高考~理科立体几何大题.doc

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1、|一， 2017山东济南调研如图，在三棱柱ABCA 1 B 1 C 1 中，AA 1 C 1 C是边长为4的正 方形平面ABC平面AA 1 C 1 C，AB3，BC5. (1)求证：AA 1 平面ABC； (2)求二面角A 1 BC 1 B 1 的余弦值； (3)在线段BC 1 上是否存在点D，使得ADA 1 B？若存在，试求出 的值 BD BC1 (1)证明 在正方形AA 1 C 1 C中，A 1 AAC. 又平面ABC平面AA 1 C 1 C， 且平面ABC平面AA 1 C 1 CAC，AA 1 平面 AA 1 C 1 C. AA 1 平面ABC. (2)解 由(1)知，AA 1 AC，A

2、A 1 AB， 由题意知，在ABC中，AC4，AB3，BC5， BC 2 AC 2 AB 2 ，ABAC. 以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Axyz. A 1 (0,0,4)，B(0,3,0)，C 1 (4,0,4)，B 1 (0,3,4)， 于是 (4,0,0)， (0,3，4)， A1C1 A1B (4，3,0)， (0,0,4) B1C1 BB1 设平面A 1 BC 1 的法向量n 1 (x 1 ，y 1 ，z 1 )，|平面B 1 BC 1 的法向量n 2 (x 2 ，y 2 ，z 2 ) Error!Error! 取向量n 1 (0,4,3) 由Error!Error! 取

3、向量n 2 (3,4,0) cos . n1n2 |n1|n2| 16 5 5 16 25 由题图可判断二面角A 1 BC 1 B 1 为锐角， 故二面角A 1 BC 1 B 1 的余弦值为 . 16 25 (3)解 假设存在点D(x，y，z)是线段BC 1 上一点，使ADA 1 B，且 ， BD BC1 (x，y3，z)(4，3,4)， 解得x4，y33，z4， (4，33，4) AD 又ADA 1 B，03(33)160， 解得 ， 9 25 0,1， 9 25 在线段BC 1 上存在点D，使得ADA 1 B， 此时 . BD BC1 9 25 二， 如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平

4、面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形， ABCBAD ，PAAD2，ABBC1. 2 (1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值； (2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长|解 以 ， ， 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， AB AD AP 则各点的坐标为B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)， P(0,0,2) (1)由题意知，AD平面PAB， 所以 是平面PAB的一个法向量， AD (0,2,0) AD 因为 (1,1，2)， (0,2，2) PC PD 设平面PCD的法向量为m(x，y，z)， 则m 0，m 0，

5、PC PD 即Error! 令y1，解得z1，x1. 所以m(1,1,1)是平面PCD的一个法向量 从而cos ，m ， AD AD m |AD |m| 3 3 所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为 . 3 3 (2)因为 (1,0,2)， BP 设 (，0,2)(01)， BQ BP 又 (0，1,0)， CB 则 (，1,2)， CQ CB BQ 又 (0，2,2)， DP |从而cos ， . CQ DP CQ DP |CQ |DP | 12 1022 设12t，t1,3， 则cos 2 ， CQ DP 2t2 5t210t9 . 2 9 ( 1 t 5 9 ) 2 20 9

6、9 10 当且仅当t ，即 时，|cos ， |的最大值为 . 9 5 2 5 CQ DP 3 10 10 因为ycos x在 上是减函数， ( 0， 2 ) 所以此时直线CQ与DP所成角取得最小值 又因为BP ， 1222 5 所以BQ BP . 2 5 2 5 5 三，2016浙江卷如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面 ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3. (1)求证：BF平面ACFD； (2)求二面角BADF的平面角的余弦值 (1)证明 延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示 因为平面BCFE平面ABC，平面BCFE平面ABCBC，且ACBC，|所以AC平面

