江苏南京市2018年度届高三第三次模拟专业考试数学试题~Word版含内容答案.doc

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1、|南京市 2018届高三年级第三次模拟考试数 学 2018.05 注意事项： 1本试卷共 4页，包括填空题（第 1题第 14题） 、解答题（第 15题第 20题）两 部分本试卷满分为 160分，考试时间为 120分钟 2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的 答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸 一、填空题（本大题共 14小题，每小题 5分，计 70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在 答题纸的指定位置上） 1集合 Ax| x 2 x60，Bx| x 2 40，则 AB= _ 2已知复数 z 的共轭复数是 若 z(2i)5，其中 i 为虚

2、数单位，则 的模 z z 为 _ 3某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了 500名学生，他们的每天 在校平均开销都不低于 20元且不超过 60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天 在校平均开销在50，60元的学生人数为 _4根据如图所示的伪代码，可知输出 S的值为 _ 5已知 A，B，C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么 A 与 B 在相邻两天值 班的概率为 _ 6若实数 x，y 满足 则 的取值范围为 x y 3 0， x 2y 5 0， y 2 0， ) y x _ 7. 已知 ， 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，有如下四个命题： S1 I1

3、While I8SS2II3 End While Print S (第 3题图) (第4题图)|若 l，l，则 ； 若 l，则 l； 若 l，l，则 ； 若 l，则 l 其中真命题为 （填所有真命题的序号） _ 8在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 1(a0，b0)的一个焦点到一条渐近线 x2 a2 y2 b2 的距离为 2a，则该双曲线的离心率为 _ 9若等比数列a n 的前 n项和为 S n ，nN * ，且 a 1 =1，S 6 =3S 3 ，则 a 7 的值为 _ 10若 f(x)是定义在 R 上的周期为 3的函数，且 f(x)Error!则 f(a+1)的值为 _ 11在平面直角

4、坐标系 xOy 中，圆 M：x 2 y 2 6x4y80与 x 轴的两个交点分别为 A，B，其中 A 在 B 的右侧，以 AB 为直径的圆记为圆 N，过点 A 作直线 l 与圆 M，圆 N 分别交于 C，D 两点若 D 为线段 AC 的中点，则直线 l 的方程为 _ 12在ABC 中，AB=3，AC=2，D 为边 BC 上一点若 5， ，则 AB AD AC AD 2 3 AB 的值为 AC _ 13若正数 a，b，c 成等差数列，则 的最小值为 c 2a b b a 2c _ 14已知 a，bR，e 为自然对数的底数若存在 b3e，e 2 ，使得函数 f (x) e x axb 在1，3上存

5、在零点，则 a的取值范围为 _ 二、解答题（本大题共 6小题，计 90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步 骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15(本小题满分 14分) 在平面直角坐标系 xOy 中，锐角 ，的顶点为坐标原点 O，始边为 x 轴的正半轴，终 边与单位圆 O 的交点分别为 P，Q已知点 P 的横坐标为 ，点 Q 的纵坐标 为 （1）求 cos2 的值； （2）求 2的值. P O Q x|16.（本小题满分 14分） 如图，在三棱锥 PABC 中，PA ，其余棱长均为 2，M 是棱 PC 上的一点，D，E 6 分别为棱 AB，BC 的中点 （1）求证: 平面 PBC

6、平面 ABC； （2）若 PD平面 AEM，求 PM 的长 17(本小题满分 14分) 如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段 AB，AC 和以 BC 为直径的半圆弧 组成， BC 其中 AC 为 2百米，ACBC，A 为 若在半圆弧 ，线段 AC，线段 AB 上各建一 3 BC 个观赏亭 D，E，F，再修两条栈道 DE，DF，使 DEAB，DFAC. 记 CBD（ ） 3 2 （1）试用 表示 BD 的长； （2）试确定点 E 的位置，使两条栈道长度之和最大. 18(本小题满分 16分) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1(ab0)经过点 P( ， )，离心 x2 a2 y2

