完整第九章(1).doc

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1、三、模典范题分析例1打算，其中是圆中到之间的一段劣弧解法1将积分弧段分为跟两段弧来打算如图91所示：而，图91故解法2的参数方程为：，因此错歪曲答设，由于，那么沿此两段弧均有，故有错解分析差错缘故在于选作为参数时，表示为的单值函数时有两个表达式，故必须分为两段打算注在求对弧长的曲线积分时，假定曾经明白积分曲线的参数方程为：，且跟分错误应点与点处的参数值，在将曲线积分转化为定积分时，除了恳求积分的上限小于上限，还要留心：当从连续变卦到时，呼应的点应在积分曲线上同时，假定将非参数的积分曲线转化为参数方法时，参数方程差异，积分限也差异，打算的难易程度也差异，因此，一般要拔取打算较为庞杂的参数方程方法

2、例2打算，其中是顶点为及所成三角形的界线解是分段光滑的闭曲线，如图92所示，按照积分的可加性，那么有，由于:，因此，图92故，而,，因此故，同理可知，那么综上所述注当是分段光滑的闭曲线时，应当分成光滑曲线逐段打算例3打算，其中为圆周，分析积分曲线关于轴对称如图93所示，被积函数为关于的偶函数，由对称性得,其中解法1开门见山化为定积分的参数方程为,且图93因此解法2的极坐标方程为，那么，注1在解法1中，参数表示圆心角，而在解法2中，参数表示极坐标系下的极角，参数的意思差异，一般取值范围也纷歧样注2假定曲线在极坐标系下的方程为，那么，可开门见山用此式注3当积分曲线关于某个坐标轴对称时，可以考虑采用

3、对称性来打算第一类曲线分一般地，有以下的结论:1假定曲线关于轴对称，记是的的部分，在上连续，那么a假定是关于的偶函数b假定是关于的奇函数2假定曲线关于轴对称，记是的的部分，在上连续，那么a假定是关于的偶函数b假定是关于的奇函数例4打算其中为折线段，这里，分析求此题曲线积分的关键是求三条线段的参数方程在空间中过点，的直线的对称式方程为图94，令该比例式即是，可得直线的参数方程解如图94所示，线段的参数方程为，那么，故线段的参数方程为，那么故，线段的参数方程为，那么，故因此例5打算，为球面与立体的交线分析此题为对空间曲线弧的曲线积分，一般地，假定的参数方程为，且在上存在连续导数，那么有解法1先将曲

4、线用参数方程表示，由因此球面与通过球心的立体的交线，如图95所示，因此是空间一个半径为的圆周，它在立体上的投影为椭圆，其方程可以从两个曲面方程中消去而掉丢掉，即以代入有，将其化为参图95数方程，令，即，即有，代入或中得，从而的参数方程为，那么,因此解法2使用对称性由于积分曲线方程中的变量存在轮换对称性，即三个变量轮换位置，方程波动，故有，因此注这里通过奇异地使用轮换对称性，使打算大年夜大年夜简化，一般来讲，关于曲线的方程，假定其坐标的位置完好平等立即轮换位置，曲线方程的方法波动，那么可以考虑轮换对称性不的，对曲线积分，假定被积函数出现积分曲线方程的方法，那么将积分曲线方程代入被积函数中素日可以

5、将积分化简例6设一段曲线上任一点处的线密度的大小即是该点横坐标的平方，求其质量分析起首求出线密度，然后再使用公式即可解依题意曲线的线密度为，故所求质量为，其中那么的参数方程为，故，因此例7求八分之一球面的界线曲线的重心，设曲线的密度解设曲线在坐标立体内的弧段分不为、，曲线的重心坐标为，那么曲线的质量为由对称性可得重心坐标故所求重心坐标为例8打算，其中是曲线从对应于时的点到时的点的一段弧分析由于曲线是分段光滑的，因此先分不打算在每段图96光滑曲线的对坐标的曲线积分如图96，将积分分成两部分：解法1的方程为，那么有的方程为，那么因此解法2以为自变量，的方程为，那么的方程为肇端点对应的自变量值为1，

