最新05 第五节二阶线性微分方程解的结构.doc

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1、第五节二阶线性微分方程解的构造散布图示二阶线性微分方程的观点二阶线性微分方程的解的定理定理1函数的线性相干与线性有关定理2定理3定理4定理5例1解线性微分方程的落阶法例2常数变易法例3线性微分方程的解法小结例4内容小结讲堂训练习题75前往内容要点一、二阶线性微分方程解的构造二阶线性微分方程的普通方式是，(5.1)此中、及是自变量的曾经知道函数，函数称为方程(5.1)的自在项.事先,方程(5.1)成为，(5.2)那个方程称为二阶齐次线性微分方程，响应地，方程(5.1)称为二阶非齐次线性微分方程.定理1假如函数与是方程(5.2)的两个解,那么(5.3)也是方程(5.2)的解，此中是恣意常数.定理2

2、假如与是方程(5.2)的两个线性有关的特解，那么确实是方程(5.2)的通解，此中是恣意常数.定理3设是方程(5.1)的一个特解，而是其对应的齐次方程(5.2)的通解，那么(5.4)确实是二阶非齐次线性微分方程(5.1)的通解.定理4设与分不是方程与的特解，那么是方程(5.5)的特解.定理5设是方程(5.6)的解，此中为实值函数，为纯虚数.那么与分不是方程与的解.二、二阶变系数线性微分方程的一些解法关于变系数线性方程，请求其解普通长短常艰苦的.这里咱们引见处置这类方程的两种办法.一种是应用变量交换使方程落阶落阶法；另一种是在求出对应齐次方程的通解后，经过常数变易的办法来求得非齐次线性方程的通解常

3、数变易法.关于二阶齐次线性方程,假如曾经知道其一个非零特解,作变量交换,就可将其落为一阶齐次线性方程,从而求得通解.并有以下刘维尔公式三、常数变易法在求一阶非齐次线性方程的通解时,咱们曾对其对应的齐次方程的通解,应用常数变易法求得非齐次方程的通解.这种办法也可用于二阶非齐次线性方程的求解.设有二阶非齐次线性方程(5.10)此中在某区间上延续,假如其对应的齐次方程的通解曾经求得,那么也可经过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解.设非齐次方程(5.10)具无形如(5.11)的特解,此中是两个待定函数,将上式代入原方程从而断定出这两个待定函数.例题选讲例1曾经知道是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解

4、：1求此方程的通解；2写出此微分方程；3求此微分方程满意的特解.解(1)由题设知,是响应齐次线方程的两个线性有关的解,且长短齐次线性方程的一个特解，故所求方程的通解为，此中(2)因因此从这两个式子中消去即所求方程为(3)在,代入初始前提得从而所求特解为落阶法例2E01曾经知道是方程的一个解,试求方程的通解.解作变更那么有代入题设方程，并留意到是题设方程的解,有将代入，并收拾,得故所求通解为此中为恣意常数.从而失掉对应齐次方程的通解为求非齐次方程的一个解将换成待定函数设依照常数变易法,满意以下方程组积分并取其一个原函数得因此，题设原方程的一个特解为从而题设方程的通解为常数变易法例3E02求方程的通解.解先求对应的齐次方程的通解.由即从而失掉对应齐次方程的通解为求非齐次方程的一个解将换成待定函数设那么依照常数变易法，满意以下方程组积分并取其一个原函数得因此，题设原方程得一个特解为从而题设方程的通解为例4E03求方程的通解.解由于易见题设方程对应的齐次方程的一特解为由刘维尔公式求出该方程的另一特解从而对应齐次方程的通解为可设题设方程的一个特解为由常数变易法,满意以下方程组积分并取其一个原函数得因此，题设方程的通解为讲堂训练1.以下函数组在其界说域内哪些是线性有关的?2.给出n阶线性微分方程的n个解,咨询是否写出那个微分方程及其通解?3.曾经知道是齐次方程的解,求非齐次方程的通解.