九年级数学上学期第一次月专业考试卷~(含解析)新人教出版1.doc

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1、|2015-2016学年四川省自贡市沿滩区仙市中学九年级（上）第一次 月考数学试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1拒绝“餐桌浪费”刻不容缓，据统计全国每年浪费食物总量约为50000000000千克，这 个数据用科学记数法表示为（ ） A510 10 B0.510 11 C510 11 D0.510 10 2若关于x的一元二次方程kx 2 2x1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围 是（ ） Ak1 Bk1且k0 Ck1且k0 Dk1且k0 3已知m，n是关于x的一元二次方程x 2 3x+a=0的两个解，若（m1） （n1）=6， 则a的值为（ ） A10 B4 C4 D10 4

2、已知二次函数y=x 2 3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0） ，则关于x 的一元二次方程x 2 3x+m=0的两实数根是（ ） Ax 1 =1，x 2 =1 Bx 1 =1，x 2 =2 Cx 1 =1，x 2 =0 Dx 1 =1，x 2 =3 5将抛物线y=（x1） 2 +3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析 式为（ ） Ay=（x2） 2 By=（x2） 2 +6Cy=x 2 +6 Dy=x 2 6某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个设该厂八、九月份平 均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A50（1+x 2 ）=196

3、 B50+50（1+x 2 ）=196 C50+50（1+x）+50（1+x） 2 =196 D50+50（1+x）+50（1+2x）=196 7若多项式x 4 +mx 3 +nx16含有因式（x2）和（x1） ，则mn的值是（ ） A100 B0 C100 D50 8要使 + 有意义，则x应满足（ ） A x3 Bx3且x C x3 D x3 9如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过 程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函 数图象大致为（ ） A B C D|10如图，二次函数y=ax 2 +bx+c（a0）的图

4、象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和 （1，0） 下列结论：ab0，b 2 4a，0a+b+c2，0b1，当x1时， y0，其中正确结论的个数是（ ） A5个 B4个 C3个 D2个二、填空题（每小题4分，共20分） 11化简：| |=_ 12若两个连续整数x、y满足x +1y，则x+y的值是_ 13若抛物线y=x 2 +bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n） ，B（m+6，n） ，则 n=_ 14已知整数k5，若ABC的边长均满足关于x的方程x 2 3 x+8=0，则ABC的周长 是_ 15如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛 物线，以水平

5、方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析 式是y= （x6） 2 +4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是_三、解答题（每题8分，两小题，共16分） 16解关于x的一元二次方程：4x 2 8x+1=0（用配方法） 17先化简 ，然后从1、 、1中选取一个你认为合适的 数作为a的值代入求值四、解答题（每题8分，两小题，共16分） 18用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成长、宽各为多少时，才 能使做成的窗框的透光面积为1.44m 2 ？（设窗框宽为xm ）|19在ABCD中，BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BHEC于点H，求证： CH=EH

6、五、解答题（每题10分，两小题，共20分） 20已知二次函数y=x 2 4x+3 （1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的 情况； （2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及ABC的面积 21已知：关于x的方程2x 2 +kx1=0 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求另一个根及k值六、解答题（每题12分，两小题，共24分） 22某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个） 的变化如下表： 价格x（元/个） 30 40 50 60 销售量y（万个） 5 4 3 2 同时，销售过程中的其

7、他开支（不含进价）总计40万元 （1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次 函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式 （2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析 式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？ （3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若 还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？ 23 （1）如图（1） ，已知：在ABC中，BAC=90，AB=AC，直线m经过点A，BD直线 m，CE直线m，垂足分别为点D、E 证明：DE=BD+CE （2

8、）如图（2） ，将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上， 并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角或钝角请问结论DE=BD+CE是否成立？ 如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由 （3）拓展与应用：如图（3） ，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点 互不重合） ，点F为BAC平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三角形，连接 BD、CE，若BDA=AEC=BAC，试判断DEF的形状|24如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2，0） ，点B的坐标为（1， ） ，已知 抛物线y=ax 2 +bx+c（a0）经过三点A、B、O（O为

9、原点） （1）求抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的 坐标；若不存在，请说明理由； （3）如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么PAB是否有最大面积？若有，求 出此时P点的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说明理由 （注意：本题中的结果均保 留根号）|2015-2016学年四川省自贡市沿滩区仙市中学九年级（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分） 1拒绝“餐桌浪费”刻不容缓，据统计全国每年浪费食物总量约为50000000000千克，这 个数据用科学记数法表示为（ ） A510 10 B0.5

