第一章习题解答资料~.doc

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1、|第一章 实数集与函数 P.4 习题 1设a为有理数，x为无理数，证明： （1）a + x是无理数； （2）当 0 a 时，ax 是无理数. 证明 （1） （反证）假设a + x是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x a 是有理数. 这与题设“x为无理数”矛盾，故a + x是无理数. （2）假设ax 是有理数，于是 a ax x 是有理数，这与题设“x为无理数”矛盾，故 ax是无理数. 3设 R b a , ，证明：若对任何正数有 | | b a ，则 a = b . 证明 由题设，对任何正数有 0 | | b a ，再由教材P.3 例2，可得 0 | | b a ，于是 0

2、 | | b a ，从而 a = b . 另证 （反证）假设 0 | | b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得 0 | | r b a . 这 与题设“对任何正数有 | | b a ”矛盾，于是 0 | | b a ，从而 a = b . 5证明：对任何 R x 有 （1） 1 | 2 | | 1 | x x ； （2） 2 | 3 | | 2 | | 1 | x x x 证明 （1） | 2 | | 1 | | ) 2 ( ) 1 ( | 1 x x x x （2）因为 | 2 | | 1 | | 1 | | ) 3 ( 2 | | 3 | 2 x x x x x ， 所以 2 | 3

3、| | 2 | | 1 | x x x 6设 R c b a , , 证明 | | | | 2 2 2 2 c b c a b a 证明 建立坐标系如图，在三角形OAC中，OA 的长度是 2 2 b a ，OC的长度是 2 2 c a ， AC的长度为 | | c b . 因为三角形两边的差 小于第三边，所以有 | | | | 2 2 2 2 c b c a b a 7设 b a b x , 0 , 0 ，证明 x b x a 介于1与 b a 之间. 证明 因为 1 | | 1 b a b b a x b b a x b x a ，1 | | ) ( ) ( b a b b a x b b

4、x a b b a x b x a 所以 x b x a 介于1与 b a 之间. 8设 p 为正整数，证明：若 p 不是完全平方数，则 p 是无理数. 证明 （反证）假设 p 为有理数，则存在正整数 m、n使得 m n p ，其中m、n互 素. 于是 2 2 n p m ，因为 p 不是完全平方数，所以 p 能整除 n ，即存在整数 k ，使 得 kp n . 于是 2 2 2 p k p m ， p k m 2 2 ，从而 p 是 m 的约数，故m、n有公约数 p. 这与“m、n互素”矛盾. 所以 p 是无理数.a c b ) , ( b a A ) , ( c a C x y O|P.9

5、 习题 2设S为非空数集，试对下列概念给出定义： （1）S无上界； 若 M ， S x 0 ，使得 M x 0 ，则称S无上界. （请与S有上界的定义相比较：若 M ，使得 S x ，有 M x ，则称S有上界） （2）S无界. 若 0 M ， S x 0 ，使得 M x | | 0 ，则称S无界. （请与S有界的定义相比较：若 0 M ，使得 S x ，有 M x | | ，则称S有界） 3试证明数集 , 2 | 2 R x x y y S 有上界而无下界. 证明 S y ，有 2 2 2 x y ，故2是S的一个上界. 而对 0 M ，取 M x 3 0 ， S M x y 1 2 2 0

6、 0 ，但 M y 0 . 故数 集S无下界. 4求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证： （1） , 2 | 2 R x x x S 解 2 sup S ， 2 inf S . 下面依定义加以验证 2 sup S （ 2 inf S 可类似进行）. S x ，有 2 2 x ，即 2 是S的一个上界， 2 是S的一个下界. 2 ，若 2 ，则 S x 0 ，都有 0 x ；若 2 2 ，则由实 数的稠密性，必有实数 r ，使得 2 2 r ，即 S r ， 不是上界，所以 2 sup S . （2） , ! | N n n x x S 解 S无上界，故无上确界，非正常上确界为 S sup