6、起点对应的自变量值为0由于，故有，因此注将对坐标的曲线积分开门见山化为对参数变量的定积分时应当留心：1当被积函数的方法较为庞杂，将积分曲线的方程代入积分式打算定积分比较随便时，可开门见山打算2参变量的拔取视积分曲线具体方法而定，积分上限与上限分不为积分道路的起点与起点所对应的参数值，这与对弧长的曲线积分差异；当积分曲线分段光滑时，应分段积分，并留心各自选择合适的参数变量作为积分变量例9打算如图97所示，是从点沿上半圆缜密点的一段弧分析关于对坐标的曲线积分的打算，与对弧长的曲线积分类似，也分三种，差异之处在于:对坐标的曲线积分中的曲线为图97有向的，因此化为定积分时，积分上、上限只与曲线的起点跟

7、起点有关，而与其大小有关解法1使用直角坐标打算记为上从点到点的一段劣弧那么定积分的几多何意思而，因此解法2使用曲线的参数方程打算的参数方程为:，在起点处参数值取，在起点处参数值呼应取0，故从到0那么=解法3设，故，由曲线积分与积分道路有关得，其中解法4使用格林公式设，那么有，由于积分道路不封闭，需要作辅助线，记与所围成的闭地域为，得注1当积分曲线关于某个坐标轴对称时，可以考虑采用对称性来打算第二类曲线分一般地，有以下的结论:假定曲线关于轴对称，记是的的部分，在上连续，那么a假定是关于的奇函数b假定是关于的偶函数假定曲线关于轴对称，记是的的部分，在上连续，那么a假定是关于的奇函数b假定是关于的偶

8、函数注2使用格林公式打算对坐标的曲线积分时，应留心以下几多点:1在地域内连续，闭地域的界线曲线应取正向2假定为非封闭曲线，开门见山打算又较艰辛，可添加辅助线使为封闭曲线，然后使用格林公式，假定的倾向为负向，格林公式中二重积分前要加负号，并留心，同时留心补上的曲线要便于积分的打算3假定在中某点不连续，要通过添加辅助曲线挖去后再使用格林公式，并要留心的倾向的拔取4在曲线积分中，可将的表达式代入被积表达式，但是使用格林公式将曲线积分化为二重积分后，在内的点已不再称心的方程，不应再将的表达式代入二重积分的被积表达式例10打算，如图98所示，是依次连接的折线段分析假定将直线跟的方程写出，代入积分式开门见

9、山打算那么比较麻烦，因此考虑用格林公式打算，但是不是封闭曲线，须添加辅助线段使曲线封闭，并留心到封闭折线的倾向为负向，使用格林公式时在二重积分前要添加负号解令，那么，且线段，由1变卦到-1，故有图98其中为所围成的闭地域例11打算，其中为椭圆周，取逆时针倾向分析此题可以开门见山打算，也可使用格林公式，但是应留心奇点解法1开门见山打算，的参数方程为:，从0到，那么留心到为被积函数的无穷连续点，故为正常积分，因此，其中；同理可得，因此解法2用格林公式令，那么事前，但积分曲线所围地域包含点，在该点不存在连续的偏导数，因此不克不迭开门见山使用格林公式打算，需要将奇点去丢掉，为此作半径充分小的圆:，使位

10、于的内部，如图99所示的参数方程为，取逆时针倾向因此图99，其中表示的负倾向由格林公式那么有，其中为与所围成的闭地域故例12使用格林公式打算，其中，为圆周取逆时针倾向，是沿的外法线方向导数解由于，其中是在曲线上点处的切线的倾向角，故按照两类曲线积分之间的联系及格林公式，有由于为圆周，因此所围成的圆的面积，因此例13验证在全立体上，是全微分，并求出它的一个原函数解令，那么在全立体上有，称心全微分存在定理的条件，故在全立体上，是全微分上面用三种方法来求原函数：解法1使用曲线积分公式，为了打算庞杂，如图910所示，可取定点，动点与，因此原函数为取道路:，得图910解法2从定义出发，设原函数为，那么有

11、，单方对积分现在看作参数，得*待定函数作为对积分时的任意常数，上式单方对求偏导，又，因此，即，从而为任意常数，代入*式，得原函数解法3凑微分，故原函数为注1当积分与道路有关时，在拔取道路时应使得打算笨重注2不唯一，但它们之间相差一个常数例1498研判定常数，使在右半立体上的向量为某二元函数的梯度，并求分析立体单连通地域内向量场为某二元函数的梯度的充要条件是，由此可判定然后，由曲线积分与道路有关即可求出解由梯度定义，其中，而，为的梯度即在时存在原函数，故，由此可得，可见当且仅事前，所给向量为的梯度又由于，因此曲线积分与道路有关，故注此题实质上是立体单连通地域内曲线积分与道路有关的题目，只是以梯度