10、10 11 C510 11 D0.510 10 【考点】科学记数法表示较大的数 【分析】科学记数法的表示形式为a10 n 的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的 值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数 【解答】解：将50000000000用科学记数法表示为：510 10 故选：A2若关于x的一元二次方程kx 2 2x1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围 是（ ） Ak1 Bk1且k0 Ck1且k0 Dk1且k0 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义 【分析】根据方程有两个不相等的实

11、数根，得到根的判别式的值大于0列出不等式，且二 次项系数不为0，即可求出k的范围 【解答】解：一元二次方程kx 2 2x1=0有两个不相等的实数根， =b 2 4ac=4+4k0，且k0， 解得：k1且k0 故选D3已知m，n是关于x的一元二次方程x 2 3x+a=0的两个解，若（m1） （n1）=6， 则a的值为（ ） A10 B4 C4 D10 【考点】根与系数的关系 【分析】利用根与系数的关系表示出m+n与mn，已知等式左边利用多项式乘多项式法则变 形，将m+n与mn的值代入即可求出a的值 【解答】解：根据题意得：m+n=3，mn=a， （m1） （n1）=mn（m+n）+1=6， a3

12、+1=6， 解得：a=4 故选C4已知二次函数y=x 2 3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0） ，则关于x 的一元二次方程x 2 3x+m=0的两实数根是（ ） Ax 1 =1，x 2 =1 Bx 1 =1，x 2 =2 Cx 1 =1，x 2 =0 Dx 1 =1，x 2 =3 【考点】抛物线与x轴的交点 【分析】关于x的一元二次方程x 2 3x+m=0的两实数根就是二次函数y=x 2 3x+m（m为常 数）的图象与x轴的两个交点的横坐标|【解答】解：二次函数的解析式是y=x 2 3x+m（m为常数） ， 该抛物线的对称轴是：x= 又二次函数y=x 2 3x+m（m为常数）

13、的图象与x轴的一个交点为（1，0） ， 根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0） ， 关于x的一元二次方程x 2 3x+m=0的两实数根分别是：x 1 =1，x 2 =2 故选B5将抛物线y=（x1） 2 +3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析 式为（ ） Ay=（x2） 2 By=（x2） 2 +6Cy=x 2 +6 Dy=x 2 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可 【解答】解：将抛物线y=（x1） 2 +3向左平移1个单位所得直线解析式为： y=（x1+1） 2 +3，即y=x 2 +3； 再

14、向下平移3个单位为：y=x 2 +33，即y=x 2 故选D6某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个设该厂八、九月份平 均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A50（1+x 2 ）=196 B50+50（1+x 2 ）=196 C50+50（1+x）+50（1+x） 2 =196 D50+50（1+x）+50（1+2x）=196 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量（1+增长率） ，如果该厂八、 九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意 可得出方程 【解答】解：依题意得八、

15、九月份的产量为50（1+x） 、50（1+x） 2 ， 50+50（1+x）+50（1+x） 2 =196 故选C7若多项式x 4 +mx 3 +nx16含有因式（x2）和（x1） ，则mn的值是（ ） A100 B0 C100 D50 【考点】因式分解的意义 【分析】根据待定系数法进行求解，因为多项式x 4 +mx 3 +nx16的最高次数是4次，所以 要求的代数式的最高次数是3次，再根据两个多项式相等，则对应次数的系数相等列方程 组求解 【解答】解：设x 4 +mx 3 +nx16=（x1） （x2） （x 2 +ax+b） ， 则x 4 +mx 3 +nx16=x 4 +（a3）x 3

16、+（b3a+2）x 2 +（2a3b）x+2b 比较系数得： ，|解得 ， 所以mn=520=100 故选：C8要使 + 有意义，则x应满足（ ） A x3 Bx3且x C x3 D x3 【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解 【解答】解：由题意得， ， 解不等式得，x3， 解不等式的，x ， 所以， x3 故选：D9如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过 程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函 数图象大致为（ ） A B C D 【考点】动点

17、问题的函数图象 【分析】分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关 系式可以得出结论 【解答】解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位/秒，则： （1）当点P在AB段运动时，PB=1t，S=（1t） 2 （0t1） ； （2）当点P在BA段运动时，PB=t1，S=（t1） 2 （1t2） 综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=（t1） 2 （0t2） ，|这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线结合题中各选项，只有B符合要 求 故选B10如图，二次函数y=ax 2 +bx+c（a0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和 （1，