7、 b2 8 5 3 5 率为 . 已知过点 M( ，0)的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点 2 5 A B C D F E (第 17题图) (第 16题图) A C B M D E P (第 15题图)|（1）求椭圆 C 的方程； （2）试问 x 轴上是否存在定点 N，使得 为定值若存在，求出点 N 的坐标；若 NA NB 不存在，请说明理由. 19(本小题满分 16分) 已知函数 f (x)2x 3 3ax 2 3a2（a0） ，记 f(x)为 f(x)的导函数 （1）若 f (x)的极大值为 0，求实数 a的值； （2）若函数 g (x)f (x)6x，求 g (x)在0，1上取

8、到最大值时 x 的值； （3）若关于 x 的不等式 f(x)f(x)在 ， 上有解，求满足条件的正整数 a的集合a 2a + 2 2 20(本小题满分 16分) 若数列a n 满足：对于任意 nN*，a n |a n1 a n2 |均为数列a n 中的项，则称数列 a n 为“T 数列”（1）若数列a n 的前 n项和 S n 2n 2 ，nN*，求证：数列a n 为“T 数列”；（2）若公差为 d的等差数列a n 为“T 数列”，求 d的取值范围； （3）若数列a n 为“T 数列”，a 1 1，且对于任意 nN*，均有 a n a a a n1 ， 2n 1 2n 求数列a n 的通项公式

9、 x y O (第 18题图) M B A|南京市 2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题 2018.05 注意事项： 1附加题供选修物理的考生使用 2本试卷共 40分，考试时间 30分钟 3答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题 的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸 21 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2题，每小题 10分，共计 20分请在 答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 41：几何证明选讲 在ABC 中， AC AB，M 为边 AB 上一点，AMC 的外接圆交 BC 边于点 1

10、 2 N，BN2AM， 求证：CM 是ACB 的平分线 B选修 42：矩阵与变换 C A B M N (第 21A 题图)|已知矩阵 A ，B ，若直线 l: xy20 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到 1 2 0 1 2 0 0 1 直线 l 1 ，求直线 l 1 的方程 C选修 44：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P（2，） ，圆心 C 为直线 sin( ) 与极轴的交 3 3 3 点，求圆 C 的极坐标方程 D选修 45：不等式选讲 已知 a，b，c(0，)，且 abc1，求 的最大值 2ab 2bc 2ca 【必做题】第 22题、第 23题，每题 10分，共计 2

11、0分请在答卷卡指定区域内作答解 答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 22(本小题满分 10分) 在平面直角坐标系 中，抛物线 C：y 2 2px(p0)的焦点为 F，点 A(1，a) (a0)是 xOy 抛物线 C 上一点，且 AF2 （1）求 p的值； （2）若 M，N 为抛物线 C 上异于 A 的两点，且 AMAN记点 M，N 到直线 y2 的距离分别为 d 1 ，d 2 ，求 d 1 d 2 的值 23(本小题满分 10分) F (第 22题图) x y O A M N|已知 f n (x) A x(x1)(xi1)，g n (x)A x(x1)(xn1)，其中 nin nn xR，

12、nN*且 n2 （1）若 f n (1)7g n (1)，求 n的值； （2）对于每一个给定的正整数 n，求关于 x 的方程 f n (x)g n (x)0 所有解的集合 南京市 2018届高三年级第三次模拟考试 数学参考答案 说明： 1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果 后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分

13、数 4只给整数分数，填空题不给中间分数 一、填空题（本大题共 14小题，每小题 5分，计 70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在 答题纸的指定位置上） 13，2，2 2 3150 47 5 5 2 3 6 ，2 7 2 11 8 94 102 11x2y40 123 13 5 14e ，4e 2二、解答题（本大题共 6小题，计 90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步 骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15(本小题满分 14分) 解：（1）因为点 P 的横坐标为 ，P 在单位圆上， 为锐角，|所以 cos ， 2分 所以 cos22cos 2 1 4分 1 7 （2）因为点

