2016年高考~真题——理科数学(北京卷)解析.doc

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1、|本试卷共5 页，150 分考试时长120 分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷 上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第一部分（选择题共40 分） 一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项 1.已知集合 | | 2 A x x ， 1,0,1,2,3 B ，则A B （ ）A.0,1 B.0,1,2 C. 1,0,1 D. 1,0,1,2 【答案】C 考点：集合交集. 2.若x ，y 满足 2 0 3 0 x y x y x ，则2x y 的最大值为（ ） A.0 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】 试题分析：作出

2、如图可行域，则当 y x z 2 经过点P 时，取最大值，而 ) 2 , 1 ( P ，所求 最大值为 4，故选 C. 考点：线性规划. 3.执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为 1 ，则输出的k 值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 x y O P|开始 输入a k=0,b=a a=b 输出k 结束 k=k+1 1 1 a a 否 是 【答案】B 考点：算法与程序框图 4.设a ，b 是向量，则“| | | | a b ”是“| | | | a b a b ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 试

3、题分析：由 2 2 | | | | ( ) ( ) 0 a b a b a b a b a b a b ，故是既不充分 也不必要条件，故选 D. 考点：1.充分必要条件；2.平面向量数量积. 5.已知x ，y R ，且 0 x y ，则（ ）|A. 1 1 0 x y B.sin sin 0 x y C. 1 1 ( ) ( ) 0 2 2 x y D.ln ln 0 x y 【答案】C 考点： 函数性质 6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A. 1 6B. 1 3C. 1 2D.1 【答案】A 【解析】 试题分析：分析三视图可知，该几何体为一三棱锥P ABC ，其体积 1

4、 1 1 1 1 1 3 2 6 V ， 故选 A.|考点：1.三视图；2.空间几何体体积计算. 7.将函数 sin(2 ) 3 y x 图象上的点 ( , ) 4 P t 向左平移s （ 0 s ） 个单位长度得到点 P ， 若 P 位于函数 sin2 y x 的图象上，则（ ） A. 1 2 t ，s 的最小值为 6 B. 3 2 t ，s 的最小值为 6 C. 1 2 t ，s 的最小值为 3 D. 3 2 t ，s 的最小值为 3 【答案】A 考点：三角函数图象平移 8.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取 出两个球，将其中一个球放入甲盒，如

5、果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就 放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ） A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D. 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】C 【解析】 试题分析：若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑 球，则须保证抽|到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个 球是一红一黑：且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑 球；A：由于抽到的两个球是红球和黑球的次数是奇数还是偶数无法确定，故无法判定乙

6、 盒和丙盒中异色球的大小关系，而抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的， 故选 C. 考点：概率统计分析. 第二部分（非选择题 共110 分） 二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分 9.设a R ，若复数(1 )( ) i a i 在复平面内对应的点位于实轴上，则a _. 【答案】 1 . 【解析】 试题分析：(1 )( ) 1 ( 1) 1 i a i a a i R a ，故填： 1 . 考点：复数运算 10.在 6 (1 2 ) x 的展开式中， 2 x 的系数为_.（用数字作答） 【答案】60. 考点：二项式定理. 11.在极坐标系中，直线 cos 3 sin 1

7、0 与圆 2cos 交于 A ，B 两点，则 | | AB _. 【答案】2 【解析】 试题分析：分别将直线方程和圆方程化为直角坐标方程：直线为 3 1 0 x y 过圆 2 2 ( 1) 1 x y 圆心，因此 2 AB ，故填：2 . 考点：极坐标方程与直角方程的互相转化.|12.已知 n a 为等差数列， n S 为其前n 项和，若 1 6 a ， 3 5 0 a a ，则 6 = S _. 【答案】6 【解析】 试题分析： n a 是等差数列， 3 5 4 2 0 a a a ， 4 0 a ， 4 1 3 6 a a d ， 2 d ， 6 1 6 15 6 6 15 ( 2) 6

8、S a d ，故填：6 考点：等差数列基本性质. 13.双曲线 2 2 2 2 1 x y a b （ 0 a ， 0 b ）的渐近线为正方形 OABC 的边 OA ，OC 所在的直 线，点 B 为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则a _. 【答案】2 考点：双曲线的性质 14.设函数 3 3 , ( ) 2 , x x x a f x x x a .若 0 a ，则 ( ) f x 的最大值为_ ；若 ( ) f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_. 【答案】2 ，( , 1) . 【解析】 试题分析：如图作出函数 3 ( ) 3 g x x x 与直线 2 y x 的

9、图象，它们的交点是 ( 1,2) A ， (0,0) O ， (1, 2) B ，由 2 ( ) 3 3 g x x ，知 1 x 是函数 ( ) g x 的极大值点， 当 0 a 时， 3 3 , 0 ( ) 2 , 0 x x x f x x x ，因此 ( ) f x 的最大值是 ( 1) 2 f ； 由图象知当 1 a 时， ( ) f x 有最大值是 ( 1) 2 f ；只有当 1 a 时，由|3 3 2 a a a ，因此 ( ) f x 无最大值，所求a 的范围是( , 1) ，故填： 2 ，( , 1) 考点：1.分段函数求最值；2.数形结合的数学思想. 三、解答题（共6 小题