7、. 下面证明： 1 inf S . S x ， 有 1 ! n x ， 即 1 是S的一个下界 ； 1 ，因为 S ! 1 1 ，即 不是S的下界. 所以 1 inf S . (3) ) 1 , 0 ( | 内的无理数 为 x x S 解 仿照教材P.6例2的方法，可以验证： 1 sup S . 0 inf S , 2 1 1 | N n x x S n 解 1 sup S ， 2 1 inf S 首先验证 1 sup S . S x ，有 1 2 1 1 n x ，即 1 是S的一个上界 ； 0 ，取正整数 0 n ，使得 0 2 1 n ，于是取 0 2 1 1 0 n x . 从而 S

8、x 0 ，且 1 2 1 1 0 0 n x . 所以 1 sup S 5设S为非空有下界数集，证明： S S S min inf |证明： ）设 S S inf ，则对一切 S x ，有 x ，而 S ，故 是数集S 中的最小的数，即 S min . ）设 S min ，则 S ；下面验证 S inf ； 对一切 S x ，有 x ，即 是数集S的下界； 对任何 ，只须取 0 x ，则 0 x . 所以 S inf . 6设S为非空数集，定义 | S x x S . 证明： S S sup inf S S inf sup 证 设 S inf ，下面证明： S sup . 对一切 S x ，有

9、 S x . 因为 S inf ，所以有 x ，于是 x ，即 是数集S的上界； 对任何 ，有 . 因为 S inf ，所以存在 S x 0 ，使得 0 x . 于是有 S x 0 ，使得 0 x . 由，可知 S sup . 7设A、B皆为非空有界数集，定义数集 , , | B y A x y x z z B A 证明：（1） B A B A sup sup ) sup( ； （2） B A B A inf inf ) inf( 证明 （1）因为A、B皆为非空有界数集，所以 A sup 和 B sup 都存在. B A z ，由定义分别存在 B y A x , ，使得 y x z . 由于

10、A x sup ， B y sup ，故 B A y x z sup sup ，即 B A sup sup 是数集 B A 的一个上界. B A sup sup ， （要证 不是数集 B A 的上界） ， A B sup sup ，由上 确界 A sup 的定义，知存在 A x 0 ，使得 B x sup 0 . 于是 B x sup 0 ，再由上 确界 B sup 的定义，知存在 B y 0 ，使得 0 0 x y . 从而 0 0 0 y x z ，且 B A z 0 . 因此 B A sup sup 是数集 B A 的上确界，即 B A B A sup sup ) sup( 另证 B A

11、 z ，由定义分别存在 B y A x , ，使得 y x z . 由于 A x sup ， B y sup ，故 B A y x z sup sup ，于是 B A B A sup sup ) sup( . 由上确界的定义， 0 ， A x 0 ，使得 2 sup 0 A x ， B y 0 ，使得 2 sup 0 B y ，从而 B A y x B A sup sup ) sup( 0 0 ，由教材P.3 例2，可 得 B A B A sup sup ) sup( 由、，可得 B A B A sup sup ) sup( 类似地可证明： B A B A inf inf ) inf( P.1

12、5 习题 9试作函数 ) arcsin(sinx y 的图象 解 ) arcsin(sinx y 是以2为周期， 定义域为 ) , ( ，值域为 2 , 2 的分段线性函数，其图象如图. 2 2 2 2 x y|11试问 | | x y 是初等函数吗？ 解 因为 2 | | x x y ，可看成是两个初等函数 u y 与 2 x u 的复合，所以 | | x y 是初等函数. 12证明关于函数 x y 的如下不等式： （1）当 0 x 时， 1 1 1 x x x（2）当 0 x 时， x x x 1 1 1 证明 （1）因为 1 1 1 1 x x x，所以当 0 x 时，有 x x x x

13、 x 1 1 1 ， 从而有 1 1 1 x x x . （2）当 0 x 时，在不等式 1 1 1 1 x x x 中同时乘以x，可得 x x x x x 1 1 1 ，从而得到所需要的不等式 x x x 1 1 1 . P.20 习题 1证明 1 ) ( 2 x x x f 是R上的有界函数. 证明 因为对R 中的任何实数x 有 2 1 2 1 2 x x x x) | | 2 1 ( 2 x x 所以 f 在R上有界. 2 （1）叙述无界函数的定义； （2）证明 2 1 ) ( x x f 为（0，1）上的无界函数； （3）举出函数 f 的例子，使 f 为闭区间 0，1 上的无界函数.

