高等数学-上册-第一章心得.doc

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1、|第一章 函数极限与连续 （一） 本章重点（important points）： 1. 了解极限的定义（重点是理解极限定义中的“任意”和“存在” ，以及 N 与 的相关性；动态变化性）及求法，定义要从代数及几何两方面进行理解。 2. 理解以及运用两个重要的极限公式（及其拓展形式） 。 3. 无穷小理论及其运用（主要是等价无穷小代换，在求极限以及一些证明题中 会经常用到，so it is also important!） 。 4. 函数的连续（这是以后很多公式定理运用的条件，所以必须掌握地 very good！） 。 5. 分段函数的连续性，可导性，及其极限值的求法。 （二） 知识点分析（ana

2、lysis）： 常用不等式 1） 绝对值不等式： | | | | | | | | + | | 2） 三角不等式： | | = | + | | | + | | 3） Bernoulli Inequality(贝努力不等式)： 若 x-1, n z, 且 n=2 则 (1 + ) 1 + 4) Cauchy Inequality（柯西不等式）：( = 1 ） 2 ( = 1 2 ) ( = 1 2 ) 5) e x 1+x |6) ln(1+n) 7) n n n z x y n , （ii） a z y n n n n lim lim 那么，数列 的极限存在，且 。 n x a x n n li

3、m 证明：因为 ，所以对 ，当 时，有 ，即 a z y n n n n lim lim 0 , 0 1 N 1 N n a y n，对 ，当 时，有 ，即 ，又 a y a n 2 N 2 N n a z n a z a n 因为 ，所以当 时，有 ， n n n z x y , 2 1 N N Max N n a z x y a n n n即有： ，即 ，所以 。 a x a n a x n a x n n lim 第一个重要极限： 1 sin lim 0 x x x|证明：作单位圆，如下图： 设 为圆心角 ，并设 见图不难发现： ，即： x AOB 2 0 x AOD AOB AOB S

4、 S S 扇形 ，即 ， x x x tan 2 1 2 1 sin 2 1 x x x tan sin 1 sin cos cos 1 sin 1 x x x x x x（因为 ，所以上不等式不改变方向） 2 0 x当 改变符号时， 及1 的值均不变，故对满足 的一切 x x x x sin , cos 2 0 x，有 。 x 1 sin cos x x x又因为 ， 2 1 4 2 1 ) 2 ( sin 2 1 ) cos 1 ( 1 cos 2 2 2 x x x x x 所以 1 cos lim 1 cos 2 1 0 2 x x x x而 ， 1 sin lim 1 1 lim c

5、os lim 0 0 0 x x x x x x 【例1】 。 1 sin 1 lim sin lim sin lim 0 0 arcsin 0 t t t t x x c t t x t x 令 【例2】 。 1 sin lim ) sin( lim sin lim 0 t t x x x x t x t x x 【例3】 。 3 1 1 3 cos 1 3 3 sin 3 lim 3 tan lim 0 0 x x x x x x x|【例4】 。 2 1 ) 2 2 sin ( lim 2 1 ) 2 ( sin 2 lim cos 1 lim 2 0 2 2 0 2 0 x x x x

6、 x x x x x 准则：单调有界数列必有极限 作为准则的一个应用，下面来证明极限 是存在的。 x x x ) 1 1 ( lim 先考虑 取正整数时的情形： x n n n ) 1 1 ( lim 对于 ，有不等式： ，即： ， 0 a b n n n b n a b a b ) 1 ( 1 1 ) ( ) 1 ( 1 1 a b b n a b n n n 即： ) 1 ( 1 nb a n b a n n （i）现令 ，显然 ，因为 将其代 n b n a 1 1 , 1 1 1 0 a b 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( n n nb a n 入，所以 ，所以 为单调数列。 n

7、n n n ) 1 1 ( ) 1 1 1 ( 1 ) 1 1 ( n n （ii）又令 ， 1 a 2 1 ) 2 1 ( 1 ) 1 ( , 2 1 1 n n nb a n n b 所以 ， n n n n ) 2 1 1 ( 2 2 1 ) 2 1 1 ( 1 n n 2 ) 2 1 1 ( 4 即对 ， 又对 4 , 2 n x n 4 ) 2 2 1 1 ( ) 1 2 1 1 ( 2 2 1 2 n n n n 所以 是有界的。 n n ) 1 1 ( 由准则或知 存在，并使用 来表示，即 n x n ) 1 1 ( lim e 59045 7182818284 . 2 ) 1