7、BCK，因此BFAC. 又EFBC，BEEFFC1，BC2， 所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点， 则BFCK，又ACCKC， 所以BF平面ACFD. (2)解 解法一：过点F作FQAK于Q，连接BQ. 因为BF平面ACK，所以BFAK，则AK平面BQF，所以BQAK. 所以BQF是二面角BAD F的平面角 在RtACK中，AC 3，CK2，得 AK ，FQ . 13 3 13 13 在RtBQF中，FQ ，BF ，得 3 13 13 3 cos BQF . 3 4 所以二面角BADF的平面角的余弦值为 . 3 4 解法二：如图，延长AD，BE，CF相交于一点K，则BCK为等边三角形 取

8、BC的中点O，连接KO，则KOBC，又平面BCFE平面ABC，所以KO平面ABC. 以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为x轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标 系Oxyz. 由题意，得B(1,0,0)，C(1,0,0)，K(0,0， )，A(1，3，0) ，E ，F 3 ( 1 2 ，0， 3 2 ) . ( 1 2 ，0， 3 2 ) 因此， (0,3,0)， (1,3， )， AC AK 3|(2,3,0) AB 设平面ACK的法向量为m(x 1 ，y 1 ，z 1 )，平面ABK的法向量为n(x 2 ，y 2 ，z 2 ) 由Error!得Error! 取m( ，0，1)； 3 由E

9、rror!得Error! 取n(3，2， ) 3 于是cosm，n . mn |m|n| 3 4 所以二面角BADF的平面角的余弦值为 . 3 4 四，2016河南九校联考 (本小题满分15分)如图，在四棱锥PABCD中，PA平 面ABCD，ADBC，ADCD，且ADCD2 ，BC4 ，PA2，点M在PD上 2 2 (1)求证：ABPC； (2)若二面角MACD的大小为45，求BM与平面PAC所成角的正弦值 解 (1)证明：取BC中点E，连接AE，则ADEC，ADEC，所以四边形AECD为平行 四边形，故AEBC，又AEBEEC2 ，所以ABCACB45，故ABAC，又 2 ABPA，ACPA

10、A，所以AB平面PAC，(4分) 故有ABPC.(6分) (2)如图建立空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，B(2 ，2 ，0)， 2 2 C(2 ，2 ，0)，P(0,0,2)， 2 2|D(0,2 ，0)(7分) 2 设 (0,2 ，2)(01)， PM PD 2 易得M(0,2 ，22)， 2 设平面AMC的一个法向量为n 1 (x，y，z)， 则Error! 令y ，得x ，z ， 2 2 2 1 即n 1 ，(9分) ( 2， 2， 2 1 ) 又平面ACD的一个法向量为n 2 (0,0,1)，(10分) |cosn 1 ，n 2 | cos45， |n1n2| |n1|

11、n2| | 2 1 | 4 ( 2 1 ) 2 解得 ，(12分) 1 2 即M(0， ，1)， (2 ，3 ，1)， 2 BM 2 2 而 (2 ，2 ，0)是平面PAC的一个法向量，(13分) AB 2 2 设直线BM与平面PAC所成的角为， 则sin|cos ， | . BM AB |812| 4 3 3 5 3 9 故直线BM与平面PAC所成的角的正弦值为 .(15分) 5 3 9 五2016平顶山二调(本小题满分15分)在正三角形ABC中，E、F、P分别是 AB、AC、BC边上的点，满足AEEBCFFACPPB12，如图1.将AEF沿EF折起 到A 1 EF的位置，使二面角A 1 E

12、FB成直二面角，连接A 1 B、A 1 P，如图2. (1)求证：A 1 E平面BEP； (2)求二面角BA 1 PE的余弦值 解 不妨设正三角形ABC的边长为3.|(1)证明：在图1中，取BE的中点D，连接DF. AEEBCFFA12， AFAD2，而A60，ADF是正三角形 又AEDE1，EFAD. 在图2中，A 1 EEF，BEEF， A 1 EB为二面角A 1 EFB的平面角(4分) 由题设条件知此二面角为直二面角，A 1 EBE. 又BEEFE，A 1 E平面BEF，即A 1 E平面BEP.(6分) (2)建立分别以EB、EF、EA 1 所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则