10、，共80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15.（本小题 13 分） 在 ABC 中， 2 2 2 2 a c b ac . （1 ）求 B 的大小； （2 ）求 2 cos cos A C 的最大值. 【答案】 （1） 4 ；（2 ）1.|2 2 cos sin cos( ) 2 2 4 A A A ，因为 3 0 4 A ，所以当 4 A 时， 2cos cos A C 取得最大值1. 考点：1.三角恒等变形；2.余弦定理. 16.（本小题 13 分） A、B 、C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分 学生一周的锻炼时间，数据如下表（单

11、位：小时） ； A 班 6 6. 5 7 7.5 8 B 班 6 7 8 9 10 11 12 C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 （1 ）试估计 C 班的学生人数； （2 ）从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人 记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概 率； （3 ）再从 A、B、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是 7，9，8.25（单位：小时） ，这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 1 ， 表格中数据的平均数记为 0 ，试判断 0 和 1

12、 的大小， （结论不要求证明） 【答案】 （1）40 ；（2） 3 8 ；（3） 1 0 .| 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 2 1 1 1 C A C A C A C A C A C A C A C A E 4 5 3 5 2 5 1 5 3 4 2 4 1 4 C A C A C A C A C A C A C A 因此 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 2 1 1 1 C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P E P 8 3 40

13、1 15 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 5 3 5 2 5 1 5 3 4 2 4 1 4 C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P （3 ）根据平均数计算公式即可知， 0 1 . 考点：1.分层抽样；2.独立事件的概率；3.平均数 17.（本小题 14 分） 如图，在四棱锥P ABCD 中，平面PAD 平面ABCD ，PA PD ，PA PD ， AB AD ， 1 AB ， 2 AD ， 5 AC CD .|（1 ）求证：PD 平面PAB ； （2 ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值； （3 ）在棱PA 上是否

14、存在点M ，使得 / BM 平面PCD ？若存在，求 AM AP 的值；若不存 在，说明理由. 【答案】 （1）见解析；（2） 3 3 ；（3 ）存在， 1 4 AM AP 【解析】 试题分析：（1）由面面垂直性质定理知 AB 平面PAD ；根据线面垂直性质定理可知 PD AB ，再由线面垂直判定定理可知 PD 平面PAB ；（2 ）取AD 的中点O ，连结 PO ，CO ，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系O xyz ，利用向量法可求出直线PB 与 平面PCD 所成角的正弦值；（3）假设存在，根据 A，P，M 三点共线，设 AP AM ， 根据 / BM 平面PCD ，即 0 n BM ，求

15、 的值，即可求出 AM AP 的值. 试题解析：（1）因为平面PAD 平面ABCD ，AB AD ， 所以 AB 平面PAD ，所以 PD AB ， 又因为 PD PA ，所以 PD 平面PAB ；|考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3. 空间向量的运用. 18.（本小题 13 分） 设函数 ( ) a x f x xe bx ，曲线 ( ) y f x 在点(2, (2) f 处的切线方程为 ( 1) 4 y e x ， （1 ）求a ，b 的值； （2 ）求 ( ) f x 的单调区间. 【答案】 （） 2 a ，b e ；（2） ) (x f 的单调递增区间为( ,

16、 ) . 【解析】 试题分析：（1）根据题意求出 ( ) f x ，根据 (2) 2 2 f e ， (2) 1 f e ，求a ，b 的值；|（2 ）由题意知判断 ) (x f ，即判断 1 1 ) ( x e x x g 的单调性，知 ( ) 0 g x ，即 ( ) 0 f x ，由此求得 ( ) f x 的单调区间. 考点：导数的应用. 19.（本小题 14 分） 已知椭圆 C： 2 2 2 2 1 x y a b（ 0 a b ）的离心率为 3 2， ( ,0) A a ， (0, ) B b ， (0,0) O ， OAB 的面积为 1. （1 ）求椭圆 C 的方程； （2 ）设P

17、 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点 M ，直线 PB 与x 轴交于点 N. 求证： BM AN 为定值. 【答案】 （1） 2 2 1 4 x y ；（2）详见解析. 【解析】|试题分析：（1）根据离心率为 3 2 ，即 3 2 c a ， OAB 的面积为 1 ，即 1 1 2 ab ，椭圆 中 2 2 2 a b c 列方程求解；（2 ）根据已知条件分别求出 AN ，| | BM 的值，求其乘积为 定值. 2 2 8 8 4 4 2 2 4 8 4 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 y x y x y x y x y x y

18、x y x y x y x 4 . 当 0 0 x 时， 1 0 y ， , 2 , 2 AN BM|所以 4 BM AN . 综上， BM AN 为定值. 考点：1.椭圆方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系. 20.（本小题 13 分）设数列 A： 1 a ， 2 a , N a (N ).如果对小于n (2 n N )的每个正整数k 都有 k a n a ，则称n 是数列 A 的一个“G 时刻”.记“ ) (A G 是数列 A 的所有“G 时刻”组成的集合. （1 ）对数列 A ：-2 ，2，-1，1，3 ，写出 ) (A G 的所有元素 ； （2 ）证明：若数列 A 中存在 n a 使得 n a 1 a ，则 ) (A G ； （3 ）证明：若数列 A 满足 n a - 1 n a 1（n=2,3, ,N ）,则 ) (A G 的元素个数不小于 N a - 1 a . 【答案】 （1） ( ) G A 的元素为2 和5 ；（2）详见解析；（3）详见解析.|如果 i G ，取 i i G m min ，则对任何 i i m n k i a a a m k , 1 . 从而 ) (A G m i 且 1 i i n m . 又因为 p n 是 ) (A G 中的最大元素，所以 p G .|考点：数列、对新定义的理解.