完整第四章.doc

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1、三、模模范题剖析例1求以下不定积分12剖析运用幂函数的积分公式求积分时，应领先将被积函数中幂函数写成负指数幂或分数指数幂的办法解12例2求剖析将被积函数的平方开展，可化为幂函数的跟解例3求以下不定积分12剖析1将被积函数拆开，用指数函数的积分公式；2分子分母都含有偶数次幂，将其化成一个多项式跟一个真分式的跟，而后即可用公式解12例4求以下不定积分123剖析依照被积函数分子、分母的特点，运用常用的恒等变形，比方：剖析因式、单刀直入拆项、“加零拆项、指数公式跟三角公式等等，将被积函数剖析成多少多项之跟即可求解解123例5求以下不定积分1234剖析当被积函数是三角函数时，常运用一些三角恒等式，将其向

2、全然积分公式表中有的办法转化，这就央求读者要切记全然积分公式表解1234例6求以下不定积分1234567891011剖析这些积分都不现成的公式可套用，需求用第一类换元积分法解1234567891011注用第一类换元积分法凑微分法求不定积分，普通并无奈那么可循，要紧依托经历的积存而任何一个微分运算公式都能够作为凑微分的运算道路因而需求切记全然积分公式，如此凑微分才会有目标上面给出罕见的12种凑微分的积分模范1；2；3；有效于求形如的积分，是天然数4；有效于求形如的积分，是天然数5；有效于求形如的积分，是天然数6；有效于求形如是的积分，是天然数7；8；9；10；11；12；例求以下函数的不定积分：

3、123456剖析在运用第一类换元法求以三角函数为被积函数的积分时，要紧思绪确实是运用三角恒等式把被积函数化为熟知的积分，平日会用到同角的三角恒等式、倍角、半角公式、积化跟差公式等解1被积函数是奇次幂，从被积函数中不离出，并与凑成微分，再运用三角恒等式，而后即可积分2被积函数是偶次幂，全然办法是运用三角恒等式，落低被积函数的幂次3运用积化跟差公式将被积函数化为代数跟的办法4运用三角恒等式及5因为，因而6因为，因而注运用上述办法相似可求以下积分、，请读者自行实现例求以下不定积分：123剖析可充沛运用凑微分公式：；或许换元，令解12解法1,而后用公式，那么解法23解法1解法2解法令，那么有注在计划不

4、定积分时，用差别的办法计划的后果办法能够纷歧样，但实质一样验证积分后果能否准确，只要对积分的后果求导数，假设其导数即是被积函数那么积分的后果是准确的例9求以下不定积分：12剖析在这类庞杂的不定积分的求解进程中需求逐渐凑微分解12例10求剖析假设将积分变形为，那么无奈积分，但假设思索到凑出，将被积函数变形为，再将与联合凑成，那么咨询题即可处置解例11求剖析细心不美不雅看被积函数的分子与分母的办法，可知解例1204研已经清楚，且，那么剖析先求，再求解令，即，从而故，由，得，因而例13 求剖析被积函数为三角函数，可思索用三角恒等式，也可运用全能公式代换解法解法2令，那么解法令，那么，那么例14求剖析

5、被积函数含有根式，普通先办法去丢失落根号，这是第二类换元法最常用的手段之一解设，即，那么例15求剖析被积函数中有开差别次的根式，为了同时去丢失落根号，拔取根指数的最小公倍数解令，那么例16解令，即，那么例17求剖析被积函数中含有根式，可用三角代换消去根式解设，那么注1对于三角代换，在后果化为原积分变量的函数时，经常借助于直角三角形注2在不定积分计划中，为了轻巧起见，普通碰到平方根时总取算术根，而省略负平方根情况的探讨对三角代换，只要把角限度在到，那么不管什么三角函数都取正值，防止了正负号的探讨例18求剖析尽管被积函数中不根式，但不克不及剖析因式，同时候母中含有平方跟，因而能够思索运用三角代换，