14、解 （1）设函数 D x x f ) ( ，若对任何 0 M ，都存在 D x 0 ，使得 M x f | ) ( | 0 ，则称 f 是D 上的无界函数. （2）分析： 0 M ，要找 ) 1 , 0 ( 0 x ，使得 M x 2 0 1 . 为此只需 M x 1 0 . 证明 0 M ，取 1 1 0 M x ，则 ) 1 , 0 ( 0 x ，且 M M x 1 1 2 0 ，所以f 为 区间（0，1）上的无界函数. （3）函数 0 0 1 0 1 ) ( x x x x f 是闭区间 0，1 上的无界函数. 7设 f 、 g 为定义在D上的有界函数，满足 ) ( ) ( x g x

15、f ， D x 证明： ) ( sup ) ( sup x g x f D x D x ； ) ( inf ) ( inf x g x f D x D x 证 D x ，有 ) ( sup ) ( ) ( x g x g x f D x ，即 ) ( sup x g D x 是 f 在D上的一个上界， 所以 ) ( sup ) ( sup x g x f D x D x . D x ，有 ) ( ) ( ) ( inf x g x f x f D x ，即 ) ( inf x f D x 是 g 在D上的一个下界，所以|) ( inf ) ( inf x g x f D x D x . 8设

16、f 为定义在D上的有界函数，证明： ) ( inf ) ( sup x f x f D x D x ； ) ( sup ) ( inf x f x f D x D x 证 D x ，有 ) ( sup ) ( x f x f D x ，于是 ) ( sup ) ( x f x f D x ，即 ) ( sup x f D x 是 f 在D上的一个下界，从而 ) ( sup ) ( inf x f x f D x D x ，所以 ) ( inf ) ( sup x f x f D x D x 反之， D x ，有 ) ( inf ) ( x f x f D x ，于是 ) ( inf ) ( x

17、 f x f D x ，即 ) ( inf x f D x 是 f 在D上的一个上界，从而 ) ( inf ) ( sup x f x f D x D x 由，得， ) ( inf ) ( sup x f x f D x D x . 9证明： x tan 在 ) 2 , 2 ( 上无界，而在 ) 2 , 2 ( 内任一闭区间 , b a 上有界. 证 0 M ，取 ) 1 arctan( 0 M x ，于是 ) 2 , 2 ( 0 x . 则有 M M x 1 tan 0 ，所以 x tan 在 ) 2 , 2 ( 上无界. 在 ) 2 , 2 ( 内任一闭区间 , b a 上，取 | tan

18、 | |, tan max| b a M ，则 , b a x ， 必有 M x | tan | ，所以 x tan 在 , b a 上有界. 10讨论狄利克雷函数 为无理数 当 为有理数 当 x ， x x D 0 , 1 ) ( ，的有界性，单调性与周期性. 解 函数 ) (x D 是有界函数： 1 | ) ( | x D . 不是单调函数. ) (x D 是周期函数，任何一个正有理数都是它的周期，故它没有最小周期. 证明如下： 设 r 是任一正有理数. 若 x 是有理数，则 r x 是有理数，于是 ) ( 1 ) ( x D r x D ； 若 x 是无理数，则 r x 是无理数，于是

19、) ( 0 ) ( x D r x D . 任何无理数都不是 ) (x D 的周期. 11证明： x x x f sin ) ( 在R上严格增. 证 设 2 1 x x ，于是 2 sin 2 cos 2 sin sin ) ( ) ( 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 x x x x x x x x x x x f x f 因为 0 x ，有 x x sin ，所以 1 2 1 2 1 2 1 2 | 2 sin | 2 | 2 sin 2 cos 2 | x x x x x x x x ， 从而 1 2 1 2 1 2 2 1 2 sin 2 cos 2 x x x x x

