2022年大学数学习题一答案.doc

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1、大学数学习题一答案 篇一：大学数学习题三 习题三 1 确定以下函数的单调区间： (1) y?2x3?6x2?18x?7； 解：所给函数在定义域(?,?)内连续、可导，且 y?6x2?12x?18?6(x?1)(x?3) 可得函数的两个驻点：x1?1,x2?3,在(?,?1),(?1,3),(3,?)内，y?分别取+，+号，故知函数在(?,?1,3,?)内单调增加，在?1,3内单调减少. (2) y?2x?8 (x?0)； x 8，那么函数2x解: 函数有一个连续点x?0在定义域外，在定义域内处处可导，且y?2? 有驻点x?2，在部分区间(0,2内，y?0；在2,?)内y?0，故知函数在2,?)

2、内单调增加，而在(0,2内单调减少.(3) y?ln(x?； 解: 函数定义域为(?,?)，y?0,故函数在(?,?)上单调增加. (4) y?(x?1)(x?1)3； 解: 函数定义域为(?,?),y?2(x?1)(2x?1)，那么函数有驻点: x?1,x?21,在211(?,内， y?0，函数单调减少；在,?)内， y?0，函数单调增加. 22 (5) y?xe (n?0,n?0)； 解: 函数定义域为0,?)，y?nxn?1?xn?xe?xne?x?e?xxn?1(n?x) 函数的驻点为x?0,x?n,在0,n上y?0，函数单调增加；在n,?上y?0，函数单调减少. (6) y?x?si

3、n2x；解: 函数定义域为(?,?), ?x?sin2x, x?n,n? y?, n?Z, ?2 ?x?sin2x, x?n? 2,n, n?Z. 1) 当x?n,n? 2时， y?1?2cos2x，那么 y?0?cos2x?1 2?x?n,n? 3； y?0?cos2x? 2?x?n? 3,n?2. 2) 当x?n? 2,n时， y?1?2cos2x，那么 y?0?cos2x?1 2?x?n? 2,n?6 y?0?cos2x?1 2?x?n?6,n. 综上所述，函数单调增加区间为kk 2,2?3 (k?z)， 函数单调减少区间为kk 2?3,2? 2 (k?z). (7) y?(x?2)5(

4、2x?1)4. 解: 函数定义域为(?,?). y?5(x?2)4(2x?1)4?4(x?2)5(2x?1)3?2 ?(2x?1)3(18x?11)(x?2)4 函数驻点为x1?1 2,x11 2?18,x3?2, 在(?,?1 2内， y?0,函数单调增加， 在?1 2,11 18上， y?0,函数单调减少， 在11 18,2上， y?0,函数单调增加， 在2,?)内， y?0,函数单调增加. 故函数的单调区间为: (?,?1，?1 22,11 18，11 18,?). 2. 证明以下不等式:(1) 当0?x?时， sinx?tanx?2x; 2 (1?cosx)(cos2x?cosx?1)

5、证明: 令f(x)?sinx?tanx?2x,那么f?(x)?, cos2x 时， f?(x)?0,f(x)为严格单调增加的函数，故f(x)?f(0)?0, 2 即sin2x?tanx?2x. 当0?x? x2 . (2) 当0?x?1时， e?sinx?1?2?x x2 证明: 令f(x)=e?sinx?1?,那么f?(x)=?e?x?cosx?x, 2?x f?(x)=e?x?sinx?1?e?x?(sinx?1)?0,那么f?(x)为严格单调减少的函数,故f?(x)?f?(0)?0,即f(x)为严格单调减少的函数,从而f(x)?f(0?),0即 x2 e?sinx?1?. 2?x 3.

