机械能守恒2多物体机械能守恒问题介绍.doc

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1、|机械能守恒应用 2 多物体机械能守恒问题 一、轻杆连接系统机械能守恒 1、模型构建 轻杆两端各固定一个物体，整个系统一起沿斜面运动或绕某点转动或关联运动，该系统即为机械能守恒中的轻杆模型 2、模型条件 (1)忽略空气阻力和各种摩擦 (2)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等，关联运动时沿杆方向速度相等。 3、模型特点 (1)杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒 (2)对于杆和球组成的系统，没有外力对系统做功，因此系统的总机械能守恒 例 1转动质量分别为m 和 2m 的两个小球P 和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P 球 处有一个光滑固定

2、 L 3 轴O，如图 8所示现在把杆置于 水平位置后自由释放，在Q 球顺时针摆动到最低位置时，求： 图 8 (1)小球P 的速度大小； (2)在此过程中小球P 机械能的变化量 答案 (1) (2)增加 mgL 2gL 3 4 9 解析 (1)两球和杆组成的系统机械能守恒，设小球Q 摆到最低位置时P 球的速度为v，由于P、Q 两球的角速度相等，Q 球 运动半径是P 球运动半径的两倍，故Q 球的速度为 2v.由机械能守恒定律得 2mg L mg L mv 2 2m(2v) 2 ， 2 3 1 3 1 2 1 2 解得v . 2gL 3 (2)小球P 机械能增加量 Emg L mv 2 mgL 1

3、3 1 2 4 9 跟踪训练 .如图 537所示，在长为L 的轻杆中点A 和端点B 各固定一质量为m 的球，杆可绕无摩擦的轴O 转动， 使杆从水平位置无初速度释放。求当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B 两球分别做了多少功？ 图 537 解析：设当杆转到竖直位置时，A 球和B 球的速度分别为v A 和v B 。如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象，那么 由于杆和球的相互作用力做功总和等于零，故系统机械能守恒。 若取B 的最低点为重力势能参考平面，可得：2mgL mv mv mgL 又因A 球与B 球在各个时刻对应的角速度相 1 2 2 A 1 2 2 B 1 2 同，故v B 2v A 由以上二

4、式得：v A ，v B 。 3gL 5 12gL 5 根据动能定理，可解出杆对A 、B 做的功。|对A 有：W A mg mv 0，所以W A 0.2mgL 。 L 2 1 2 2 A 对B 有：W B mgL mv 0，所以W B 0.2mgL。 1 2 2 B 答案：0.2mgL 0.2mgL 例 2、平动 图539 如图539所示，倾角为的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连， 下面的小球B离斜面底端的高度为h.两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求： (1)两球在光滑水平面上运动时的速度大小； (2)整个运动过程中杆对A球

5、所做的功 【解析】 (1)因为没有摩擦，且不计球与地面碰撞时的机械能损失，两球在光滑地面上运动时的速度大小相等，设为 v，根据机械能守恒定律有： 2mg(h sin )2 mv 2 L 2 1 2 解得：v . 2ghgLsin (2)因两球在光滑水平面上运动时的速度v比B单独从h处自由滑下的速度 大，增加的机械能就是杆对B做正功的 2gh 结果B增加的机械能为 E kB mv 2 mgh mgLsin 1 2 1 2 因系统的机械能守恒，所以杆对B球做的功与杆对A球做的功的数值应该相等，杆对B球做正功，对A球做负功，所以 杆对A球做的功W mgLsin . 1 2 【答案】 (1) (2)

6、mgLsin 2ghgLsin 1 2 跟踪训练.如图 8所示，在倾角 30的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为 1 kg和 2 kg的可视为质点的小球A 和 B，两球之间用一根长L0.2 m 的轻杆相连，小球B 距水平面的高度h0.1 m两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球 与地面碰撞时的机械能损失，g取 10 m/s 2 .则下列说法中正确的是( ) 图 8 A整个下滑过程中A 球机械能守恒来源:学科网 ZXXK B整个下滑过程中B 球机械能守恒 C整个下滑过程中A 球机械能的增加量为 J D整个下滑过程中B 球 机械能的增加量为 J 2 3 2 3 答案 D 解析 在下滑的整个过程中，