14、Q 的纵坐标为 ，所以 sin 6分又因为 为锐角，所以 cos 8分 13 14 因为 cos ，且 为锐角，所以 sin ， 因此 sin22sincos ， 10分 所以 sin(2) 12分 13 14 1 7 因为 为锐角，所以 02 又 cos20，所以 02 ， 2 又 为锐角，所以 2 ，所以 2 14 2 2 3 分 16(本小题满分 14分) （1）证明：如图 1，连结 PE 因为PBC 的边长为 2的正三角形，E 为 BC 中点， 所以 PEBC， 2分 且 PE ，同理 AE 3 3 因为 PA ，所以 PE 2 AE 2 PA 2 ，所以 PEAE4 分 6 因为 P

15、EBC，PEAE，BCAEE，AE，BC 平面 ABC， 所以 PE 平面 ABC 因为 PE平面 PBC， 所以平面 PBC平面 ABC 7分 （2）解法一 如图 1，连接 CD 交 AE 于 O，连接 OM 因为 PD平面 AEM，PD 平面 PDC，平面 AEM平面 PDCOM， 所以 PDOM， 9分 所以 11分 PM PC DO DC 因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点，CDAEO， (图 1) O C B P A C B M D E|所以 O 为ABC 重心，所以 ， DO DC 1 3 所以 PM PC 14分 1 3 2 3解法二 如图 2，取 BE 的中点 N，连接

16、PN 因为 D，N 分别为 AB，BE 的中点， 所以 DNAE 又 DN平面 AEM，AE平面 AEM， 所以 DN平面 AEM 又因为 PD平面 AEM，DN平面 PDN，PD 平面 PDN，DNPDD， 所以平面 PDN平面 AEM 9分 又因为平面 AEM平面 PBCME，平面 PDN平面 PBCPN， 所以 MEPN，所以 11分 PM PC NE NC 因为 E，N 分别为 BC，BE 的中点， 所以 ，所以 PM PC 14分 NE NC 1 3 1 3 2 3 17(本小题满分 14分) 解：（1）连结 DC 在ABC 中，AC 为 2百米，ACBC，A 为 ， 3 所以CBA

17、 ，AB4，BC2 2分 6 3 因为 BC 为直径，所以BDC ， 2 所以 BDBC cos2 cos 3 4分 （2）在BDF 中，DBF ，BFD ，BD2 cos， 6 3 3 所以 ， BD sinBFD 所以 DF4cossin( )， 6分 6 且 BF4cos ，所以 DEAF=44cos ， 8分 22所以 DEDF44cos 4 cossin( )= sin2cos23 2 6 3 (图 2) P A C B M D E C B N|2 sin(2 )3 12分 6 因为 ，所以 2 ， 3 2 2 6 5 6 所以当 2 ，即 时，DEDF 有最大值 5，此时 E 与

18、C 重合 13分 6 2 3 答：当 E 与 C 重合时，两条栈道长度之和最大 14分 18(本小题满分 16分) 解（1）离心率 e ，所以 c a，b a， 2分c a3 23 2 a2 c21 2 所以椭圆 C 的方程为 1 x2 4b2 y2 b2 因为椭圆 C 经过点 P( ， )，所以 1， 8 5 3 5 16 25b2 9 25b2 所以 b 2 1，所以椭圆 C 的方程为 y 2 1 x2 4 4分 （2）解法一 设 N(n，0)， 当 l 斜率不存在时，A( ，y)，B( ，y)，则 y 2 1 ， 2 5 2 524 25 则 ( n) 2 y 2 ( n) 2 n 2

19、n ， 6分 NA NB 2 5 2 524 25 4 5 4 5 当 l 经过左右顶点时， (2n)(2n)n 2 4 NA NB 令 n 2 n n 2 4，得 n4 8分 4 5 4 5 下面证明当 N 为(4，0)时，对斜率为 k 的直线 l：yk(x )，恒有 122 5 NA NB 设 A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )， 由 消去 y，得(4k 2 1)x 2 k 2 x k 2 40， 16 516 25 所以 x 1 x 2 ，x 1 x 2 ， 10分 所以 (x 1 4)(x 2 4)y 1 y 2 NA NB |(x 1 4)(x 2 4)k 2 (x