20、x x x . 所以有 0 2 sin 2 cos 2 ) ( ) ( 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x x x x x x f x f 即 x x x f sin ) ( 在R上严格增.|P.21 总练习题 1设 R b a , ，证明： |) | ( 2 1 , max b a b a b a 证 若 b a ，则 a b a , max ， a b a b a b a b a ) ( 2 1 |) | ( 2 1 ，这时 有 |) | ( 2 1 , max b a b a b a ；若 b a ，则 b b a , max ， |) | ( 2 1

21、 b a b a b b a b a ) ( 2 1 ，也有 |) | ( 2 1 , max b a b a b a ，所以 |) | ( 2 1 , max b a b a b a 2设 f 和 g 都是初等函数，定义 ) ( ), ( max ) ( x g x f x M ， ) ( ), ( min ) ( x g x f x m ， D x 试问 ) (x M 和 ) (x m 是否为初等函数？ 解 由第1题有 |) ) ( ) ( | ) ( ) ( ( 2 1 ) ( ), ( max ) ( x g x f x g x f x g x f x M ，因为 f 和 g 都是初等

22、函数，于是 ) ( ) ( x g x f 是初等函数，再由 2 1 2 ) ( ) ( | ) ( ) ( | x g x f x g x f ，知 | ) ( ) ( | x g x f 是初等函数，所以 ) (x M 是初等函 数. 8设 f 、 g 和 h 为增函数，满足 ) ( ) ( ) ( x h x g x f ， R x ，证明： ) ( ( ) ( ( ) ( ( x h h x g g x f f 证 因为 f 、 g 为增函数，再由 ) ( ) ( x g x f ，得 ) ( ( ) ( ( x g f x f f ， ) ( ( ) ( ( x g g x g f

23、，所以有 ) ( ( ) ( ( x g g x f f . 同理可得 ) ( ( ) ( ( x h h x g g . 9设 f 、 g 为区间 ) , ( b a 上的增函数，证明 ) ( ), ( max ) ( x g x f x ， ) ( ), ( min ) ( x g x f x 也都是区间 ) , ( b a 上的增函数. 证 先证 ) ( ), ( max ) ( x g x f x 是区间 ) , ( b a 上的增函数. 设 2 1 x x ，于是有 ) ( ) ( ) ( ), ( max ) ( 1 2 2 2 2 x f x f x g x f x ， ) (

24、) ( ) ( ), ( max ) ( 1 2 2 2 2 x g x g x g x f x ， 从而 ) ( ) ( ), ( max ) ( 1 1 1 2 x x g x f x ，所以 ) (x 是增函数. 其次证明 ) ( ), ( min ) ( x g x f x 是区间 ) , ( b a 上的增函数 设 2 1 x x ，于是有 ) ( ) ( ) ( ), ( min ) ( 2 1 1 1 1 x f x f x g x f x ) ( ) ( ) ( ), ( min ) ( 2 1 1 1 1 x g x g x g x f x 从而 ) ( ) ( ), ( m

25、in ) ( 2 2 2 1 x x g x f x 12设 f 、 g 为D上的有界函数，证明： ) ( sup ) ( inf ) ( ) ( inf x g x f x g x f D x D x D x ) ( ) ( sup ) ( inf ) ( sup x g x f x g x f D x D x D x 证 由p.17例2 (i)，有|) ( inf ) ( inf ) ( ) ( inf x f x g x g x f D x D x D x 再由p.20习题8，有 ) ( sup ) ( inf x g x g D x D x 结合、可得 ) ( sup ) ( inf

26、) ( ) ( inf x g x f x g x f D x D x D x 13设 f 、 g 为D上的非负有界函数，证明： ) ( ) ( inf ) ( inf ) ( inf x g x f x g x f D x D x D x ) ( inf ) ( sup ) ( ) ( sup x g x f x g x f D x D x D x 证 D x ，有 ) ( ) ( inf x f x f D x ， ) ( ) ( inf x g x g D x ，从而 ) ( ) ( ) ( inf ) ( inf x g x f x g x f D x D x . 即 ) ( inf