12、的方法考察例15试求由星形线所围成图形的面积分析这是一道求立体图形的面积的题目，可用定积分打算，也可用二重积分打算，也可用曲线积分打算，上面用二重积分来打算，进一步使用格林公式，将重积分转化为曲线积分来打算解由格林公式可知注由格林公式可知，要使表示曲线所围地域的面积时，只要拔取适当的跟，使为非零常数即可例16设有一力场，场力的大小与感染点到轴的距离成反比，倾向垂直指向轴，如图911所示，试求一质点沿圆周从点沿添加的倾向移动到点所做的功分析变力沿曲线做功，可通过对坐标的曲线积分求得，将变力表示为向量的方法:，判定曲线的倾向，那么功假定为立体曲线，打算方法类似解依题意可知，点所受的力的大小为:，其

13、中为常数，的倾向为，将此向量单位化，得，图911例17求曲面积分，其中为立体在第一卦限的部分，如图912所示分析这是一道打算第一类曲面积分的基此题要把第一类曲面积分化为二重积分，起首恳求出曲面在立体或立体，立体上的投影地域，再按照的方程判定面积元素最后由地域定出二重积分化为二次积分的上、上限一般地，假定光滑曲面的方程为，在立体上的投影为，且在上连续，那么解将曲面的方程改写为，那么,，从而，图912在上的投影地域为,故例18打算曲面积分，其中是介于立体及之间的圆柱面分析由于柱面在坐标面上的投影为一条曲线，不克不迭形成地域，即投影地域的面积即是零，因此不克不迭投影到立体上，故考虑投影到立体上或投影

14、到立体上，如图913所示解法1由于曲面的方程可以写成,因此考虑将曲面向立体投影，那么是由两片曲面图913跟形成，曲面跟在面上的投影地域均为在上:，；在上:，因此，又由于在跟上，均有，故解法2由于曲面的方程可以写成因此考虑将曲面向立体投影，那么是由两部分曲面跟形成曲面跟在面上的投影地域均为在上:，；在上:，因此，又由于在跟上，均有，故解法3使用奇偶对称性，由于曲面对于坐标立体临称，且被积函数是关于的偶函数，故有打算过程请参考解法1其中是的的部分，即是的右半部分错歪曲答柱面在坐标面上的投影为一条曲线，不克不迭形成地域，即投影地域的面积即是零，因此积分错解分析谁人结论是差错的，理想上，关于这类曲面积

15、分的打算，起重要看曲面在哪个坐标面的投影地域的面积不为零，然后再用呼应的公式停顿打算，就可以得出精确的结果注1打算迎面积的曲面积分时，积分曲面投影到哪个坐标面，要按照积分曲面方程的表达式来判定一般地，投影到坐标面时，的方程应写为的方法；投影到或坐标面时，的方程应写为或的方法假定曲面可以同时表示成，可以将曲面向任何一个坐标立体投影，那么迎面积的曲面积分都可化为二重积分打算但终究选择哪个坐标立体，起首，选择在坐标面上的投影地域越庞杂越好，其要紧使的方程代入被积函数后所得函数较笨重，使二重积分易于打算2当是母线平行于坐标轴的柱面时，不克不迭将向垂直于母线的坐标面投影，比如本例中就不克不迭向面投影，由

16、于的方程不克不迭写成的方法，从几多何上看，在面上的投影是曲线圆周，不克不迭形成地域3当的方程不是单值函数时，要将曲面分成两个单值函数表示的曲面分不停顿打算，然后再相加例19打算，其中是圆锥面被柱面所截得的部分分析此题可以将投影在坐标面，然后开门见山打算；又由于积分曲面对于面对称，也可考虑使用对称性来打算解法1开门见山打算如图914所示，在坐标面上的投影地域为:由于因此，在极坐标系下为:，故图914解法2使用奇偶对称性由于曲面对于面对称，且被积函数跟关因此奇函数，故，因此，为了打算，将向面投影，投影地域为，在极坐标系下可以表示为:，因此因此注1假定曲面对于对称，记是的的部分，即是的上半部分，在上