20、1 )(x 2 )2 52 5 (k 2 1)x 1 x 2 (4 k 2 )(x 1 x 2 )16 k 2 12分 2 54 25 (k 2 1) (4 k 2 ) 16 k 22 54 25 16 1612 16k2 4 4k2 1 所以在 x 轴上存在定点 N(4，0)，使得 为定值 16分 NA NB 解法二 设 N(n，0)，当直线 l 斜率存在时，设 l：yk(x )，2 5 设 A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )， 由 消去 y，得(4k 2 1)x 2 k 2 x k 2 40， 16 516 25 所以 x 1 x 2 ，x 1 x 2 ， 6分 所以 (x

21、 1 n)(x 2 n)y 1 y 2 (x 1 n)(x 2 n)k 2 (x 1 )(x 2 ) NA NB 2 52 5 (k 2 1)x 1 x 2 (n k 2 )(x 1 x 2 )n 2 k 22 54 25 (k 2 1) (n k 2 ) n 2 k 2 8分2 54 25 n 2 n 2 12分 若 为常数，则 为常数，设 ， 为常数， NA NB 则( n )k 2 44k 2 对任意的实数 k 恒成立， 16 516 5 所以 所以 n4，4， |此时 12 14分 NA NB 当直线 l 斜率不存在时，A( ，y)，B( ，y)，则 y 2 1 ， 2 5 2 524

22、 25 所以 ( 4) 2 y 2 ( 4) 2 12， NA NB 2 5 2 524 25 所以在 x 轴上存在定点 N(4，0)，使得 为定值 16分 NA NB 19(本小题满分 16分) 解：（1）因为 f (x)2x 3 3ax 2 3a2（a0） ， 所以 f(x)6x 2 6ax6x(xa) 令 f(x)0，得 x0或 a 2分 当 x(，0)时，f(x)0，f (x)单调递增； 当 x(0，a)时，f(x)0，f (x)单调递减； 当 x(a，)时，f(x)0，f (x)单调递增 故 f (x) 极大值 f (0)3a20，解得 a 4分 2 3 （2）g (x)f (x)6

23、x2x 3 3ax 2 6x3a2（a0） ，则 g(x)6x 2 6ax66(x 2 ax1)，x0，1 当 0a2时，36(a 2 4)0， 所以 g(x)0 恒成立，g (x)在0，1上单调递增， 则 g (x)取得最大值时 x 的值为 1 6分 当 a2时，g(x)的对称轴 x 1，且36(a 2 4)0，g(1)6(2a) a 2 0，g(0)60，所以 g(x)在(0，1)上存在唯一零点 x 0 当 x(0，x 0 )时，g(x)0，g (x)单调递增， 当 x(x 0 ，1)时，g(x)0，g (x)单调递减， 则 g (x)取得最大值时 x 的值为 x 0 8分 综上，当 0a

24、2时，g (x)取得最大值时 x 的值为 1； 当 a2时，g (x)取得最大值时 x 的值为 9分 （3）设 h (x)f (x)f (x)2x 3 3(a2)x 2 6ax3a2， 则 h (x)0 在 ， 有解 10分a 2 a 2 2 h(x)6x 2 (a2)xa6(x ) 2 ， a 2 2 a2 4 4|因为 h(x)在( ， )上单调递减，所以 h(x)h( ) a 2 0， a 2 a 2 2 a 2 3 2 所以 h (x)在( ， )上单调递减， a 2 a 2 2 所以 h( )0，即 a 3 3a 2 6a40 a 2 12分 设 t (a)a 3 3a 2 6a4（