6、试证:方程sinx?x只有一个实根. x)?cosx1?0,?证明:设f(x)?sinx?x，那么f(f(x)为严格单调减少的函数，因此f(x) 至多只有一个实根.而f(0)?0，即x?0为f(x)的一个实根，故f(x)只有一个实根x?0，也确实是sinx?x只有一个实根. 4. 求以下函数的极值: (1) y?x?2x?3； 解: y?2x?2,令y?0，得驻点x?1. 又因y?2?0，故x?1为极小值点，且极小值为y(1)?2. (2) y?2x?3x； 解: y?6x?6x,令y?0，得驻点x1?0,x2?1, 2322 y?12x?6,y?x?0?0,y?x?1?0, 故极大值为y(0

7、)?0，极小值为y(1)?1. (3) y?2x?6x?18x?7； 32解: y?6x2?12x?18?6(x?3)(x?1), 令y?0，得驻点x1?1,x2?3. y?12x?12,y?x?1?0,y?x?3?0, 故极大值为y(?1)?17，极小值为y(3)?47. (4) y?x?ln(1?x)； 解: y?1?1?0，令y?0，得驻点x?0. 1?x y?1,y?x?0?0,故y(0)?0为极大值. 2(1?x) (5) y?x4?2x2； 解: y?4x3?4x?4x(1?x2)， 令y?0，得驻点x1?1,x2?0,x3?1. y?12x2?4, y?x?1?0,y?x?0?0

8、, 故y(?1)?1为极大值，y(0)?0为极小值.(6) y?x 解: y?13,令y?0，得驻点x1?,且在定义域(?,1内有一不可导点x2?1，433335时， y?0;当x?时， y?0,故x1?为极大值点，且极大值为y()?. 44444由于函数定义域为x?1，故x?1不是极值点.当x? (7) y?； 解: y?,令y?0，得驻点x?12. 5 当x?121212时， y?0；当x?，y?0,故极大值为y()?5553x2?4x?4(8) y?； x2?x?1解: y?3?x?1?x( x2?x?1,y?x?2) (x2?x?1)2, 令y?0，得驻点x1?2,x2?0. ?(?2

9、x?2)(x2?x?1)?2(2x?1)(x2y?2x) (x2?x?1)3 y?x?2?0,y?x?0?0, 故极大值为y(0)?4，极小值为y(?2)?8 3. (9) y?excosx； 解: y?ex(cosx?sinx), 令y?0，得驻点x k?k?4(k?0,?1,?2,?). y?2exsinx，y?x?2k?0,y?x?(2k?1)?0， 44 2k? 故x2k?2k?4 为极大值点，其对应的极大值为y(x2k)?24; xk?1)?(2k?1)?2k?1?(24 4 为极小值点，对应的极小值为y(x2k?1)?2. 1 (10) y?xx； 1 解: y?xx(111?ln

10、x xlnx)?xx x2, 令y?0，得驻点x?e. 当x?e时， y?0，当x?e时， y?0, 1 故极大值为y(e)?ee. (11) y?2ex?e?x； 解: y?2ex?e?x,令y?0，得驻点x?ln2 2. y?2ex?e?x,y?x?ln2?0, 2篇二：大学数学习题十一答案 阿习题十一 1设L为xOy面内直线x=a上的一段，证明：?P?x,y?dx?0其中P(x,y)在L上连续 L证：设L是直线x=a上由(a,b1)到(a,b2)这一段， 那么 L：? ?x?a?y?t b1?t?b2，始点参数为t=b1，终点参数为t=b2故 ? L P?x,y?dx? ? b2b1 ?

