辽宁凌源市2017-2018年度学年高二上学期期末专业考试数学(理)试题~含解析.doc

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1、|凌源市 20172018学年第一学期高二年级期末考试 数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】集合 ， , 所以 . 故选C. 2. “ ”是“ ”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由 解得 x2，或x2“是“ “成立的充分不必要条件。 故选：B. 3. 函数 的最大值是（ ） A. -1 B. 1 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】根据题意

2、得： ，所以 . 又 ，为减函数， 为增函数， 所以函数 为减函数，当 时取得最大值1. 故选B. 4. 已知双曲线的中心为原点， 是双曲线的一个焦点， 是双曲线的一条渐近线， 则双曲线的标准方程为（ ）|A. B. C. D. 【答案】D 【解析】双曲线的中心为原点，F(3,0)是双曲线的个焦点， 设双曲线方程为 ，a0， 是双曲线的一条渐近线， ，解得a 2 =4， 双曲线方程为 . 故选D. 5. 若直线的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则可能使 的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】直线的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则使 ，只需 即可. 四个选项中，只有D，

3、满足. 故选D. 6. 已知 为抛物线 上一点，则 到其焦点 的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】把 代入抛物线方程得：2=2p， p=1. 抛物线的焦点为F(0, ). 抛物线的准线方程为y= . A到准线的距离为1+ = .|AF= . 故选：A. 7. 执行如图所示的程序框图，如果输出的 值为3，则输入 的值可以是（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】A 【解析】由题意，模拟执行程序，可得 k=0，S=0， 满足条件Sa，S=20+3=3，k=0+1=1 满足条件Sa，S=23+3=9，k=1+1=2 满足条件Sa，S=29+3=21

4、，k=2+1=3 由题意，此时，应该不满足条件21a，退出循环，输出k的值为3，从而结合选项可得输入 的a的值为20. 故选：A. 8. 为得到函数 的图象，只需要将函数 的图象（ ） A. 向左平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度 C. 向右平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度 【答案】D 【解析】因为 所以只需要将函数 的图象向右平移 个单位长度即可. 故选C. 点睛：本题考查三角函数的图象变换和三角函数的性质；本题的易错点是“向右平移时，平|移单位错误” ，要注意左右平移时，平移的单位仅对于自变量 而言，如：将 的图象将左平移 个单位时得到函数 的图象，而不是 的图象.

5、9. 若 ， ，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 . 即 . 又 ，所以 ，所以 ， 于是 ，所以 ， 故选A. 10. 若 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】做出不等式组表示的可行域，如图所示： 设 ,则 . 据图分析知当直线 经过直线 和 的交点A(1,2)时， 取得最大值2， 故选C. 点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是 虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、 还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取

6、法、值域范围. 11. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）|A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由三视图可知几何体为圆柱与 球的组合体。 圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1. 所以几何体的表面积为1 2 +213+41 2 + 1 2 + 1 2 =9. 故选B. 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平 齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的 长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图 画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何

7、体地面的直观图； 2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视 图进行调整. 12. 函数 的定义域为 ，图象如图1所示；函数 的定义域为 ，图象如图2所 示，方程 有 个实数根，方程 有 个实数根，则 （ ）|A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】试题分析：注意到 ， 有 个根， 有 个根， 有 个根，故 .注意到 ， ， 有 个根，故 ，所以 . 考点：函数的零点，复合函数. . . 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知 ，且 ，则 的最小值是_ 【答案】4 【解析】由 ，得 . 当且仅当 ，即 时

8、，等号成立. 答案为：4. 14. 已知向量 ， ，且 ，则 的值为_ 【答案】12 【解析】向量 ， ，|. 由 ，得 . 解得 . 点睛：本题主要考查了奇函数的性质及基本不等式的应用，基本不等式求最值应注意的问题 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽 视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注 意“拆” “拼” “凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正” “定” “等”的条件 15. 已知 是直线 上的动点， 是圆 的切线， 是切点， 是圆心，那么四边形 面积的最小值是_ 【答案】 【解析】试题分析：因为圆的方程

9、 可化为 ，圆心 ， 半径为 ，依题作出草图，可知 ,所以四边形 面 积的最小值就是 的最小值,而 ,本题要求出最小的 的值,即为圆心 到 直线 的最短距离 ,所以 ，即四边形 面 积的最小值是 . 考点：1.点到直线的距离；2.切线的性质；3.转换的思想. 16. 椭圆 上的任意一点 (短轴端点除外)与短轴上、下两个端点 的连 线交 轴于点 和 ，则 的最小值是_ 【答案】 可得 ,同理可求 ,|所以 . 所以 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知 函数 在区间 上有1个零点； 函数 图象与 轴交 于不同的两点.若“ ”是假命题，

10、“ ”是真命题，求实数 的取值范围. 【答案】 【解析】试题分析：对于命题p，设 y=f（x） ，知道该函数为二次函数，对称轴为x=1，从而 有 ，解该不等式组即可得到00，从而可解得 或 并且根据条件可知p真q假，或p假q真，求出这两种情况的a的取值范围再 求并集即可 试题解析： 对于 设 . 该二次函数图象开向上，对称轴为直线 ， 所以 ，所以 ； 对于 函数 与 轴交于不同的两点， 所以 ，即 ， 解得 或 . 因为“ ”是假命题， “ ”是真命题，所以 一真一假. 当 真 假时，有 ，所以 ； 当 假 真时，有 ，所以 或 . 所以实数 的取值范围是 . 点睛：（1）当命题p与q的关系