25、a0） ，则 t (a)3a 2 6a6， 当 a(0，1 )时，t (a)0，t (a)单调递减； 2 当 a(1 ，)时，t (a)0，t(a)单调递增 2 因为 t (0)40，t (1)40，所以 t (a)存在一个零点 m(0，1)， 14分 因为 t (4)40，t (5)240，所以 t (a)存在一个零点 n(4，5)， 所以 t (a)0的解集为m，n， 故满足条件的正整数 a的集合为1，2，3，4 16分 20(本小题满分 16分) 解：（1）当 n2时，a n S n S n1 2n 2 2(n1) 2 4n2，又 a 1 S 1 2412，所以 a n 4n2 2分所以

26、 a n |a n1 a n2 |4n244(n1)2 为数列a n 的第 n1项，因此数列a n 为“T 数列” 4分（2）因为数列a n 是公差为 d的等差数列，所以 a n |a n1 a n2 |a 1 (n1) d|d|因为数列a n 为“T 数列”，所以任意 nN*，存在 mN*，使得 a 1 (n1) d|d|a m ，即有(mn) d|d|6分若 d0，则存在 mn1N*，使得(mn) d|d|，若 d0，则 mn1 此时，当 n1时，m0 不为正整数，所以 d0不符合题意综上，d0 8分（3）因为 a n a n1 ，所以 a n |a n1 a n2 |a n a n2 a

27、 n1 又因为 a n a n a n2 a n1 a n2 (a n1 a n )a n2 ，且数列a n 为“T 数列”，所以 a n a n2 a n1 a n1 ，即 a n a n2 2a n1 ，所以数列a n 为等差数列 10分|设数列a n 的公差为 t(t0)，则有 a n 1(n1)t，由 a n a a a n1 ，得 1(n1)tt2(2n1)t 2n 1 2n 1nt，12分整理得 n(2t 2 t)t 2 3t1， n(t2t 2 )2tt 2 1 若 2t 2 t0，取正整数 N 0 ， t2 3t 1 2t2 t 则当 nN 0 时，n(2t 2 t)(2t 2

28、 t) N 0 t 2 3t1，与式对于任意 nN*恒成立相 矛盾， 因此 2t 2 t0 同样根据式可得 t2t 2 0， 所以 2t 2 t0又 t0，所以 t 1 2 经检验当 t 时，两式对于任意 nN*恒成立， 1 2所以数列a n 的通项公式为 a n 1 (n1) 1 2 n 1 2 16分|南京市 2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2018.05 说明： 1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度，

29、可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果 后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，填空题不给中间分数 21 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2题，每小题 10分，共计 20分请在 答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 41：几何证明选讲 证明：连结 MN，则BMNBCA， 2分 又MBNCBA，因此MBNCBA 4分 所以 6分 AB AC BN MN 又因为 AC AB，所以 2，即 BN2MN 8分 1 2 BN MN 又因为 BN2AM，所

30、以 AMMN， 所以 CM 是ACB 的平分线 10分 B选修 42：矩阵与变换 解：因为 A ，B ，所以 AB 4分 1 2 0 1 2 0 0 1 2 2 0 1 设点 P 0 (x 0 ，y 0 )是 l 上任意一点，P 0 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到 P(x，y) 因为 P 0 (x 0 ，y 0 )在直线 l: xy20 上，所以 x 0 y 0 20 由 AB ，即 ， x0 y0 x y 2 2 0 1 x0 y0 x y 得 6 2 x0 2 y0 x， y0 y， ) 分 即 将代入得 x4y40，|所以直线 l 1 的方程为 x4y40 10分 C选修 44：坐标

31、系与参数方程 解：解法一 在直线sin( ) 中，令 0，得 2. 3 3 所以圆 C 的圆心坐标为 C(2，0) 4 分 因为圆 C 经过点 P(2， )， 3 所以圆 C 的半径 PC 2， 6分 所以圆 C 的极坐标方程4cos 10分 解法二 以极点为坐标原点，极轴为 x 轴建立平面直角坐标系， 则直线方程为 y x2 ，P 的直角坐标为(1， )， 3 3 3 令 y0，得 x2，所以 C(2，0)， 4分 所以圆 C 的半径 PC =2， 6分 所以圆 C 的方程为(x2) 2 (y0) 2 4，即 x 2 y 2 4x0， 8分 所以圆 C 的极坐标方程4cos. 10分 D选修