6、将原积分转换为三角函数的积分解设，那么例19求剖析被积函数中含有二次根式，但不克不及用凑微分法，故作代换，将被积函数化成三角有理式解令，那么例20求解因为，故可设，注被积函数含有根式而又不克不及用凑微分法时，由可作恰当的三角代换，使其有理化例21求解，令，那么故例22求剖析当有理函数的分母中的多项式的次数大年夜于分子多项式的次数时，可实验用倒代换解令，因而注偶然在理函数的不定积分当分母次数较高时，也可实验采纳倒代换，请看下例例23求解设，那么事先，事先，有一样的后果故注1第二类换元法是经过恰当的变更，将原积分化为对于新变量的函数的积分，从而到达化难为易的后果，与第一类换元法的区不在于视新变量为

7、自变量，而不是两头变量运用第二类换元法的要害是依照被积函数的特点寻寻一个恰当的变量代换注2用第二类换元积分法求不定积分，应留意三个咨询题：1用于代换的表白式在对应的区间内枯燥可导，且导数不为零2换元后的被积函数的原函数存在3求出原函数后确信要将变量回代注3常用的代换有：根式代换、三角代换与倒代换根式代换跟三角代换常用于消去被积函数中的根号，使其有理化，这种代换运用普遍而倒代换的目标是消去或落低被积函数分母中的因子的幂注4常用第二类换元法积分的模范：123，可令或4，可令或5，可令或6当被积函数含偶然，运用配方与代换可化为以上3，4，5三种情况之一7当被积函数分母中含有的高次幂时，可用倒代换例2

8、4求以下不定积分：123456剖析上述积分中的被积函数是反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数中的某两类函数的乘积，合有效分部积分法解1234解法1解法2令，即，那么5解法1解法26解法1从而，那么解法2，而后用分部积分，余下的解答请读者自行实现注在用分部积分法求时要害是将被积表白式恰当分红跟两部分依照分部积分公式，只要当等式右真个比左真个更随意积出时才有意思，即拔取跟要留意如下原那么：1要随意求；2要比随意积出例25求剖析被积函数为三角函数与对数函数的乘积，可采纳分部积分法解例26求剖析被积函数能够当作是多项式函数与对数函数的乘积，可采纳分部积分法解例27求剖析可运用凑微分公式，而

9、后用分部积分；不的思索到被积函数中含有根式，也可用根式代换解法1，令，那么，那么，故解法2令，那么注求不定积分时，偶然每每需求多少多种办法联合运用，才干失落丢失落后果例2801研求剖析被积函数是指数函数跟反三角函数的乘积，可思索用分部积分法解法1解法2先换元，令，再用分部积分法，请读者自行实现余下的解答例29求剖析被积函数含有三角函数的奇次幂，每每可剖析成奇次幂跟偶次幂的乘积，而后凑微分，再用分部积分法解，从而注用分部积分法求不定积分时，偶然会呈现与本来一样的积分，即呈现轮回的情况，这时只要求移项即可失落丢失落后果例30求以下不定积分：12解12注将原积分拆项后，对此中一项分部积分以对消另一项

10、，或对拆开的两项各自分部积分后以对消未积出的部分，这也是求不定积分常用的技能之一例31求剖析这是合有效分部积分法的积分模范，延续分部积分，直到呈现轮回为止解法1运用分部积分公式，那么有，因而解法令，那么=，因而例32求，此中为天然数剖析这是合有效分部积分法的积分模范解，即为所求递推公式而注1在重复运用分部积分法的进程中，不要对谐跟两个函数的“位置，否那么不只不会发生轮回，反而会一来一往，恢规复状，毫无所得注2分部积分法罕见的三种沾染：1逐渐化简积分办法；2发生轮回；3树破递推公式例33求积分剖析计划有理函数的积分可分为两步进展，第一步：用待定系数法或赋值法将有理分式化为局部分式之跟；第二步：对