11、不好判断时，我们可以考虑写出命题p,q的否定，即 与 ，分析出 与 的关系，再根据互为逆否命题同真同假进行判断。|为真，即p与q同时为真。 ） 为假，即p与q中至少有一个为假。为真，即p与q至少有一个为真。 为假，即p与q同时为假。 （4） 与 的真假性相反。 18. 在数列 中， ， ， . （1）求证：数列 为等比数列； （2）求数列 的前 项和. 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】试题分析：（1）要证明数列 为等比数列，应证明 为常数，设法对 进行代数变形即可得证；（2）在（1）证明的基础上可求得 ，利用乘公比 错位相减法即可实现求和 试题解析：（1）由题意 所以数列 为等比数列 （

12、2）得 考点：数列的递推公式、等比数列定义的应用及其前 项和公式 19. 已知顶点在单位圆上的 中，角 的对边分别为 ，且 . （1）求 的值； （2）若 ，求 的面积. 【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得 2sinAcosA=sinA，又0A，即可求得cosA的值 （2）由同角三角函数基本关系式可求sinA的值，由于顶点在单位圆上的ABC中，利用正|弦定理可得 ，可求a，利用余弦定理可得 bc的值，利用三角形面积公式即可得解 试题解析： 解：（1）因为 ， 所以 ， 所以 . 因为 ，所以 ， 所以 . 因为 ，所以 . 所以 ，所以

13、 . （2）据（1）求解知 ，又 ， ， 又据题设知 ，得 . 因为由余弦定理，得 ， 所以 . 所以 . 20. 某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市1565岁的人群抽样了 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示. （1）分别求出 的值； （2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应 各抽取多少人？ （3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取 的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.|【答案】(1) ， ， ， (2) 依次抽取2人，3人，1人（3） 【解析】试题分析：（1）先由第一组求

14、出 的值，再结合图表及频率分布直方图就可以求出 的值；（2）根据（1）中求出的各组人数，按照分层抽样的方法就可求出各组应抽取 的人数；（3）先列出从 人中随机抽取 人的总抽取方法，再列出所抽取的人中第二组至少有 人的抽取方法数，即可求出所得的概率. 试题解析：（1）由频率表中第一组数据可知，第一组总人数为 ， 再结合频率分布直方图可知 ， ， ， ， （2）第二，三，四组中回答正确的共有 人，所以利用分层抽样在 人中抽取 人，每组分 别抽取的人数为： 第二组： 人， 第三组： 人， 第四组： 人. （3）设第二组的 人为 ，第三组的 人为 ，第四组的 人为 ，则从 人中抽 人所有可能的结果有：

15、共 个基本 事件，其中第二组至少有一人被抽中的有 这 个基本事件.所以第二组 至少有一人获得幸运奖的概率为 . 考点：1、频率分布表及直方图；2、分层抽样；3、古典概型. 21. 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .|（1）求椭圆 的方程； （2）设不过原点 的直线 与椭圆 交于 两点，直线 的斜率分别为 ，满足 ，试问：当 变化时， 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的 结论；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) 当 变化时， 为定值 . 【解析】试题分析：（1）求椭圆的标准方程，就是要确定 的值，只要找到两个关于 的 等式即可，本题中一个离心率，一个是椭圆过已知点，由此可得；（2

16、）设交点 ， ，把直线方程与椭圆方程联立方程组，消去 后，可得 ，计算 ，化简后并把 代入可得结论 试题解析：（1）依题意可得 解得 . 所以椭圆 的方程是 . （2）当 变化时， 为定值，证明如下： 由 得， . 设 ， ，则 ， （*） 直线 的斜率依次为 ，且 ， ，得 ， 将（*）代入得： ， 经检验满足 考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系|【名师点睛】本题考查解析几何中的定值问题，采用“设而不求”方法求解，即设交点为 ，把直线方程与椭圆方程联立方程组后消元得 的一元二次方程，从而得 ，然后计算 ，把 代入，由等式 求得 ，如果能求出，说 明定值存在，如果不能求出，说明定值不存

17、在 22. 如下图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点. （1）求证： ； （2）设平面 平面 ， ， ，求二面角 的正弦值. 【答案】(1)见解析；(2) 二面角 的正弦值为 【解析】试题分析：（1） 设 的中点为 ，连接 ，由 可证 平 面 ，进而可得 ；（2） 两两互相垂直，可建立空间直角坐标系，分别 求出平面 的一个法向量和平面 的一个法向量，再利用空间两向量夹角余弦公式求出 二面角的余弦，进而求的正弦. 试题解析：（1）设 的中点为 ，连接 ， ， ， 又 为 的中点， ， ， ， 平面 ， 又 平面 ， （2）由（1）知： ， ， 平面 平面 ， 平面 平面 平面 ， 平面 ， 平面 ， ， 两两互相垂直 ， |由 为 的中点， 得 ， 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， 设平面 的一个法向量为 ，则 ，取 ，解得 ， 是平面 的一个法向量 同理可求平面 的一个法向量 设二面角 的大小为 ，则 ， ， ， 二面角 的正弦值为 考点：1、线面垂直的定义及判定定理；2、空间向量夹角余弦公式.|