理论力学第一章~习题.doc

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1、|第一章习题 1.4 细杆 OL 绕 O 点以角速 转动，并推动小环 C 在固定的钢丝 AB 上滑动。图中的 d 为 已知常数，试求小球的速度及加速度的量值。 解 如题1.4.1图所示， A B O C L x d 第1.4题图 OL 绕 O 点以匀角速度转动， C 在 AB上滑动，因此 C 点有一个垂直杆的速度分 量 2 2 x d OC v C 点速度 d x d d v v v 2 2 2 sec sec cos 又因为 所以 C 点加速度 tan sec sec 2 d dt dv a 2 2 2 2 2 2 2 tan sec 2 d x d x d |1.5 矿山升降机作加速度运动

2、时，其变加速度可用下式表示： T t c a 2 sin 1 式中 c 及T 为常数，试求运动开始 t 秒后升降机的速度及其所走过的路程。已知升降机的 初速度为零。 解 由题可知，变加速度表示为 T t c a 2 sin 1 由加速度的微分形式我们可知 dt dv a 代入得 dt T t c dv 2 sin 1 对等式两边同时积分 dt T t c dv t v 0 0 2 sin 1 可得 ： D T t c T ct v 2 cos 2 （ D为常数） 代入初始条件： 0 t 时， 0 v ，故 c T D 2 即 1 2 cos 2 T t T t c v 又因为 dt ds v

3、所以 dt T t T t c 1 2 cos 2 ds 对等式两边同时积分 ，可得： t T t T T t c s 2 sin 2 2 2 1 2 |1.6 一质点沿位失及垂直于位失的速度分别为 r 及 ，式中 及 是常数。试证其沿 位矢及垂直于位失的加速度为 r r r , 2 2 2 解 由题可知质点的位矢速度 r / v(1) 沿垂直于位矢速度 v(2) 又因为 ， 即 r r (3) r r / v r v r (4) 对求导 (5) r r r 2 对求导 r r r 2(6) 根据课本的推导可知 沿位矢方向加速度 2 r r a （7） 垂直位矢方向加速度 r r a 2 （8

4、） 把（3） （4） （5） （6）代入（7） （8）式中可得 r r a 2 2 2 / r a |1.7 试自 sin , cos r y r x 出发，计算 x 及 y 。并由此推出径向加速度 r a 及横向加速度 a 。 解 由题可知 sin cos r y r x 对求导 sin cos r r x 对求导 cos sin sin 2 cos 2 r r r r x 对求导 cos sin r r y 对求导 sin cos cos 2 sin 2 r r r r y 对于加速度 a ，我们有如下关系见题1.7.1图 r a a O x y 题1.7.1图 sin cos y x a

5、 r 把代入 得 2 r r a r 同理可得 r r a 2 2 ( )cos ( 2 )sin x r r r r 即 2 ( )sin ( 2 )cos y r r r r 即 sin cos a x y |1.14 一飞机在静止空气中每小时的速率为 100 千米。如果飞机沿每边为 6 千米的正方形飞 行，且风速为每小时 28 千米，方向与正方形的某两边平行，则飞机绕此正方形飞行一周， 需时多少？ 解 正方形如题1.14.1图。 A C B D 3 v 4 v 1 v 由题可知 h km v v / 28 一 一 设风速 B A , h km v / 100 一 ,当飞机 B A ， h

6、 km h km v / 128 / ) 28 100 ( 1 h km h km v D B / 96 / 28 100 , 2 2 2 h km h km v D C / 72 / ) 28 100 ( , 3 4 ,v A D h km h km / 96 / 28 100 2 2 故飞机沿此边长6 h km/ 正方形飞行一周所需总时间 min 16 5 15 192 49 96 6 72 6 96 6 128 6 h h t 2 v 一 v 一 v 题1.14.2图一 v 一 v 4 v 题1.14.3图|1.17 小船 M 被水冲走后，由一荡桨人以不变的相对速度 朝岸上 A点划回。假

7、定河流 2 速度 沿河宽不变，且小船可以看成一个质点，求船的轨迹。 1 解 以 A 为极点，岸为极轴建立极坐标如题.17.1图. 1 C 2 C A x O r 题1.17.1图 船沿垂直于r的方向的速度为 ，船沿径向r方向的速度为 和 沿径 sin 1 2 1 向的分量的合成， 即- 2 1 1 cos sin dt dr dt d r /得 ，对两积分： d r dr cot sin 1 2 C r sin ln 2 tan ln ln 1 2 设 为常数，即 C k , 2 , 1 2 C r k k 1 1 cos 2 sin ln ln 代入初始条件 0 r r 时， 0 .设 ,

8、2 0 0 有 , cos 2 sin ln ln 0 1 0 1 0 k k r C 得 0 1 0 1 1 1 0 sin cos cos sin k k k k r r|1.19 将质量为 m 的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比，即 2 2 gv mk R 。如上抛时的速度为 0 v ，试证此质点又落至投掷点时的速度为 0 2 2 0 1 1 v k v v 解 质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降阶段.取向上为正各力示意图如题 1.19.1图， mg v v R R mg 上升时 下降时 题1.19.1图 则两个过程的运动方程为： 上升 2 2 y g mk mg