7、只有重力对系统做功，系统的机械能守恒，但在B 球沿水平面滑行，而A 沿斜面滑行时，杆 的弹力对A 、B 球做功，所以A 、B 球各自机械能不守恒，故 A、B 错误；根据系统机械能守恒得：m A g(hLsin )m B gh (m A m B )v 2 ，解得：v m/s，系统下滑的整个过程中B 球机械能的增加量为 m B v 2 m B gh J，故 D 正确；A 球的机 1 2 2 3 6 1 2 2 3 械能减少量为 J，C 错误 2 3 例 3联动(2015新课标全国21)(多选)如图 5，滑块a、b的质量均为m，a 套在固定竖直杆上，与 光滑水平地面相 距h，b放在地面上a、b通过铰

8、链用刚性轻杆连接，由静止开始运动不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g. 则( )|图 5 Aa 落地前，轻杆对b一直做正功 Ba 落地时速度大小为 2gh Ca 下落过程中，其加速度大小始终不大于g Da 落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg 答案 BD 解析 滑块b 的初速度为零，末速度也为零，所以轻杆对b 先做正功，后做负功，选项 A 错误；以滑块a、b 及轻杆为研究 对象，系统的机械能守恒，当a 刚落地时，b 的速度为零，则mgh mv 0，即v a ，选项 B 正确；a、b 的先后受力 1 2 2 a 2gh 分析如图甲、乙所示 由a 的受力情况可知，a 下落

9、过程中，其加速度大小先小于g 后大于g，选项 C 错误；当a 落地前b 的加速度为零(即轻 杆对b 的作用力为零) 时，b 的机械能最大，a 的机械能最小，这时b 受重力、支持力，且F Nb mg，由牛顿第三定律可知， b 对地面的压力大小为mg，选项 D 正确 跟踪训练. 内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为 R 的轻杆，一端固定有质量为m 的小球甲，另一端固定 2 有质量为 2m 的小球乙，将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图 6所示由静止释放后 ( ) 图 6 A下滑过程中甲球减少的机械能总等于乙球增加的机械能 B下滑过程中甲球减少的重力势能总等于乙球增加

10、的重力势能 C甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点 D杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点 答案 AD 解析 根据题设条件可知甲、乙两小球组成的系统满足机械能守恒定律，故 A、D 对，B 错；由于乙球的质量大 于甲球的质量，所以甲球不可能沿凹槽下滑到槽的最低点，否则就不满足机械能守恒，C 错 二、轻绳连接系统机械能守恒 例 1 .甲、乙两物体用细线相连，跨过两光滑滑轮按如图 12所示方式连接，滑轮上方放置一竖直的光滑半圆形轨道，甲 物体与地面接触，乙物体紧挨滑轮位置，两滑轮到地面距离与半圆轨道直径相等，且与圆心在同一水平线上。若两滑轮与甲、 乙物体均视为质点，且两滑轮之间距离可视为与半圆轨道直

11、径相等，现将乙由静止开始释放，甲物体向上运动到圆弧轨道后， 恰好能沿半圆轨道做圆周运动，则甲、乙两物体质量之比为( )|图 12 A.17 B.16 C.15 D.14 解析 设甲、乙两物体质量分别为m 1 、m 2 ，轨道半径为R，当乙下落到地面、甲运动到半圆轨道下端时，由题意知，对系 统由机械能守恒定律可得 2m 2 gR 2m 1 gR (m 2 m 1 )v 2 ，甲球恰好能做圆周运动，则甲球在圆轨道最高点时必有 1 2 m 1 g ，甲由轨道下端运动到最高点过程中由机械能守恒定律可得： m 1 v 2 m 1 gR m 1 v ，联立以上各式可得： 1 2 1 2 2 1 m 2 7

12、m 1 ，则 A 正确。 答案 A 跟踪训练.如图 12所示，质量分别为 2m 和m 的A、B 两物体用不可伸长的轻绳绕过轻质定滑轮相连，开始两物体处 于同一高度，绳处于绷紧状态，轻绳足够长，不计一切摩擦现将两物体由静止释放，在A 落地之前的运动中，下列说法中 正确的是( ) 图 12 AA 物体的加速度为 BA、B 组成系统的重力势能增大 g 2 C下落t 秒时，B 所受拉力的瞬时功率为 mg 2 t D下落t 秒时，A 的机械能减少了 mg 2 t 2 1 3 2 9 答案 D 解析 A 与B 的加速度大小相等，根据牛顿第二定律得：对A 、B 整体有：a g，故 A 错误；A 、B 组成系