13、 E(0,0,0)，A 1 (0,0,1)，B(2,0,0)，F(0， ，0)，P(1， ，0)，则 (0,0，1)， 3 3 A1E (2,0，1)， A1B (1， ，0)， (1， ，0)(8分) BP 3 PE 3 设平面A 1 BP的法向量为n 1 (x 1 ，y 1 ，z 1 )， 由n 1 平面A 1 BP知，n 1 ，n 1 ， A1B BP 即Error! 令x 1 ，得y 1 1，z 1 2 ，n 1 ( ，1,2 )(10分) 3 3 3 3 设平面A 1 PE的法向量为n 2 (x 2 ，y 2 ，z 2 ) 由n 2 平面A 1 PE知，n 2 ，n 2 ， A1E

14、PE 即可得n 2 ( ，1,0)(12分) 3 cosn 1 ，n 2 n1n2 |n1|n2| ，(14分) 3 31 12 3 0 32122 32 0212 32 1 4 所以二面角BA 1 PE的余弦值是 .(15分) 1 4 六2016江苏高考(本小题满分20分)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成， 上部的形状是正四棱锥PA 1 B 1 C 1 D 1 ，下部的形状是正四棱柱ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (如图所示)， 并要求正四棱柱的高O 1 O是正四棱锥的高PO 1 的4倍|(1)若AB6 m，PO 1 2 m，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为6

15、m，则当PO 1 为多少时，仓库的容积最大？ 解 (1)由PO 1 2知O 1 O4PO 1 8.(1分) 因为A 1 B 1 AB6， 所以正四棱锥PA 1 B 1 C 1 D 1 的体积V 锥 A 1 B PO 1 6 2 224(m 3 )(4分) 1 3 2 1 1 3 正四棱柱ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 的体积V 柱 AB 2 O 1 O6 2 8288(m 3 )(7分) 所以仓库的容积VV 锥 V 柱 24288312(m 3 )(8分) (2)设A 1 B 1 a m，PO 1 h m，则00，V是单调递增函数； 3 当2 h6时，V0，V是单调递减函数 3 故h2

16、 时，V取得极大值，也是最大值 3|因此，当 PO 1 2 m 时，仓库的容积最大(20 分) 3 七2016北京高考(本小题满分20分)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平 面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD . 5 (1)求证：PD平面PAB； (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值； (3)在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，求 的值；若不存在，说 AM AP 明理由 解 (1)证明：因为平面PAD平面ABCD，ABAD， 所以AB平面PAD，(3分) 所以ABPD. 又PAPD，所以PD平面PAB.(6分) (2)取AD的中点O，

17、连接PO，CO. 因为PAPD，所以POAD. 因为PO平面 PAD，平面PAD平面ABCD， 所以PO平面ABCD.(8分) 因为CO平面 ABCD，所以POCO. 因为ACCD，所以COAD. 如图建立空间直角坐标系Oxyz. 由题意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，1,0)， P(0,0,1)(10分) 设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则 Error!即Error!|令z2，则x1，y2.所以n(1，2,2)(12分) 又 (1,1，1)，所以cosn， .(14分) PB PB nPB |n|PB | 3 3 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦

18、值为 .(15分) 3 3 (3)设M是棱PA上一点，则存在0,1，使得 . AM AP 因此点M(0,1，)，(16分) (1，) BM 因为BM平面 PCD，所以要使BM平面PCD， 则 n0，(18分) BM 即(1，)(1，2,2)0，解得 . 1 4 所以在棱PA上存在点M，使得BM平面PCD， 此时 .(20分) AM AP 1 4 八2016天津高考(本小题满分20分)如图，正方形ABCD的中心为O，四边形 OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，ABBE2. (1)求证：EG平面ADF； (2)求二面角OEFC的正弦值； (3)设H为线段AF上的点，且AH