17、连续，那么a假定是关于的偶函数b假定是关于的奇函数2假定曲面对于对称，记是的的部分，即是的右半部分，在上连续，那么a假定是关于的偶函数b假定是关于的奇函数3假定曲面对于对称，记是的的部分，即是的前半部分，在上连续，那么a假定是关于的偶函数b假定是关于的奇函数4设有界分片光滑曲面存在轮换对称，即对任意，且在上连续，那么例20打算，其中是绕轴改变一周所掉丢掉的改变曲面分析先写出的方程，将投影到三个坐标面上，积分的打算对应有三种解法，这里仅给出了其中一种解法，不的的解法请读者自行完成解改变曲面为，故，因此，其中是在坐标面上的投影地域，使用极坐标打算此二重积分，因此例21假定球面上每一点的密度即是该点

18、到球的某肯定直径的距离的平方，求球面的质量分析此题考察曲面积分的物理意思，应先将所求的物理量用数学式子表达出来，然后再打算解法1设球面方程为，定直径选在轴，依题意，球面上点的密度为，从而球面的质量为由对称性可知，其中为上半球面，故，其中是在坐标面上的投影地域，使用极坐标打算此二重积分，因此得=解法2设球面方程为，定直径在轴上，依题意得球面上点的密度为，从而得球面的质量为，由轮换对称性可知：，故有例22面密度的均匀半球面对轴的转动惯量分析先求出转动惯量的数学表达式解法1所求转动惯量，考虑将半球面向坐标面投影，那么投影地域为由于，因此使用极坐标变卦令解法2所求转动惯量是全体球面绕轴的转动惯量的一半

19、，而因此例23打算，其中为介于之间部分的下侧，如图915所示分析此题可以开门见山打算，也可使用两类曲面积分之间的关系或使用高斯公式解法1将曲面分为跟，其中，其在坐标面上的投影地域，取的前侧；，其在坐标面上的投影地域，取的后侧那么令图915，而关于，考虑的下侧，其在坐标面上的投影为，那么有故解法2由两类曲面积分之间的联系可知:，因此，将曲面取下侧，法向量为，因此，那么有，因此解法3弥补，取上侧，由高斯公式得，因此注上述三种解法中，使用高斯公式最庞杂，因此在解题时，选择什么样的方法比较要紧对坐标的曲面积分的打算征询题，其要紧方法有:1开门见山打算:这种方法是将有向曲面分不投影到呼应坐标面此方法屡屡

20、打算量大年夜，但是方法易于操纵；2使用两类曲面积分之间的联系，将对差异坐标的打算转化为对一样坐标的打算，比如解法2，再开门见山打算；3使用高斯公式，将曲面积分化为三重积分例24打算，其中为曲面及立体所围成的空间地域的全体界线的外侧，如图916所示解法1用高斯公式来打算令，那么，图916其中是曲面及立体所围成的空间闭地域解法2用奇偶对称性设在立体及锥面所围成的圆锥体的上侧为，正面为为打算，须将分成跟，前半锥面:，后半锥面:，且它们的法向量相反由于为的偶函数，而积分曲面对于坐标面对称，那么有又由于垂直立体，故，因此同理可得，又由于，而跟的法向量分不与轴正向成锐角、钝角，且二者在面内的投影地域一样，

21、均为，故因此注关于第二类曲面积分的奇偶对称性有以下结果会经常用到:1设曲面对于面对称，记的上方部分为，在连续，那么a假定是关于的奇函数b假定是关于的偶函数2设曲面对于面对称，记的右方部分为，在连续，那么a假定是关于的奇函数b假定是关于的偶函数3设曲面对于面对称，记的前方部分为，在连续，那么a假定是关于的奇函数b假定是关于的偶函数4第二类曲面积分也有轮换对称性这里轮换对称性是指:a被积表达式称心轮换对称性；b积分曲面及其指定侧也存在轮换对称性，这里指在各坐标面上的投影地域一样，且呼应的标志也一样例25打算，其中是由改变抛物面，圆柱面跟坐标立体在第一卦限中所围成曲面的外侧，如图917所示分析关于对

22、坐标的曲面积分征询题，可以考虑采用开门见山的方法打算；也可以考虑用高斯公式来打算，但是，图917在使用高斯公式时要留心条件早提：曲面封闭且倾向指向外侧，被积函数在积分曲面所围的闭地域上存在一阶连续偏导数解法1设在三个坐标面及曲面，上的局部分不为及，那么，由于在立体上的投影不形成地域，因此有而事前，被积函数，因此有及故同理可得，设在三个坐标面上的投影地域分不为并留心到分不取上侧、后侧及左侧，那么有，因此由因此母线平行于轴的柱面，它在坐标立体上的投影是一条曲线四分之一圆弧，因此由定义可知在坐标立体跟上的投影是边长为1的正方形，分不取前侧跟右侧，那么有因此解法2上面的解法显然特不繁琐，由于为封闭曲面