13、统的 2mg mg 2m m 1 3 机械能不变，动能增大，重力势能减小，故 B 错误；B 受到的拉力：Fm(ga) ，下落t 秒时，B 的速度： 4mg 3 vat gt，所受拉力的瞬时功率为PFv mg 2 t，C 错误；对A 有：2mgF T 2ma，得细绳的拉力F T mg.下落t 秒时， 1 3 4 9 4 3 A 下落的高度为h at 2 gt 2 ，则A 克服细绳拉力做功为W F T h mg 2 t 2 .根据功能关系得知：A 的机械能减少量为 1 2 1 6 2 9 E A W mg 2 t 2 ，故 D 正确 2 9多物体机械能守恒问题 (1)多物体机械能守恒问题的分析方法

14、： 对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒 注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系 列机械能守恒方程时，一般选用 E k E p 的形式 (2)多物体机械能守恒问题的三点注意：|正确选取研究对象 合理选取物理过程 正确选取机械能守恒定律常用的表达形式列式求解 专题训练： 1 如图 532所示，质量分别为m 和 2m 的两个小球A 和B，中间用轻质杆相连，在杆的中点O 处有一固定转动轴， 把杆置于水平位置后释放，在B 球顺时针摆动到最低位置的过程中(不计一切摩擦)( ) 图 532 AB 球的重力势能减少，动能增加，B 球和地球组成的系统机械能守恒 BA

15、球的重力势能增加，动能也增加，A 球和地球组成的系统机械能不守恒 CA 球、B 球和地球组成的系统机械能守恒 DA 球、B 球和地球组成的系统机械能不守恒 解析 A 球在上摆过程中，重力势能增加，动能也增加，机械能增加，B 项正确；由于A 球、B 球和地球组成的系统 只有重力做功，故系统的机械能守恒，C 项正确，D 项错误；所以B 球和地球组成系统的机械能一定减少，A 项错误。 答案 BC 2. 图5311 (多选)轻杆AB长2L，A端连在固定轴上，B端固定一个质量为2m的小球，中点C固定一个质量为m的小球AB杆可以 绕A端在竖直平面内自由转动现将杆置于水平位置，如图5311所示，然后由静止释

16、放，不计各处摩擦与空气阻力， 则下列说法正确的是( ) AAB杆转到竖直位置时，角速度为 10g 9L BAB杆转到竖直位置的过程中，B端小球的机械能的增量为 mgL 4 9 CAB杆转动过程中杆CB对B球做正功，对C球做负功，杆AC对C球做正功 DAB杆转动过程中，C球机械能守恒 【解析】 在AB杆由静止释放到转到竖直位置的过程中，以B球的最低点为零势能点，根据机械能守恒定律有： mg2L2mg(2L)mgL 2m(2L) 2 m(L) 2 ，解得角速度 ，A项正确在此过程中，B端小球机械能 1 2 1 2 10g 9L 的增量为：E B E 末 E 初 2m(2L) 2 2mg(2L) m

17、gL，B项正确AB杆转动过程中，杆AC对C球不做功，杆CB 1 2 4 9 对C球做负功，对B球做正功，C项错C球机械能不守恒，B、C球系统机械能守恒，D项错 【答案】 AB 3 (多选)如图 5所示，有一光滑轨道ABC，AB 部分为半径为R 的 圆弧，BC 部分水平，质量均为m 的小球a、b固定在 1 4 竖直轻杆的两端，轻杆长为R，不计小球大小。开始时a球处在圆弧上端A 点，由静止释放小球和轻杆，使其沿光滑轨道下 滑，下列说法正确的是( )|图 5 Aa 球下滑过程中机械能保持不变 Ba、b 两球和轻杆组成的系统在下滑过程中机械能保持不变 Ca、b 滑到水平轨道上时速度为 2gR D从释放

18、到a、b滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对a球做的功为 mgR 2 解析：选 BD 由机械能守恒的条件得，a 球机械能不守恒，a、b 系统机械能守恒，所以 A 错误，B 正确。对a、b 系 统由机械能守恒定律得：mgR2mgR 2 mv 2 ，解得v ，C 错误。对a 由动能定理得：mgRW mv 2 ，解得W 1 2 3gR 1 2 ，D 正确。 mgR 2 4. 绳连接的系统机械能守恒如图 7，可视为质点的小球A、B 用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R 的光滑圆柱，A 的质量为B 的两倍当B 位于地面时，A 恰与圆柱轴心等高将A 由静止释放，B 上升的最大高度是( ) 图