11、da? P?a,t?dt? dt? ? b2b P?a,t?0dt?0 2设L为xOy面内x轴上从点(a,0)到点(b,0)的一段直线，证明：?P?x,y?dx? L ? ba P?x,0?dx， 其中P(x,y)在L上连续 证：L：? ?x?x?y?0 a?x?b，起点参数为x=a，终点参数为x=b 故?P?x,y?dx? L ? ba P?x,0?dx 3计算以下对坐标的曲线积分： (1)?x2?y2?dx，其中L是抛物线y=x2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧； L 222 (2)?其中L为圆周(x-a)+y=a(a0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界xydx? L (按

12、逆时针方向绕行)； (3)?ydx?xdy，其中L为圆周x=Rcost，y=Rsint上对应t从0到的一段弧； L 2 (4)? ?x?y?dx?x?y?dy x?y 2 2 L ，其中L为圆周x2+y2=a2(按逆时针方向绕行)； (5)?x2dx?zdy?ydz，其中为曲线x=k，y=acos，z=asin上对应从0到的 ? 一段弧； (6)?x3dx?3zy2?x2y?dz，其中是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线； ? (7)?C依次为点（1,0,0），(0,1,0)，?dx?dy?ydz，其中为有向闭拆线ABCA，这里A，B， L (0,0,1)； (8)?x2?2xy?

13、dx?y2?2xy?dy，其中L是抛物线y=x2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧 L 解：(1)L：y=x，x从0变到2， 2 2612 ?x 2 2 L ?y 2 ?dx? 2?x?x4 ?dx?1 1?560 ?x3?x5?3 5? ?015(2)如图11-1所示，L=L1+L2其中L1的参数方程为 图11-1 ?x?a?acost ? 0?t? ?y?asint L2的方程为y=0(0x2a) 故 ?L xydx? ?Lxydx? 1? Lxydx 2 ?0a?1+cost?asint?a?acost?dt? 2a0 0dx ? ? 0 a 3 ?sin2 t?1?cost?dt

14、?a3? 2 sintdt? ? 2 sintdsint ? ? 2 a 3 (3)?ydx?xdy? 2L ? 0?Rsint?Rsint?RcostRcost?dt ?R 2 ? 20 cos2tdt ?R2?1 ?2?sin2t?2? ?0?0 (4)圆周的参数方程为：x=acost，y=asint，t:02 故 ? ?x?y?dx?x?y?dy L x2 ?y 2 ?1a2 ? 20?acost?asint?asint?acost?asint?acost?dt ? 1 2 2 a 2 ?0 ?a?dt ?2 262 (5) ?2 ? xdx?zdy?ydz ? 2 20 ?k ?k?a

15、sin?a?sin?acos?acos?d? ? ? 3 2 2 ?k ?a ?d? ?1 3?3?a2?k?3?0?13 3 k3 ?a2 ?x?3t (6)直线 的参数方程是? ?y?2t t从10 ? z?t故 ?3 2 2 ?x dx?3zydy?xy?dz ?0 ?1?27t3?3?3t?4t2?2?9t2?2t?dt? ? 87t3 1 dt10?87?4 t 41 ? 874 (7)?AB?BC?CA(如图11-2所示) 图11-2 AB:?y?1?x ? ? z?0，x从01 ? AB dx?dy?ydz? ? 1 ?1?1?dx?2 BC:?x?0 ? ，z从01 ? y?1

16、?z 263 ? dx?dy?ydz? 1?zBC ? 1?0?1?dz ? ?1 ?2?z?dz ? 11 2?2z?z?2? ?0?3 2 CA:?y?0 ? ，? z?1?xx从01 ? 1 CA dx?dy?ydz? ?1?0?0?dx?1 故 ? dx?dy?ydz L ? ? ?dx?dy?ydz AB? ?BC? CA ?2? 312 ?1? 2 (8) ?x 2 ?2xydx?2 xyL ?y?2?dy ?1 ?2 ?2x?x 2 2 2x?1? x?x 4 ?2x?x ? dx? ?1 ?x 2 ?2x3 ?2x5 ?4x 4 ?1 ?dx ? 1415 4计算?x?y?dx

17、?y?x?dy，其中L是 L (1)抛物线y2=x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； (2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段； (3)先沿直线从(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线；(4)曲线x=2t2+t+1,y=t2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧 解：(1)L：? x?y2 ，y：12，故 ?y?y ?L ?x?y?dx?y?x?dy ?2 ?y2 1 ? ?y?2y?y?y2 ?1? dy? ?2 3 ?y2 ?y?dy 1 ?2y 2 ?141312? ?2y?y?y?32? ?1?343 (2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x=3y