11、各局部分式分不进展积分解用待定系数法将化为局部分式之跟设，用乘上式的两头得，两头全然上二次多项式，它们同次幂的系数相称，即，这是对于，的线性方程组，解之得，因为用待定系数法求，的值计划量大年夜，且易犯错，上面用赋值法求，因为等式是恒等式，故可给以为任何值令，可得异样，令得，令，得，因而例34求解是三次多项式，剖析因式设，即，从而，解得，因而例35求解因为，因而例36求解设，那么有，比拟双方同次幂的系数，解得，从而例37求剖析是假分式，先化为多项式与真分式之跟，再将真分式剖析成局部分式之跟解因为，那么例38求解令，那么例39求剖析被积函数是有理真分式，假设按有理函数的积分法来处置，那么要确定，比

12、拟费事依照被积函数的特点：分母是的一次因式，但幂次较高，而分子是的二次幂，能够思索用以下多少多种办法求解解法1令，那么解法2解法3用分部积分法注形如的与均为多项式有理函数的积分要害是将有理真分式剖析成局部分式之跟，而局部分式都有详细的积分办法，对于假分式那么要化为真分式与多项式之跟例40求剖析这是在理函数的积分，先要去丢失落根号化为有理函数的积分，分子分母有理化是常用去根号的办法之一解例41求解法1解法2令，余下的请读者自行实现例42求剖析被积函数是三角有理函数，可用全能公式将它化为有理函数解令，那么注尽管全能代换公式总能求出积分，但对于详细的三角有理函数的积分不必定是最轻巧的办法平日要依照被

13、积函数的特点，采纳三角公式简化积分例43求解法1令，那么解法2注可化为有理函数的积分要紧央求纯熟把持如下两类：第一类是三角有理函数的积分，即可用全能代换将其化为的有理函数的积分第二类是被积函数的分子或分母中带有根式而不易积出的不定积分对于这类不定积分，可采纳恰当的变量代换去丢失落根号，将被积函数化为有理函数的积分常用的变量代换及有效题型可参考后面引见过的第二类换元法例44求剖析被积函数实际上是一个分段延续函数，它的原函数确信为延续函数，可先分不求出各区间段上的不定积分，再由原函数的延续性断定各积分常数之间的关联解因为，设为的原函数，那么，此中，均为常数，因为延续，因而，因而，记，那么注对于一些

14、被积函数中含有相对值标记的不定积分咨询题，也能够模仿上述办法处置例45求解事先，事先，因为函数的原函数在上每一点都延续，因而，即，记，那么错曲解答事先，事先，故错解剖析函数的不定积分中只能含有一个恣意常数，这里呈现了两个，因而是过失的幻想上，被积函数在上延续，故在上有原函数，且原函数在上每一点可导，从而延续可据此求出恣意常数与的关联，使的不定积分中只含有一个恣意常数注分段函数的原函数的求法：第一步，揣摸分段函数能否有原函数假设分段函数的分界点是函数的第一类延续点，那么在包括该点的区间内，原函数不存在假设分界点是函数的延续点，那么在包括该点的区间内原函数存在第二步，假设分段函数有原函数，先求出函

15、数在各分段照应区间内的原函数，再依照原函数延续的央求，断定各段上的积分常数，以及各段上积分常数之间的关联例46求以下不定积分：1234解1留意到及，可将本来的积分拆为两项，而后积分，即2被积函数较为庞杂，单刀直入凑微分或分部积分都比拟艰苦，无妨将其拆为两项后再不美不雅看34当分母是的办法时，常将分子的改写成，而后拆项，使分母中跟的幂次逐渐落低直到可运用全然积分公式为止注将被积函数拆项，把积分变为多少多个较庞杂的积分，是求不定积分常用的技能之一例47求解思索第二类换元积分法与分部积分法，令，那么，而故又，从而，因而例48求解因为，因而可设，即，比拟系数得，解之得，故例49设是的原函数，且事先有，又，求剖析运用原函数的界说，联合已经清楚前提先求出，而后求其导数即为所求解因为，因而，双方积分得，即，由得，因而，从而