23、，故考虑用高斯公式化为三重积分打算令，那么，由高斯公式得，其中是由所围成的空间闭地域在柱面坐标系下，可以表示为，因此注在打算对坐标的曲面积分时，应当留心：1由于被积函数定义在积分曲面上，因此起首不雅观看是否可以使用曲面方程化简被积函数，同时要不雅观看对哪两个坐标积分，比如，对坐标跟积分时，那么只能将曲面向坐标面投影，而不克不迭向不的坐标面投影，在将对坐标的曲面积分转化为二重积分时，要留心二重积分前的正负号与积分曲面的侧的关系2假定积分曲面表示为显函数后不是单值函数，那么应将曲面分片，使每片曲面的显函数表示为单值函数然后再打算3与迎面积的曲面积分差异，假定积分曲面在某个坐标面上的投影地域的面积为

24、零，那么对这两个坐标的曲面积分的值为零4使用高斯公式打算对坐标的曲面积分时，肯定要称心高斯公式的条件，假定不称心，比如曲面不为封闭曲面时，采用添加有向曲面的方法使之封闭，因此在使用高斯公式打算曲面积分时，也要留心积分曲面的侧5在对坐标的曲面积分中，可将的表达式代入被积表达式，但是使用高斯公式将曲面积分化为三重积分后，在内的点已不再称心的方程，不应再将的表达式代入三重积分的被积表达式例26打算曲面积分，其中为球面的内侧分析由题知为封闭曲面，但的侧是球面的内侧，因此，不克不迭开门见山使用高斯公式打算解由对坐标的曲面积分的性质可知，因此有，其中为球面且取外侧记围成的立体为，由高斯公式得例27打算曲面

25、积分，其中为曲面法向量指向与轴正向夹角为锐角的一侧，如图918所示分析由因此法向量指向与轴正向夹角为锐角的一侧，且不封闭，不克不迭开门见山使用高斯公式，应添加辅助曲面并修改曲面的侧，然后再使用高斯公式图918解起首作辅助曲面，取下侧，跟围成立体为，按照对坐标的曲面积分的性质,其中表示的全体界线曲面，且取外侧由高斯公式可知,使用柱面坐标打算得，留心到在坐标立体上的投影是曲线，不克不迭形成地域，故有，而，因此有注从上面两道例题可以看出，虽然题设所给的曲面既不封闭又取内侧，本身不称心高斯公式的条件，但是可以通过引入辅助曲面的伎俩使其封闭，使用曲面积分的性质调换它的侧，制作条件使称心高斯公式的条件，以

26、便使用高斯公式，因此高斯公式是简化曲面积分打算的要紧货色例28打算，其中为上半球面的下侧，如图919所示解添加辅助曲面，取上侧，那么由对坐标的曲面积分的性质知图919，其中表示由跟围成立体的取外侧的全体界线曲面那么由高斯公式得，由球面坐标得，因此又由于在坐标立体跟上的投影是曲线不克不迭形成地域，故有，因此错歪曲法1由高斯公式得错解分析题设中的仅仅是上半球面的下侧，其本身并非封闭曲面，因此不克不迭开门见山使用高斯公式错歪曲法2添加辅助曲面，取下侧，那么由高斯公式，而，因此错解分析该解法留心到了曲面不是封闭曲面，添加辅助曲面，但是由于取的是的下侧，虽然封闭，但是未构玉成部封闭曲面的外侧，因此也不克

27、不迭开门见山使用高斯公式错歪曲法3添加辅助曲面，取上侧，那么由高斯公式，其中表示由跟围成立体的全体界线曲面的外侧那么由高斯公式得由于因此错解分析该解法由于添加了在曲面取上侧的曲面积分，使称心高斯公式定理的条件，但是在打算三重积分时将曲面方程开门见山代入到三重积分的被积函数中，这是一种稀有的差错在对坐标的曲面积分中，可将的表达式代入被积表达式，但是使用高斯公式将曲面积分化为三重积分后，在内的点已不再称心的方程，千万不克不迭再将的表达式代入三重积分的被积表达式后再停顿打算例29打算，其中，且1为球面的外侧；2为椭球面的外侧解1解法1由于积分曲面与被积函数存在轮换对称性，故，又由于分为上半球面跟下半