9、y m 下降： 2 2 y g mk mg y m 对上升阶段: 2 2 1 v k g dt dv 2 2 1 v k g dy vdv dt dy dy dv 即 gdy v k vdv 2 2 1 对两边积分 gdy v k vdv h v 0 2 2 0 1 0 所以 | 2 0 2 2 1 ln 2 1 v k g k h 即质点到达的高度. 对下降阶段： 2 2 gv k -g dy vdv dt dy dy dv 即 gdy v k vdv h v 0 2 2 0 1 1 2 1 2 2 1 ln 2 1 v k g k h 由=可得 2 0 2 0 1 1 v k v v |1

10、.28 重为 W 的不受摩擦而沿半长轴为 a 、半短轴为 b 的椭圆弧滑下，此椭圆的短轴是竖 直的。如小球自长 2 轴的端点开始运动时，其初速度为零，试求小球在到达椭圆的最低点 时它对椭圆的压力。 解 建立如题1.28.1图所示直角坐标. a b A B O x y 题1.28.1图 椭圆方程 1 2 2 2 2 b y a x 从 A滑到最低点 B，只有重力做功.机械能守恒.即 2 2 1 mv mgb 设小球在最低点受到椭圆轨道对它的支持力为 N 则有： 2 v m mg N 为 B点的曲率半径.B A 的轨迹： 2 2 1 a x b y 得 2 2 2 1 a x a bx y ；2

11、3 2 2 2 1 1 a x a b y 又因为 2 2 3 2 1 1 a b y y k 所以 2 2 2 2 2 1 2 a b W mgh a b mg mv mg N 故根据作用力与反作用力的关系小球到达椭圆最低点对椭圆压力为| 2 2 2 1 a b W方向垂直轨道向下. 1.36 检验下列的力是否是保守力。如是，则求出其势能。 a2 3 3 20 6 y bx y abz F x ， y bx abxz F y 4 3 10 6 ， 2 18abxyz F z b z F y F x F z y x k j i F 解 （a）保守力 F 满足条件 0 F 对题中所给的力的表达式

12、 ，代入上式 即 0 2 2 k j i k j i F F F k j i F z y x y 40abx 6abz y 40bx 6abz y 18abz y 18abz 18abxz 18abxz y F x F x F z F z F y F z y x 3 3 3 3 2 2 x y z x y z 所以此力是保守力，其势为 3 2 4 , , 0 , , 2 0 , , 0 , 0 , 4 3 0 0 0 0 0 2 3 3 z y, x, 0 , 0 , 0 x 6 5 18 10 6 d 20 6 F abxyz y bx dz abxyz dy y bx abxz x y b

13、x y abz dz F dy F dx V z y x y x y x x , x, , , z y dr F(b)同（a） ， 由 0 k j i k j i F y F x F x F z F z F y F F F F z y x x y z x y z z y x 所以此力F 是保守力，则其势能为 dz F dy F dx F d V B A B A B x A z z z y y y x x r F|1.38 已知作用在质点上的力为 z a y a x a F z a y a x a F z a y a x a F z y x 33 32 31 23 22 21 13 12 11

14、式中系数 3 , 2 , 1 , j i a ij 都是常数。问这些 ij a 应满足什么条件，才有势能存在？如这些条 件满足，试计算其势能。 解 要满足势能的存在，即力场必须是无旋场，亦即力为保守力，所以 0 F 即 x F z F x F y F z F y F z x y x y z 得 31 13 21 12 23 32 a a a a a a 3 , 2 , 1 , j i a ij 为常数满足上式关系，才有势能存在。 势能为：| zx a yz a xy a z a y a x a dz z a y a x a dy z a y a x a dx z a y a x a d F d

15、y F dx F d V z y x y x y x x x z z y x 31 23 12 2 31 2 12 2 11 , , 0 , , 33 32 31 0 , , 0 , 0 , 23 22 21 0 , 0 , 0 , 0 , 0 13 12 11 2 2 2 2 1 r F 1.39 一质点受一与距离 2 3 次方成反比的引力作用在一直线上运动。试证此质点自无穷由静 止出发到达距力心 a 时的速率和自距力心 a 静止出发到达距力心 4 a 时的速率相同。 证 质点受一与距离 2 3 成反比的力的作用。 设此力为 一 一 一 一 k kr r F 2 3 又因为 dr vdv md dt dr dr dv m dt dv m r F 即 mvdv dr r F mvdv dr kr 2 3 当质点从无穷远处到达a 时，对式两边分别积分： v a vdv m dr kr 0 2 3 2 1 2 4 a m k v 当质点从a 静止出发到达 4 a 时，对式两边分别积分：| v a a dv m dr kr 0 4 2 3 得 2 1 2 4 a m k v 所以质点自无穷远到达a 时的速率和自a 静止出发到达 4 a 时的速率相同。