27、) ( inf x g x f D x D x 是 ) ( ) ( x g x f 在D上的一个下界，所以有 ) ( ) ( inf ) ( inf ) ( inf x g x f x g x f D x D x D x 15设 f 为定义在R上以h为周期的函数，a为实数. 证明：若f在 a, a+h 上 有界，则f在R上有界. 证 设f在 a, a+h 上有界，即存在 0 M ，使得 , h a a x ，有 M x f | ) ( | . R x ，必存在整数 m 和实数 , 0 h a a x ，使得 0 x mh x . 于是 M x f mh x f x f | ) ( | | )

28、( | | ) ( | 0 0 ，所以f在R上有界. 16设 f 在区间I 上有界. 记 ) ( sup x f M I x ， ) ( inf x f m I x ，证明 m M x f x f I x x | ) ( ) ( | sup , 证 I x ，有 M x f ) ( ， m x f ) ( . 于是 I x x , ，有 m M x f x f | ) ( ) ( | ，即 m M 是数集 , : | ) ( ) ( | I x x x f x f 的一个上界. 下面证明： m M 是数集 , : | ) ( ) ( | I x x x f x f 的最小上界. 由上确界，下确

29、界的定义知， 0 ， I x x , ，使得 2 ) ( M x f ， 2 ) ( m x f ，从而 m M m M x f x f ) 2 ( 2 ) ( ) ( . 所以 m M 是 数集 , : | ) ( ) ( | I x x x f x f 的最小上界. 所以 m M x f x f I x x | ) ( ) ( | sup , 部分重点高校历年研究生入学考试试题选（供参考） 1 （北京科技大学，1999年）叙述数集A的上确界的定义，并证明：对任意有界数列 n x ， n y ，总有 sup sup sup n n n n y x y x 证明 定义参考教材. 由上确界的定义

30、，有 sup n n x x ， sup n n y y ， （ , 2 , 1 n ）. 于是 sup sup n n n n y x y x ，即实数 sup sup n n y x 是数列 n n y x 的一个上 界，所以有 sup sup sup n n n n y x y x |2 （中国人民大学）设 2 49 ) 3 lg( 1 ) ( x x x f ，求 ) (x f 的定义域和 ) 7 ( f f . 解 由 0 49 , 1 3 , 0 3 2 x x x 解得 ) (x f 的定义域为 ) 3 , 2 ( ) 2 , 7 1 10 lg 1 ) 7 ( f ，所以 3

31、4 2 lg 1 ) 7 ( f f 3 （华中理工大学）设 1 ) ( x x x f ，试验证 x x f f f f ) ( ( ，并求 ) ( 1 x f f （ 0 x ， 1 x ）. 解 由 x x x x x x f x f x f f 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ，得 x x f f x f f f f ) ( ) ( ( . x x x x x x x f x f f 1 1 1 1 1 ) ( 1 4 （同济大学）设 0 1 0 , 1 ) ( x x x x f ，求 ) ( x f f . 解 当 0 x 时， 1 ) 1 ( ) ( f x f f ，

32、当 0 1 x 时， 1 ) 1 ( ) ( x f x f f ， 当 1 x 时， 2 ) 1 ( ) ( x x f x f f ， 所以 1 1 1 , 2 ) ( x x x x f f 5 （西北工业大学）设 2 ) ( x x x f ，求 ) (x f 的定义域 2 ) ( 2 1 x f f x x f x ) ( lim 0 解 0 , 2 0 , 0 | | ) ( x x x x x x f ，所以 ) (x f 的定义域为 ) , ( . 因为 ) ( 2 2 ) ( ) ( 2 2 2 2 x f x x x x x x x f f ，所以 2 2 ) ( ) (

33、2 1 x x x f x f f 因为 0 0 lim ) ( lim 0 0 x x x f x x ， x x x x f x x 2 lim ) ( lim 0 0 ，所以 x x f x ) ( lim 0 不存 在 6 （清华大学）设函数 ) (x f 在 ) , ( 上是奇函数， a f ) 1 ( 且对任何 x 值均有 ) 2 ( ) ( ) 2 ( f x f x f 试用 a 表示 ) 2 ( f 与 ) 5 ( f| 问 a 取什么值时， ) (x f 是以2为周期的周期函数. 解 因为对任何 x 值均有 ) 2 ( ) ( ) 2 ( f x f x f ，令 1 x