28、球面两部分，取上侧，取下侧，且在面上的投影均为:因此解法2使用两类曲面积分之间的联系，将对坐标的曲面积分转化为迎面积的曲面积分设为上任意点，那么过点的倾向余弦为，故有解法3留心到点是曲面上的点，因此有，故将的方程代入积分式，再使用高斯公式注可按照二重积分的几多何意思得为上半球体的体积，即:，故注2由于表示球面的表面积，因此得注3表示球体的体积，故有错歪曲答设是由所围成的空间地域，按照高斯公式错解分析由于及一阶偏导数在处不连续，不称心高斯公式的条件，因此开门见山使用高斯公式打算谁人积分是差错的假定要使用高斯公式打算包含奇点的曲面积分时，需将奇点挖丢掉如上面的2题2如图920所示，由于包含原点，在

29、所围成的地域上不连续，不克不迭开门见山使用高斯公式，设是由所围成的空间地域，在内以原点为中心，作球面，是较小的正数，取其内侧与所围成的闭地域记为，图920在内存在一阶连续的偏导数，由，及，按照高斯公式，得，因此，由1可知:因此例30打算，其中1为上半球面的上侧；2为曲面的上侧；3为曲面的上侧解1此题开门见山打算比较麻烦，留心到点是曲面上的点，故将的方程代入积分中，然后弥补立体:，取下侧，如图921所示，使用高斯公式，那么有图921其中表示由跟所围成的半球体的体积2开门见山打算较繁，考虑使用高斯公式，起首需要弥补立体的下侧，但是此处含有奇点，因此需要弥补立体后再挖丢掉奇点弥补曲面:，取下侧，再弥

30、补曲面:且取下侧，是充分小的正数，设由，跟所围成的空间闭地域记为，如图922所示，设，那么在内存在一阶连续的偏导数，且，图922，按照高斯公式，得，因此显然，由1知，因此=3弥补曲面:，取下侧，以及弥补:，取外侧，是充分小的正数，使得在跟所围的地域的内部，如图923所示由高斯公式可得，而由例291可知，因此图923例31打算曲面积分，其中是连续函数，是立体在第四卦限部分的上侧分析在被积函数中含有未知函数，而按照曾经明白条件不克不迭求出，因此不克不迭开门见山打算积分虽然曾经明白被积函数连续，但不偏导数存在的条件，不克不迭用高斯公式打算积分在此题中，上任意一点的法向量的倾向余弦是常数，化为迎面积的

31、曲面积分可以消去解由于取上侧，故上任意一点的法向量与轴的夹角为锐角，其倾向余弦为，因此表示一边长为的等边三角形的面积例3297研打算曲线积分，其中为曲线，从轴正向看去的倾向是顺时针倾向，如图924所示分析打算三维空间的曲线积分，一般将积分道路用参数方法给出比较便当积分道路在柱面上，故令，那么由得现在应留心的起点与起点所对应的值由题中所给的的倾向知在立体上的投影是沿圆的顺时针倾向故起点对应，起点对应又由于所给曲线积分为闭曲线积分，且落在立体上，故也可用斯托克斯公式将其化为在立体所围成的地域上的曲面积分且为下侧由于被积表达式中的皆为的一次式，而斯托克斯公式中的被积表达式是的导数，即为常数，因此所得出的曲面积分比较庞杂，随便打算解法1的参数方程为，从变卦到，那么图924解法2设在立体上以为界线的曲面为，那么取下侧，故上任意一点的法向量与轴的夹角为钝角，其倾向余弦为由斯托克斯公式，其中为在立体上的投影地域：解法3积分曲线在立体上的投影为，取顺时针倾向又因此由格林公式可得，其中是所围的闭地域：注解法3中由于取顺时针倾向，留心使用格林公式的时候要加负号例33曾经明白流体的速度为，求由立体，跟锥面所围成的立体在第一卦限的部分向外流出的流量通量，并打算，分析这是一道考察通量、散度跟旋度不雅观点的题解由对坐标的曲面积分的物理意思可知，流量为，其中为曲面的外法向量的倾向余弦，因此设，那么=