2018年度1月广东普通高中学业水平专业考试数学试卷~真题及内容答案解析.doc

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1、|2018 年 1 月广东省普通高中学业水平考试 数学试卷（B 卷） 1、 选择题：本大题共 15 小题. 每小题 4 分，满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1、 已知集合 ， ，则 （ ） 1,0,1,2 M | 1 2 N x x M N . . . . A 0,1,2 B 1,0,1 C M D N 2、 对任意的正实数 ，下列等式不成立的是（ ） , x y . . . . A lg lg lg y y x x B lg( ) lg lg x y x y C 3 lg 3lg x x D ln lg ln10 x x 3、 已知函数 ，设 ，则

2、（ ） 3 1, 0 ( ) 2 , 0 x x x f x x (0) f a ( )= f a . . . . A 2 B 1 C 1 2 D 0 4、 设 是虚数单位， 是实数，若复数 的虚部是 2 ，则 （ ） i x 1 x i x . . . . A 4 B 2 C 2 D 4 5、 设实数 为常数，则函数 存在零点的充分必要条件是（ ） a 2 ( ) ( ) f x x x a x R . . . . A 1 a B 1 a C 1 4 a D 1 4 a 6、 已知向量 ， ，则下列结论正确的是（ ） (1,1) a (0,2) b . . . . A / a b B (2

3、) a b b C a b D 3 a b A 7、 某校高一（1 ）班有男、女学生共 50 人，其中男生 20 人，用分层抽样的方法，从该班学生中随 机选取 15 人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）|. . . . A 6 9 和 B 9 6 和 C 7 8 和 D 8 7 和 8、 如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积 为（ ） . . . . A 1 B 2 C 4 D 8 9、 若实数 满足 ，则 的最小值为 , x y 1 0 0 0 x y x y x 2 z x y （ ） . . . . A 0 B 1 C 3 2

4、D 2 10、 如图， 是平行四边形 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ） o ABCD . . A DA DC AC B DA DC DO . . C OA OB AD DB D AO OB BC AC 11、 设 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 （ ） ABC A , , A B C , , a b c 3, 2, 13 a b c C . . . . A 5 6 B 6 C 2 3 D 3 12、 函数 ，则 的最大值和最小正周期分别为（ ） ( ) 4sin cos f x x x ( ) f x . . . . A 2 和 B 4 和 C 2 2 和 D 4 2 和 13、

5、 设点 是椭圆 上的一点， 是椭圆的两个焦点，若 ，则 P 2 2 2 1( 2) 4 x y a a 1 2 F F ， 1 2 4 3 FF （ ） 1 2 PF PF |. . . . A 4 B 8 C 4 2 D 4 7 14、 设函数 是定义在 上的减函数，且 为奇函数，若 ， ，则下列结论不 ( ) f x R ( ) f x 1 0 x 2 0 x 正确的是（ ） . . . . A (0) 0 f B 1 ( ) 0 f x C 2 2 1 ( ) (2) f x f x D 1 1 1 ( ) (2) f x f x 15、 已知数列 的前 项和 ，则 （ ） n a n

6、1 2 2 n n S 2 2 2 1 2 n a a a . . . . A 2 4(2 1) n B 1 2 4(2 1) n C 4(4 1) 3 n D 1 4(4 2) 3 n 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分. 16、 双曲线 的离心率为 . 2 2 1 9 16 x y 17、 若 ，且 ，则 . 2 sin( ) 2 3 0 tan 18、 笔筒中放有 2 支黑色和 1 支红色共 3 支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒， 第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 . 19、 圆心为两直线 和 的交点，且与直

7、线 相切的圆的标 2 0 x y 3 10 0 x y 4 0 x y 准方程是 . 三、解答题：本大题共 2 小题. 每小题 12 分，满分 24 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算 步骤. 20、 若等差数列 满足 ，且 . n a 1 3 8 a a 6 12 36 a a （1 ）求 的通项公式； n a （2 ）设数列 满足 ， ，求数列 的前 项和 . n b 1 2 b 1 1 2 n n n b a a n b n n S|21、 如图所示，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点， 垂 P ABC PA ABC 平面 PB BC F BC DE 直平分 ，且 分别交 于点 .

8、 PC DE AC PC ， , D E （1 ）证明： ； / EF ABP 平面 （2 ）证明： . BD AC |2018 年 1 月广东省普通高中学业水平考试 数学试卷（B 卷）答案解析 一、选择题：本大题共 15 小题. 每小题 4 分，满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1、B 解析： ，故选 B. 101 M N ， 2、B 解析：对于 B 项，令 ，则 ，而 ，显然不成 1 x y lg( ) lg2 lg1 0 x y lg lg 0 x y 立，故选 B. 3、C 解析： ，故选 C. 3 (0) 0 1 1 a f 1 1 ( ) (