18、0） 下列结论：ab0，b 2 4a，0a+b+c2，0b1，当x1时， y0，其中正确结论的个数是（ ） A5个 B4个 C3个 D2个 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】由抛物线的对称轴在y轴右侧，可以判定a、b异号，由此确定正确； 由抛物线与x轴有两个交点得到b 2 4ac0，又抛物线过点（0，1） ，得出c=1，由此判定 正确； 由抛物线过点（1，0） ，得出ab+c=0，即a=b1，由a0得出b1；由a0，及 ab0，得出b0，由此判定正确； 由ab+c=0，及b0得出a+b+c=2b0；由b1，c=1，a0，得出a+b+ca+1+12， 由此判定正确； 由图象可知，当自变量

19、x的取值范围在一元二次方程ax 2 +bx+c=0的两个根之间时，函数值 y0，由此判定错误 【解答】解：二次函数y=ax 2 +bx+c（a0）过点（0，1）和（1，0） ， c=1，ab+c=0 抛物线的对称轴在y轴右侧，x= 0， a与b异号，ab0，正确； 抛物线与x轴有两个不同的交点，b 2 4ac0， c=1，b 2 4a0，b 2 4a，正确； 抛物线开口向下，a0， ab0，b0 ab+c=0，c=1，a=b1， a0，b10，b1， 0b1，正确； ab+c=0，a+c=b， a+b+c=2b0 b1，c=1，a0， a+b+c=a+b+1a+1+1=a+20+2=2， 0a

20、+b+c2，正确； 抛物线y=ax 2 +bx+c与x轴的一个交点为（1，0） ，设另一个交点为（x 0 ，0） ，则 x 0 0， 由图可知，当x 0 x1时，y0，错误；|综上所述，正确的结论有 故选B二、填空题（每小题4分，共20分） 11化简：| |= 【考点】实数的性质 【分析】要先判断出 0，再根据绝对值的定义即可求解 【解答】解： 0 | |=2 故答案为：2 12若两个连续整数x、y满足x +1y，则x+y的值是 7 【考点】估算无理数的大小 【分析】先估算 的范围，再估算 +1，即可解答 【解答】解： ， ， x +1y， x=3，y=4， x+y=3+4=7 故答案为：71

21、3若抛物线y=x 2 +bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n） ，B（m+6，n） ，则n= 9 【考点】抛物线与x轴的交点 【分析】首先，由“抛物线y=x 2 +bx+c与x轴只有一个交点”推知x= 时，y=0且 b 2 4c=0，即b 2 =4c；其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，则 A（ 3，n） ，B（ +3，n） ；最后，根据二次函数图象上点的坐标特征知 n=（ 3） 2 +b（ 3）+c= b 2 +c+9，所以把b 2 =4c代入即可求得n的值 【解答】解：抛物线y=x 2 +bx+c与x轴只有一个交点， 当x= 时，y=0且b 2 4c=0，即b 2

22、 =4c 又点A（m，n） ，B（m+6，n） ， 点A、B关于直线x= 对称，|A（ 3，n） ，B（ +3，n） 将A点坐标代入抛物线解析式，得：n=（ 3） 2 +b（ 3）+c= b 2 +c+9 b 2 =4c， n= 4c+c+9=9 故答案是：914已知整数k5，若ABC的边长均满足关于x的方程x 2 3 x+8=0，则ABC的周长 是 6或12或10 【考点】根的判别式；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系 【分析】根据题意得k0且（3 ） 2 480，而整数k5，则k=4，方程变形为 x 2 6x+8=0，解得x 1 =2，x 2 =4，由于ABC的边长均满足关于x的方

23、程x 2 6x+8=0， 所以ABC的边长可以为2、2、2或4、4、4或4、4、2，然后分别计算三角形周长 【解答】解：根据题意得k0且（3 ） 2 480， 解得k ， 整数k5， k=4， 方程变形为x 2 6x+8=0，解得x 1 =2，x 2 =4， ABC的边长均满足关于x的方程x 2 6x+8=0， ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2 ABC的周长为6或12或10 故答案为：6或12或10 15如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛 物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析 式是y= （x6

