问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题 转化为研究新函数的值域（或最值）的问题注意以下结论： 有解等价于 的范围即 为函数 的值域； 有解等价于 ； 有解等价于