9、 1) 2 2 f a f 4、D 解析： ，故选 D. (1 ) 1 (1 )(1 ) 2 2 x x i x x i i i i 2 4 2 x x 5、C 解析：由已知可得， ，故选 C. 1 1 4 0 4 a a 6、B 解析：对于 A 项， ，错误； 1 2-0 1 0 对于 B 项， ， ，则 ，正确； 2 (2,0) a b (0,2) b 2 0+0 2 0 (2 ) a b b 对于 C 项， ，错误； 2, 2 a b 对于 D 项， ，错误. 故选 B. 1 0 1 2 2 a b A 7、A 解析：抽样比为 ，则应抽取的男生人数为 ，应抽取的女生人数 15 3 50

10、10 k 3 20 =6( ) 10 人 为 ，故选 A. 3 (50 20) 9( ) 10 人 8、C 解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为 2，宽为 2 ，高为 1，则体积为 ，故选 C. 2 2 1 4 V 9、D 解析：（快速验证法）交点为 ，则 分别为 ，所以 1 1 (0,1),(0,0),( , ) 2 2 2 z x y 3 2,0, 2 |的最小值为 ，故选 D. z 2 10、D 解析：对于 A 项， ，错误； DA DC CA 对于 B 项， ，错误； 2 DA DC DO 对于 C 项， ，错误； OA OB AD BA AD BD 对于 D 项， ，正确. 故

11、选 D. AO OB BC AB BC AC 11、A 解析：由余弦定理，得 ，又 2 2 2 2 2 2 ( 3) 2 ( 13) 3 cos 2 2 2 3 2 a b c C ab ，故选 A. 0 C 5 = 6 C 12、A 解析： ，最小正周期为 ，故选 A. ( ) 2sin2 f x x max ( ) 2 f x 2 2 T 13、B 解析： 1 2 4 3 2 2 3 FF c c 2 2 2 2 (2 3) 4 16 4 a c b a ，故选 B. 1 2 2 2 4 8 PF PF a 14、D 解析：对于 A 项， 为 上的奇函数 ，正确； ( ) f x R (0

12、) 0 f 对于 B 项， 为 上的减函数 ，正确； ( ) f x R 1 1 0 ( ) (0) 0 x f x f 对于 C 项， 2 0 x 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 x x x x x x x A （ 当且仅当 ，即时等号 成立) ，正确； 2 2 1 ( ) (2) f x f x 对于 D 项， 1 0 x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 x x x x x x A|，错误. 故选 D. 1 1 1 ( ) ( 2) (2) f x f f x 15、C 解析：当 时， ；当 时， 2 n 1 1 2 2 (2 2) 2 2 2 2

13、n n n n n n n n a S S 1 n 适合上式. 是首项为 ，公比为 2 1 1 2 2 2 a S 2 2 2 ( ) (2 ) 4 n n n n n a n N a 2 n a 4 的等比数列 ，故选 C. 4 2 2 2 1 2 4(1 4 ) 4(4 1) 1 4 3 n n n a a a 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分. 16、 解析：由已知，得 5 3 2 2 9 3, 16 4 a a b b 2 2 2 9 16 25 5 c a b c 双曲线的离心率为 . 5 3 c e a 17、 解析： ，且 5 2 2 sin( )

14、cos 2 3 0 2 2 2 5 sin 1 cos 1 ( ) 3 3 . sin 5 3 5 tan cos 3 2 2 18、 解析： . 4 9 2 2 4 3 3 9 P 19、 解析：联立 得 2 2 ( 4) ( 2) 2 x y 2 0 3 10 0 x y x y 4 (4, 2) 2 x y 圆心 为 则圆心 到直线 的距离为 ，故圆的半径为 (4, 2) 4 0 x y 2 2 4 2 4 2 1 1 d 2 圆的标准方程为 . 2 2 ( 4) ( 2) 2 x y |3、 解答题：本大题共 2 小题. 每小题 12 分，满分 24 分. 解答须写出文字说明、证明过程

15、和演算步 骤. 20、解：（1）设等差数列 的公差为 . n a d 1 3 1 1 1 6 12 1 1 8 2 8 2 36 5 11 36 2 a a a a d a a a a d a d d 数列 的通项公式为 . 2 ( 1) 2 2 n a n n n a 2 n a n （2 ）由（1 ）知， 2 n a n 1 1 2 2( 1) 2 2 2 2 n n n b a a n n n 又 适合上式 2( 1) 2 2 4 n b n n 1 2 b 2 4( ) n b n n N 数列 是首项为 ，公差为 的等差数列. 1 2 2 ( 2 4) 2 n n b b n n n

16、 b 2 2 2 2 ( 1) 2 ( 2) 2 3 2 n n n S n n n n n n 21、 解：（1）证明： 垂直平分 为 的中点 DE PC E PC 又 为 的中点 为 的中位线 F BC EF BCP A / EF BP 又 , EF ABP BP ABP 平面 平面 / EF ABP 平面 （2 ）证明：连接BE ， 为 的中点 PB BC E PC PC BE 垂直平分 DE PC PC DE 又 ， BE DE E , BE DE BDE 平面 PC BDE 平面 又 BD BDE 平面 PC BD , PA ABC BD ABC 平面 平 面 PA BD |又 ， PC PA P , PC PA PAC 平 面 BD PAC 平面 又 AC PAC 平面 BD AC