18、-2，y：12 264 故 ?x?y?dx?y?x?dy L ? ?3y?2?y?3?y?3y?2?dy? 1 2 ?10y?4?dy 1 2 2 2 ?5y?4y?1 ?11 (3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L2，那么L=L1+L2且 L1：? ?x?1?y?y ，y：12；L2：? ?x?x?y?2 ，x：14； 故 ?x?y?dx?y?x?dy L1 ? ?1?y?0?y?1?dy? 1 2 ? 2 1 ?y2? ?y?1?dy?y? ?2?1 2 ? 12 ?x?y?dx?y?x?dy L2 ? ?x?2?2?x?0?dx? 1 4

19、 ? 4 1 2?1 ?x?2?dx?x?2? ?2?1 4 272 从而 ?x?y?dx?y?x?dy L ? ? 12 L1 ? L2 ?x?y?dx?y?x?dy ?14 ? 272 (4)易得起点(1,1)对应的参数t1=0，终点(4,2)对应的参数t2=1，故 ?x?y?dx?y?x?dy L 2 ? 3t? 1 2 ?t?2?4t?1?t?t?2t?dt ?5t?9t?2?dt 2 1 ?10t 1 3 ?1045392?t?t?t?2t? 32?4?0?323 5设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的间隔成正比，假设质点由(a,0) 沿椭圆挪动到B(0,b)，求力

20、所做的功 265篇三：大学数学习题七答案 习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出以下各点的位置： A(1,2,3);B(-2,3,4);C(2,-3,-4); D(3,4,0);E(0,4,3); F(3,0,0). 解：点A在第卦限；点B在第卦限；点C在第卦限； 点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0

21、; z轴上的点，x=y=0. 4. 求以下各对点之间的间隔： （1） （0，0，0），（2，3，4）；（2） （0，0，0）， （2，-3，-4）； （3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）. 解：（1 ）s? (2) s?(3) s?(4) s? ? ? ?. 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的间隔. 解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 s0? sx? ? ? sy? sz? ? ?5. 6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等间隔

22、的点. 解：设此点为M（0，0，z），那么 (?4)?1?(7?z)?3?5?(?2?z) 2 2 2 2 2 2 解得z? 149 149 即所求点为M（0，0，）. 1537. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：由于|AB|=|AC|=7.且有 222 |AC|+|AB|=49+49=98=|BC|. 故ABC为等腰直角三角形. 8. 验证：(a?b)?c?a?(b?c). 证明：利用三角形法那么得证.见图7-1 图7-1 9. 设u?a?b?2c, v?a?3b?c.试用a, b, c表示2u?3v. 解： 2u?

23、3v?2(a?b?2c)?3(?a?3b?c) ?2a?2b?4c?3a?9b?3c?5a?11b?7c 10. 把ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接，试 ? 以AB?c，BC?a表示向量D1A,D2A,D3A和D4A. ?1解：D1A?BA?BD1?c?a 5 ?2D2A?BA?BD2?c?a 5 ?3D3A?BA?BD3?c?a 5 ?4D4A?BA?BD4?c?a. 5 ? 11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60，求这向量在该轴上的投影. 解：设M的投影为M?，那么 ?1 PrjuOM?OMcos60?4?2. 2 12. 一向量

24、的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A的坐标. 解：设此向量的起点A的坐标A(x, y, z)，那么 ? AB?4,?4,7?2?x,?1?y,7?z 解得x=-2, y=3, z=0 故A的坐标为A(-2, 3, 0). 15413. 一向量的起点是P1（4，0，5），终点是P2（7，1，3），试求： ? （1） P1P2在各坐标轴上的投影；（2） P1P2的模； ? （3） P1P2的方向余弦； （4） P1P2方向的单位向量. ? 解：（1）ax?PrjxP1P2?3, ? ay?PrjyP1P2?1, ? az?PrjzP1P2?2. ?