8、1 ( lim e n n x Cauchy 极限存在准则：数列 收敛 对 ，当 时，有 n x N , 0 N m N n ,。 m n x x 七 极限存在的准则 （i）夹逼准则|给定数列 , , n n n x y z 若 当 时有 0 , n N 0 n n n n n y x z ， lim lim n n n n y z a 则 lim n n x a 给定函数 ， ( ), ( ), ( ) f x g x h x 若当 （或 ）时，有 0 0 ( , ) x U x r x X ( ) ( ) ( ) g x f x h x ， 0 0 ( ) ( ) lim ( ) lim

9、( ) x x x x x x g x h x A 则 0 ( ) lim ( ) x x x f x A （ii）单调有界准则给定数列 ，若对 有 使对 有 n x n N 1 1 ( ) n n n n x x x x 且 ( ) M m n N 则 存在 ( ) n n x M x m 且 lim n n x 若 在点 的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则 （或 ( ) f x 0 x 0 lim ( ) x x f x ）存在 0 lim ( ) x x f x 八 极限的运算法则 （1）若 ， 0 ( ) lim ( ) x x x f x A 0 ( ) lim ( ) x x x

10、 g x B 则(i) 0 ( ) lim ( ) ( ) x x x f x g x A B (ii) 0 ( ) lim ( ) ( ) x x x f x g x A B |(iii) （ ） 0 ( ) ( ) lim ( ) x x x f x A g x B 0 B （2）设（i） （ii）当 时 0 0 ( ) lim ( ) x x u g x g x u 且 0 0 ( , ) x U x 0 ( ) g x u （iii） 0 lim ( ) u u f u A 则 0 0 lim ( ) lim ( ) x x u u f g x f u A 九 两个重要极限 （1） 0

11、 sin lim 1 x x x ( ) 0 sin ( ) lim 1 ( ) u x u x u x ， ， sin lim 0 x x x 1 lim sin 1 x x x 0 1 lim sin 0 x x x （2） 1 lim 1 x x e x ) ( ) ( 1 lim 1 ; ( ) x u u x e u x 1 0 lim(1 ) x x x e ( ) 0 1 ( ) lim 1 ( ) ; v x x v v x e 十函数的连续性与间断点 定义 1：设 在 的某邻域内有定义，若 ，就称函 ) (x f y 0 x ) ( ) ( lim 0 0 x f x f x

12、 x 数 在 点处连续。 ) (x f y 0 x 注 1： 在 点连续，不仅要求 在 点有意义， 存在，而且要 ) (x f 0 x ) (x f 0 x ) ( lim 0 x f x x ，即极限值等于函数值。 ) ( ) ( lim 0 0 x f x f x x |2：若 ，就称 在 点左连续。若 ) ( ) 0 ( ) ( lim 0 0 x f x f x f x x ) (x f 0 x ，就称 在 点右连续。 ) ( ) 0 ( ) ( lim 0 0 x f x f x f x x ) (x f 0 x3：如果 在区间 上的每一点处都连续，就称 在 上连续；并称 为 ) (

13、x f I ) (x f I ) (x f 上的连续函数；若 包含端点，那么 在左端点连续是指右连续，在右端点连续是 I I ) (x f 指左连续。 定义1：设 在 的某邻域内有定义，若对 ， ) (x f y 0 x 0 , 0 当 时，有 ，就称 在 点连续。 0 x x ) ( ) ( 0 x f x f ) (x f 0 x下面再给出连续性定义的另一种形式： 先介绍增量：变量 由初值 变到终值 ，终值 与初值 的差 称为 的增量， u 1 u 2 u 2 u 1 u 1 2 u u u 记为 ，即 ； 可正、可负、也可为零，这些取决于 与 的大小。 u 1 2 u u u u 1 u

14、 2 u我们称 为自变量 在 点的增量，记为 ，即 或 ； 0 x x x 0 x x 0 x x x x x x 0 相应函数值差， 称为函数 在 点的增量，记为 ，即 0 0 x x x ) ( ) ( 0 x f x f ) (x f 0 x y ，即 或 ， 0 0 ) ( ) ( y y x f x f y y x f x f ) ( ) ( 0 y y y 0 。 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 y x f x x f x f x f 定义1：设 在 的某邻域内有定义，若当 时，有 ，即 ， ) (x f y 0 x 0 x 0 y 0 lim 0 y x 或 ，就称 在 点连续。 0 ) ( ) ( lim 0 0 0 x f x x f x ) (x f 0 x 定理： 在 点连续 在 点既左连续，又右连续。 ) (x f 0 x ) (x f 0 x 归纳：(1) ， 为无穷间断点； ) ( lim 0 x f x x 0 x(2) 震荡不存在， 为震荡间断点； ) ( lim 0 x f x x 0 x