24、） 2 +4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 y= （x+6） 2 +4 【考点】二次函数的应用 【分析】根据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可 【解答】解：由题意可得出：y=a（x+6） 2 +4， 将（12，0）代入得出，0=a（12+6） 2 +4， 解得：a= ， 选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y= （x+6） 2 +4|故答案为：y= （x+6） 2 +4三、解答题（每题8分，两小题，共16分） 16解关于x的一元二次方程：4x 2 8x+1=0（用配方法） 【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤，即可解决问题 【解答】

25、解：4x 2 8x+1=0， x 2 2x+ =0， （x1） 2 = ， x1= ， x 1 =1+ ，x 2 =1 17先化简 ，然后从1、 、1中选取一个你认为合适的 数作为a的值代入求值 【考点】分式的化简求值 【分析】先把除法转化成乘法，再根据乘法的分配律分别进行计算，然后把所得的结果化 简，最后选取一个合适的数代入即可 【解答】解： = = = = ， 由于a1，所以当a= 时，原式= = |四、解答题（每题8分，两小题，共16分） 18用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成长、宽各为多少时，才 能使做成的窗框的透光面积为1.44m 2 ？（设窗框宽为xm ） 【

26、考点】一元二次方程的应用 【分析】设窗户的宽为x米，表示出窗户的长，然后利用矩形的面积公式列出方程求解即 可 【解答】解：设窗户的宽为x米，根据题意得：x =1.44， 解得：x=0.8或x=1.2 答：宽为0.8m、长为1.8m或长宽均为1.2m19在ABCD中，BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BHEC于点H，求证： CH=EH 【考点】平行四边形的性质 【分析】根据平行四边形的性质和已知条件易证EBC是等腰三角形，由等腰三角形的性 质：三线合一即可证明CH=EH 【解答】证明：在ABCD中，BECD， E=2， CE平分BCD， 1=2， 1=E， BE=BC， 又BHBC， CH

27、=EH（三线合一） 五、解答题（每题10分，两小题，共20分） 20已知二次函数y=x 2 4x+3 （1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的 情况； （2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及ABC的面积 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数的三种形式 【分析】 （1）配方后求出顶点坐标即可； （2）求出A、B的坐标，根据坐标求出AB、CD，根据三角形面积公式求出即可|【解答】解：（1）y=x 2 4x+3 =x 2 4x+44+3 =（x2） 2 1， 所以顶点C的坐标是（2，1） ， 当x2时，y随x的增大而减少； 当x2时，y随

28、x的增大而增大； （2）解方程x 2 4x+3=0 得：x 1 =3，x 2 =1， 即A点的坐标是（1，0） ，B点的坐标是（3，0） ， 过C作CDAB于D， AB=2，CD=1， S ABC = ABCD= 21=121已知：关于x的方程2x 2 +kx1=0 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求另一个根及k值 【考点】解一元二次方程-因式分解法；根与系数的关系 【分析】若方程有两个不相等的实数根，则应有=b 2 4ac0，故计算方程的根的判别式 即可证明方程根的情况，第二小题可以直接代入x=1，求得k的值后，解方程即可求得 另一个根 【解答】证明：（1）

29、a=2，b=k，c=1 =k 2 42（1）=k 2 +8， 无论k取何值，k 2 0， k 2 +80，即0， 方程2x 2 +kx1=0有两个不相等的实数根 解：（2）把x=1代入原方程得，2k1=0 k=1 原方程化为2x 2 +x1=0， 解得：x 1 =1，x 2 = ，即另一个根为 |六、解答题（每题12分，两小题，共24分） 22某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个） 的变化如下表： 价格x（元/个） 30 40 50 60 销售量y（万个） 5 4 3 2 同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元 （1）观察并分析表中的y与x

30、之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次 函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式 （2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析 式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？ （3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若 还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？ 【考点】二次函数的应用 【分析】 （1）根据数据得出y与x是一次函数关系，进而利用待定系数法求一次函数解析 式； （2）根据z=（x20）y40得出z与x的函数关系式，求出即可； （3）首先求出40= （x50） 2 +

31、50时x的值，进而得出 x（元/个）的取值范围 【解答】解：（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系， 设解析式为：y=ax+b， 则 ， 解得： ， 故函数解析式为：y= x+8； （2）根据题意得出： z=（x20）y40 =（x20） （ x+8）40 = x 2 +10x200， = （x 2 100x）200 = （x50） 2 2500200 = （x50） 2 +50， 故销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元|（3）当公司要求净得利润为40万元时，即 （x50） 2 +50=40，解得： x 1 =40，x 2 =60 如上图，通过观察函数y= （x50