34、得 a f f f f f f f a ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 1 ( ) 1 ( ，所以 a f 2 ) 2 ( . a f f f 3 ) 2 ( ) 1 ( ) 3 ( ， a f f f 5 ) 3 ( ) 2 ( ) 5 ( 由 ) 2 ( ) ( ) 2 ( f x f x f 知当且仅当 0 ) 2 ( f ，即 0 a 时， ) (x f 是以2为周 期的周期函数. 7 （合肥工业大学）证明：定义在对称区间 ) , ( l l 内的任何函数 ) (x f ，必可表示成 偶函数 ) (x H 与奇函数 ) (x G 之和的形式，且这种表

35、示法是唯一的. 证明 令 ) ( ) ( 2 1 ) ( x f x f x H ， ) ( ) ( 2 1 ) ( x f x f x G ，则 ) ( ) ( ) ( x G x H x f ，且容易证明 ) (x H 是偶函数， ) (x G 是奇函数. 下证唯一性. 若还有偶函数 ) ( 1 x H 与奇函数 ) ( 1 x G ，满足 ) ( ) ( ) ( 1 1 x G x H x f ，则 有 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 x G x G x H x H ， 用 x 代入式，得 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 x G x G x H x H + 得 ) ( )

36、 ( 1 x H x H ，再代入式得 ) ( ) ( 1 x G x G 8 （内蒙古大学）作函数 | | 2 | 2 | x y 的图形 解 4 4 4 2 4 2 0 0 x x x x x x x x y9 （上海师范大学）是否存在这样的函数，它在区间 1 , 0 上每点都取有限值，但在此 区间的任何点的任何邻域内都无界. 答 存在，例如 1 0 0 0 , , ) ( 或 为无理数或为 且 互质 x ， n ， n m n m x n， x f 10 （武汉大学，1994年）设 n x 为一个正无穷大数列，E为 n x 的一切项组成的 数集，试证：必存在自然数 p ，使得 E x p

37、 inf 证明 因为 n x 为一个正无穷大数列，所以存在自然数 N ，使得当 N n 时， 1 x x n . 于是 , , , min inf 2 1 N x x x E ，由于 , , , 2 1 N x x x 为有限集，所以存 在 p x ，使得 E x x x x N p inf , , , min 2 1 . 11 （天津大学）证明： 2 是满足不等式 2 2 r 的一切正有理数的下确界； 证 设 0 , 2 , | 2 r r Q r r A . 要证 2 是数集A的下确界. A r ，有 2 2 r ，所以 2 r ，即 2 是数集A的一个下界. 0 ，由有理数的稠密性，在

38、) 2 , 2 ( 上存在无穷多个有理数，于是可取 ) 2 , 2 ( 1 r ，即 A r 1 且 2 1 r . 所以 2 inf A | | 2 | 2 | x y x O 1 2 3 4 1 2 y|12 （华中师范大学）设函数 ) (x f 定义在区间I上，如果对于任何 I x x 2 1 , ，及 ) 1 , 0 ( ，恒有 ) ( ) 1 ( ) ( ) ) 1 ( ( 2 1 2 1 x f x f x x f ， 证明：在区间I的任何闭子区间上 ) (x f 有界. 证 I b a , ，要证 ) (x f 在 , b a 有界. ) , ( b a x ，存在 ) 1 , 0 ( ，使 ) ( a b a x ，即 a b x ) 1 ( . M M M a f b f a b f x f ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ) 1 ( ( ) ( 其中 ) ( ), ( max b f a f M , b a x ，令 x b a y ) ( ，则 2 2 y x b a ， M x f y f x f y x f b a f 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 ( ) 2 ( ，所以 M b a f x f ) 2 ( 2 ) ( 由、可得， , b a x ，有 M x f M