32、 45：不等式选讲 解：因为(1 2 1 2 1 2 )( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 (1 1 1 ) 2a b 2b c 2c a 2a b 2b c 2c a 2 ， 即( ) 2 9(abc) 2a b 2b c 2c a 4分 因为 abc1，所以( ) 2 9， 2a b 2b c 2c a 6分 所以 3， 2a b 2b c 2c a 当且仅当 ，即 abc 时等号成立 2a b 2b c 2c a1 3 所以 的最大值为 3. 2a b 2b c 2c a 10分 【必做题】第 22题、第 23题，每题 10分，共计 20分 |22 （本小题满分 10分） 解：（1）因为

33、点 A(1，a) (a0)是抛物线 C 上一点，且 AF=2，所以 12，所以 p2. 3分 p 2 （2）解法一 由(1)得抛物线方程为 y 2 4x 因为点 A(1，a) (a0)是抛物线 C 上一点，所以 a2 4分 设直线 AM 方程为 x1m (y2) (m0)，M(x 1 ，y 1 )，N(x 2 ，y 2 ) 由 消去 x，得 y 2 4m y8m40， x 1 m (y 2)， y2 4x， ) 即(y2)( y4m2)0，所以 y 1 4m2 6分 因为 AMAN，所以 代 m，得 y 2 2， 8 1 m 4 m 分 所以 d 1 d 2 |(y 1 2) (y 2 2)|

34、4m( )|16 10分 4 m 解法二 由(1)得抛物线方程为 y 2 4x 因为点 A(1，a) (a0)是抛物线 C 上一点，所以 a2 4分 设 M(x 1 ，y 1 )，N(x 2 ，y 2 )，则 (x 1 1)(x 2 1)( y 1 2) (y 2 2)0 6分 AM AN 又因为 M(x 1 ，y 1 )，N(x 2 ，y 2 )在 y 2 4x 上， 所以(y 2 1 4) (y 2 2 4)16( y 1 2) (y 2 2)0， 即( y 1 2) (y 2 2)16( y 1 2) (y 2 2)0 因为( y 1 2) (y 2 2)0，所以( y 1 2) (y

35、2 2)16， 8分 所以 d 1 d 2 |(y 1 2) (y 2 2)|16 10分 23 （本小题满分 10分） 解：（1）因为 f n (x) A x(x1)(xi1)， n in 所以 f n (1) A 1i n!(n1)n!，g n (1) n in A 12n2n!， nn所以(n1)n!14n!，解得 n15 3分（2）因为 f 2 (x)g 2 (x)2x2x(x1)(x1)(x2)，f 3 (x)g 3 (x)6x3x(x1)6x(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)，猜想 f n (x)g n (x)(x1)(x2)(xn) 5分下面用数学归纳法证明：|当 n2时，

36、命题成立；假设 nk(k2，k N*)时命题成立，即 f k (x)g k (x)(x1)(x2)(xk)， 因为 f k1 (x) A x(x1)(xi1) k 1 ik 1 (k1)A x(x1)(xi1)A x(x1)(xk1) k ik 1k 1(k+1) f k (x)(k+1) x(x1)(xk1)，所以 f k1 (x)g k1 (x)(k+1) f k (x)(k+1) x(x1)(xk1) A x(x1)(xk) k 1k 1(k+1) f k (x)x(x1)(xk1)A x(x1)(xk) kk(k+1) f k (x)g k (x)x(x1)(xk)(k+1)(x1)(x2)(xk)x(x1)(xk)(x1)(x2)(xk) (xk1)，即 nk1 时命题也成立 因此任意 nN*且 n2，有 f n (x)g n (x)(x1)(x2)(xn) 9分所以对于每一个给定的正整数 n，关于 x 的方程 f n (x)g n (x)0 所有解的集合为 1，2，n 10分