32、） 2 +50的图象，可知按照公司要求使净得利润不低 于40万元，则销售价格的取值范围为：40x60 而y与x的函数关系式为：y= x+8，y随x的增大而减少， 因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个23 （1）如图（1） ，已知：在ABC中，BAC=90，AB=AC，直线m经过点A，BD直线 m，CE直线m，垂足分别为点D、E 证明：DE=BD+CE （2）如图（2） ，将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上， 并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角或钝角请问结论DE=BD+CE是否成立？ 如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由

33、 （3）拓展与应用：如图（3） ，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点 互不重合） ，点F为BAC平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三角形，连接 BD、CE，若BDA=AEC=BAC，试判断DEF的形状 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定 【分析】 （1）根据BD直线m，CE直线m得BDA=CEA=90，而BAC=90，根据等 角的余角相等得CAE=ABD，然后根据“AAS”可判断ADBCEA， 则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE； （2）与（1）的证明方法一样； （3）由前面的结论得到ADBCEA，则BD=AE，DBA=CAE

34、，根据等边三角形的性质 得ABF=CAF=60，则DBA+ABF=CAE+CAF，则DBF=FAE， 利用“SAS”可判断DBFEAF，所以DF=EF，BFD=AFE，于是 DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60，根据等边三角形的判定方法可得到DEF为等边 三角形|【解答】证明：（1）BD直线m，CE直线m， BDA=CEA=90， BAC=90， BAD+CAE=90， BAD+ABD=90， CAE=ABD， 在ADB和CEA中 ， ADBCEA（AAS） ， AE=BD，AD=CE， DE=AE+AD=BD+CE； （2）成立 BDA=BAC=， DBA+BAD=BAD+CAE=1

35、80， CAE=ABD， 在ADB和CEA中 ， ADBCEA（AAS） ， AE=BD，AD=CE， DE=AE+AD=BD+CE； （3）DEF是等边三角形 由（2）知，ADBCEA， BD=AE，DBA=CAE， ABF和ACF均为等边三角形， ABF=CAF=60， DBA+ABF=CAE+CAF， DBF=FAE， BF=AF 在DBF和EAF中 ， DBFEAF（SAS） ， DF=EF，BFD=AFE， DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60， DEF为等边三角形|24如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2，0） ，点B的坐标为（1， ） ，已知 抛物线y=ax 2 +bx

36、+c（a0）经过三点A、B、O（O为原点） （1）求抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的 坐标；若不存在，请说明理由； （3）如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么PAB是否有最大面积？若有，求 出此时P点的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说明理由 （注意：本题中的结果均保 留根号） 【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）直接将A、O、B三点坐标代入抛物线解析式的一般式，可求解析式； （2）因为点A，O关于对称轴对称，连接AB交对称轴于C点，C点即为所求，求直线AB 的解析式，再根据C点的横坐标值，求纵坐标； （3）设P（

37、x，y） （2x0，y0） ，用割补法可表示PAB的面积，根据面积表达式再 求取最大值时，x的值 【解答】解：（1）将A（2，0） ，B（1， ） ，O（0，0）三点的坐标代入 y=ax 2 +bx+c（a0） ， 可得： ， 解得： ， 故所求抛物线解析式为y= x 2 x； （2）存在理由如下： 如答图所示， y= x 2 x= （x+1） 2 + ， 抛物线的对称轴为x=1|点C在对称轴x=1上，BOC的周长=OB+BC+CO； OB=2，要使BOC的周长最小，必须BC+CO最小， 点O与点A关于直线x=1对称，有CO=CA， BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA， 当A、C

38、、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时 BOC的周长最小 设直线AB的解析式为y=kx+t，则有： ，解得： ， 直线AB的解析式为y= x ， 当x=1时，y= ， 所求点C的坐标为（1， ） ； （3）设P（x，y） （2x0，y0） ， 则y= x 2 x 如答图所示，过点P作PQy轴于点Q，PGx轴于点G，过点A作AFPQ轴于点F，过 点B作BEPQ轴于点E，则PQ=x，PG=y， 由题意可得：S PAB =S 梯形AFEB S AFP S BEP = （AF+BE）FE AFFP PEBE = （y+ +y） （1+2） y（2+x） （1x） （ +y） = y+ x+ 将代入得：S PAB = （ x 2 x）+ x+ = x 2 x+ = （x+ ） 2 + 当x= 时，PAB的面积最大，最大值为 ， 此时y= + = ， 点P的坐标为（ ， ） |