19、7 A2R B. C. D. 5R 3 4R 3 2R 3 答案 C 解析 设A 球刚落地时两球速度大小为v，根据机械能守恒定律得，2mgRmgR (2mm)v 2 ，解得v 2 gR ，B 球继续上 1 2 2 3 升的高度h ，B 球上升的最大高度为hR R. v2 2g R 3 4 3 5.如图 13所示，一轻杆两端分别固定质量均为m 的小球A 和B，放置于半径为R 的光滑半圆轨道中，A 球与圆心等高，B 球恰在半圆的最低点，然后由静止释放，求在运动过程中两球的最大速度的大小 图 13 答案 (r(2)1)gR 解析 当杆处于水平状态时，A 、B 两球组成的系统重心最低，两球速度最大，A

20、 球下降的高度 h A Rcos 45，B 球上升的 高度 h B R(1cos 45) 由两球角速度相等知：两球速度大小相等，设为v. 由机械能守恒得：mgh A mgh B 2mv 2 1 2 解得：v (r(2) 1)gR 6、如图 5所示，一半径为R 的光滑半圆柱水平悬空放置，C 为圆柱最高点，两小球P、Q 用一轻质细线悬挂在半圆柱上， 水平挡板AB 及两小球开始时位置均与半圆柱的圆心在同一水平线上，水平挡板AB 与半圆柱间有一小孔能让小球通过，两|小球质量分别为m P m，m Q 4m，水平挡板到水平面EF 的距离为h2R，现让两小球从图示位置由静止释放，当小球P 到达最高点C 时剪

21、断细线，小球Q 与水平面EF 碰撞后等速反向被弹回，重力加速度为g，不计空气阻力，取 3。求： 图 5 (1)小球P 到达最高点C 时的速率v C ； (2)小球P 落到挡板AB 上时的速率v 1 ； (3)小球Q 反弹后能上升的最大高度h max 。 解析 (1)取两小球及细线为系统且圆心所在水平面为零势能面，则在小球P 到达最高点C 的过程中，系统满足机械能守恒， 有m Q g 2Rm P gR (m P m Q )v 0，解得v C 。 1 4 1 2 2 C 2gR (2)因v C ，所以剪断细线后小球P 做平抛运动，由机械能守恒定律知m P gR m P v m P v ，解得v 1

22、 2 。 gR 1 2 2 C 1 2 2 1 gR (3)剪断细线后，小球Q 做竖直下抛运动，反弹后做竖直上抛运动到最高点，满足机械能守恒，则有 m Q g 2R m Q v m Q g(hh max )，解得h max R。 1 4 1 2 2 C 3 2 答案 (1) (2)2 (3) R 2gR gR 3 2 7、 (2015 济南模拟)半径为R 的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为m 和 m 的小球A 和B。A、B 之间用 3 一长为 R 的轻杆相连，如图 536所示。开始时，A、B 都静止，且A 在圆环的最高点，现将A、B 释放，试求： 2 图 536 (1)B 球到达最低点

23、时的速度大小； (2)B 球到达最低点的过程中，杆对A 球做的功； (3)B 球在圆环右侧区域内能达到的最高点位置。 审题指导 (1)A 、B 和轻杆组成的系统机械能守恒。 (2)因OA OB ，两球沿杆方向的分速度相等，两球速度大小始终相同。 (3)由系统机械能守恒可知，B 球一定能到达右侧区域高于O 点的位置。 解析 (1) 释放后B 到达最低点的过程中A、B 和杆组成的系统机械能守恒，m A gRm B gR m A v A 2 m B v B 2 ， 1 2 1 2 又OAOB ，AB 杆长 R ，故OA 、OB 与杆间夹角均为 45，可得v A v B ，解得：v B 。 2 2gR (2)对小球A 应用动能定理可得： W 杆A m A gR m A v A 2 ，又v A v B 1 2 解得杆对A 球做功W 杆A 0。 (3)设B 球到达右侧最高点时，OB 与竖直方向之间的夹角为 ，取圆环的圆心O 为零势面， 由系统机械能守恒可得： m A gRm B gRcos m A gRsin ，|代入数据可得 30， 所以B 球在圆环右侧区域内达到最高点时，高于圆心O 的高度h B Rcos R。 3 2 答案 (1) (2)0 (3)高于O 点 R 处 2gR 3 2