25、(2) P1P2? ? ax (3) cos? P1P2ay cos? P1P2 3 azcos? ? P1P2 ? P1P2(4) e0?P1P2 ? j? . 14. 三个力F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R的大小和方 向余弦. 解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）|R |?cos? ? cos? cos? 15. 求出向量a= i +j+k, b=2i-3j+5k和c =-2i-j+2k的模，并分别用单位向量ea,eb,ec来表达向量a, b, c. 解：|a |? |b|?|c |? ? ?3

26、a? a, b?b, c?3ec. 15516. 设m=3i+5j+8k, n=2i-4j-7k, p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量. 解：a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k 在x轴上的投影ax=13,在y轴上分向量为7j. 17. 向量r与三坐标轴交成相等的锐角，求这向量的单位向量er. 解：因?,故3cos2? 1 ,cos? 3 , cos? 3 （舍去）那么er?cos?,cos?,cos?3 3 3 ? 3 i?j?k). ? 18. 已经明白两点M1（2，5，-3），M2（3，-2

27、，5），点M在线段M1M2上，且M1M?3MM2，求? 向径OM的坐标. ? 解：设向径OM=x, y, z ? M1M?x?2,y?5,z?3 ? MM2?3?x,?2?y,5?z ? 由于，M1M?3MM2 11?x?4x?2?3(3?x)? 1? 因此，?y?5?3(?2?y) ? ?y? 4?z?3?3(5?z)? ?z?3 ? ?111 故OM=,?,3. 44 ?236 19. 已经明白点P到点A（0，0，12）的间隔是7，OP的方向余弦是,，求点P的坐标. 777 ? 2222 解：设P的坐标为（x, y, z）, |PA|?x?y?(z?12)?49 得x?y?z?95?24z

28、 cos? 222 ? 67 ? z1?6, z2? 57049 又cos? ? 27 ? x1?2, x2? 19049 156cos? ? 37 ? y1?3, y2? 28549 故点P的坐标为P（2，3，6）或P（20. 已经明白a, b的夹角? 23 190285570 ）. , 494949 ，且a?3,b?4，计算： (1) ab; (2) (3a-2b)(a + 2b). 解：（1）ab =cos?|a|?|b|?cos 23 ?3?4? 12 ?3?4?6 (2) (3a?2b)?(a?2b)?3a?a?6a?b?2b?a?4b?b ?3|a|?4a?b?4|b| 2 2 ?

29、3?32?4?(?6)?4?16 ?61. 21. 已经明白a =(4,-2, 4), b=(6,-3, 2),计算： （1）ab; (2) (2a-3b)(a + b)； （3）|a?b|2 解：（1）a?b?4?6?(?2)?(?3)?4?2?38 (2) (2a?3b)?(a?b)?2a?a?2a?b?3a?b?3b?b ?2|a|?a?b?3|b| 2 2 2 2 2 2 2 2 ?2?4?(?2)?4?38?36?(?3)?2 ?2?36?38?3?49?113 (3) |a?b|?(a?b)?(a?b)?a?a?2a?b?b?b?|a|?2a?b?|b| ?36?2?38?49?9 222 ?22. 已经明白四点A（1，-2，3），B（4，-4，-3），C（2，4，3），D（8，6，6），求向量AB在 ? 向量CD上的投影. ? 解：AB=3，-2，-6，CD=6，2，3 ?AB?CD4?AB?PrjC?.D7CD23. 设重量为100kg的物体从点M1(3, 1, 8)沿直线挪动到点M2（1，4，2），计算重力所作 的功（长度单位为m）. 解：取重力方向为z轴负方向， 依题意有 f =0,0, -1009.8 157