19、HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值 2 3 解 依题意，OF平面ABCD，如图，以O为原点，分别以 ， ， 的方向为x轴、y AD BA OF 轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0,0,0)，A(1,1,0)， B(1，1,0)，C(1，1,0)，D(1,1,0)，E(1，1,2)，F(0,0,2)，G(1,0,0)(2 分)|(1)证明：依题意， (2,0,0)， (1，1,2)设n 1 (x，y，z)为平面ADF的 AD AF 法向量，则Error!即Error!不防设 z1，可得n 1 (0,2,1)，(5分) 又 (0,1，2)，可得 n 1 0， EG EG

20、又直线EG平面 ADF， 所以EG平面ADF.(7分) (2)易证， (1,1,0)为平面OEF的一个法向量(8分) OA 依题意， (1,1,0)， (1,1,2) EF CF 设n 2 (x，y，z)为平面CEF的法向量，则Error! 即Error!不妨设 x1，可得n 2 (1，1,1)(11分) 因此有cos ，n 2 ，(13分) OA OA n2 |OA |n2| 6 3 于是sin ，n 2 . OA 3 3 所以二面角OEFC的正弦值为 .(14分) 3 3 (3)由AH HF，得AH AF.因为 (1，1,2)，所以 ，进而 2 3 2 5 AF AH 2 5 AF ( 2

21、 5 ， 2 5 ， 4 5 ) 有H ，(17分) ( 3 5 ， 3 5 ， 4 5 ) 从而 ， BH ( 2 5 ， 8 5 ， 4 5 )|因此cos ，n 2 .(19分) BH BH n2 |BH |n2| 7 21 所以，直线BH和平面CEF所成角的正弦值为 .(20分) 7 21 九2017河北五校联考(本小题满分20分)如图1所示，在四边形ABCD中， ABCD，AB2BC2CD8，CDBC，O为AB的中点将四边形OBCD沿OD折起，使平面 OBCD平面ODA，如图2，点E，F分别为CD，OA的中点 (1)求证：DF平面AEB； (2)线段AD上是否存在一点M，使BM与平面

22、AEB所成角的正弦值为 ？若存在，请求 6 18 出 的值；若不存在，请说明理由 DM MA 解 (1)证明：如图，取AB的中点G，连接FG，EG. 又F为OA的中点，所以FGOB，又OBDE，所以FGDE. 又FG OB，DE OB， 1 2 1 2 所以FGDE.(3分) 所以四边形EDFG为平行四边形，所以DFEG. 又EG平面 AEB，DF平面 AEB，所以DF平面AEB.(7分) (2)依题意知平面OBCD平面ODA，OBOD，平面OBCD平面ODAOD，|所以OB平面AOD，得OBOA. 又AOOD，故以O为坐标原点，OD，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立 如图所示的

23、空间直角坐标系(10分) 易知AOOD4，DC4，可得A(0,4,0)，E(4,0,2)，B(0,0,4)， D(4,0,0) 所以 (4，4,2)， AE (0，4,4) AB 设平面AEB的法向量为n(a，b，c)， 由Error!得Error! 取a1，则n(1,2,2)为平面AEB的一个法向量(14分) 假设线段AD上存在满足条件的点M，可设点M(t,4t,0)，其中0t4，则 (t,4t，4) BM 从而|cosn， | BM |nBM | |n|BM | ， |t24t2 4| 3 t24t216 t 3 2t28t32 依题意得|cosn， | ， BM t 3 2t28t32 6 18 解得t2或t4(舍去) 此时M(2,2,0)，即M为AD的中点，故 1.(18分) DM MA 故线段 AD 上存在一点 M，使 BM 与平面 AEB 所成角的正弦值为 ，且 1.(20 分 6 18 DM MA