高中数学题库三角函数.doc

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1、解三角形、三角恒等变换习题课例3：（2009福建卷理）如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinx(A0, 0) x0,4的图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP=120（I）求A , 的值和M，P两点间的距离；（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？ 本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，解法一（）依题意，有，又，。当 是， 又（）在MNP中M

2、NP=120，MP=5，设PMN=，则060由正弦定理得,故020. 在中，则边长的取值范围是_. 21. 在中，且角的角平分线将分成两段，且，若，则 余弦定理：1. 在ABC中，已知BAC=，AC=b，AB=c，如图建立直角坐标系，利用两点之间的距离公式计算BC2，并由此证明余弦定理. 2. 用正弦定理证明余弦定理. 3. 已知的三边分别为，试求中最大角的度数. 变式：已知的三边分别为，求中最大角的度数. 解读：已知三角形的三边，利用余弦定理可解三角形. 4. 在中，已知，求和. 解读：已知三角形的两边及其夹角，利用余弦定理可解三角形. 5. 在中，是的面积，若，求. 或解读：已知三角形的三

3、边，利用余弦定理可解三角形. 6. 余弦定理问题研究四则：探究1：用余弦定理证明射影定理；探究2：在中，当为锐角时，；当为钝角时，；当为直角时，（进而思考：逆命题成立吗？）解读：要判断角是锐角还是钝角，如何验证？变式：设为钝角三角形的三边，求实数的取值范围. 探究3：在中，若已知，求角的度数.探究4：在中，已知，求角的度数. 探究1：判断三角形的形状例1. 在中，已知，试判断该三角形的形状.例2. 在中，已知，试判断该三角形的形状.例3. 在中，若，试判断该三角形的形状. 探究2：正余弦定理的综合应用例1：在中，若，求.例2：在中，求：（1）的值；（2）求的值. 例3：在中，内角所对的边长分别

4、是.（1）若，且的面积，求的值；（2）若，试判断的形状.（注意讨论）探究3：中线长公式例：已知是种边上的中线，求证：分析：等式的结构，联想余弦定理，寻找证明的方法. 变式：用余弦定理证明：平行四边形两条对角线平方的和等于四边平方的和. 练习1：在中，求边上的中线长. 练习2：（解三角形），边上的中线长为2.探究4：圆内接四边形问题例：如图，已知圆内接四边形ABCD中，AB=2，BC=6，AD=CD=4,如何求四边形ABCD的面积？探究4：应用问题例1：如图，我炮兵阵地位于A处，两观测所分别设于C,D已知ACD为边长等于a的正三角形，当目标出现于B时，测得CDB=45，BCD=75，试求炮击目标

5、的距离AB. 例2：如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知，于A处测得水深，于B处测得水深，于C处测得水深，求DEF的余弦值。 解：作交BE于N，交CF于M21世纪教育网 ， ， 在中，由余弦定理，. 探究5：海伦公式与秦九韶三斜求积公式例1：已知三角形的三边为，设，求证：（1）三角形的面积；能否对该命题做推广？设圆内接四边形的四边长分别为，并设，则该四边形的面积为；（2）为三角形的内切圆的半径，则；（3）把边上的高分别记为，则 ； ；例2：求证：秦九韶求积公式：.练习：1. 在四边形中，求的长. 2. 已知钝角三角形的三边分别是，求实数的取值范围. 3

6、. 在中，角所对的边分别是，求证：（两种方法，归纳边角互化的策略）4. 在中，角所对的边分别是，当时，角的取值范围是_.5. 在中，已知，且，求的长. 6. 在四边形中，已知，求的长. 7. 在中，已知三边的长为连续正整数，最大的角为钝角.（1）求最大的角的余弦值； （2）求以此最大的角为内角，求此角两边之和为4的平行四边形的最大面积. 8. 在中，已知，且，证明：为等边三角形. 9. 在中，已知，则此三角形的形状为_.等腰或直角10. 在中，外接圆半径为，则11. 若的面积为30，内角所对的边分别是，且，则的值为_. 5 第五课时：综合应用（1）解三角形应用题的一般步骤是什么？（数学建模的思

7、想）（1）分析：理解题意，分清已知条件与未知条件，画出示意图；（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理和余弦定理有顺序的解三角形，求得实际问题的解；（4）检验：检验上述所求的三角形是否具有实际意义，从而得出实际问题的解.例1. （航行问题）如图，有两条相交成60角的直路XX，YY，交点是O，甲、乙分别在OX，OY上，起初甲离O点3，乙离O点1后来甲沿XX的方向，乙沿YY的方向，同时用4的速度步行乙甲O Y X 60 X Y （1）起初两人的距离是多少？（2）t 后两人的距离是多少？（3）什么时候两人的距

8、离最短？（1）由余弦定理，得起初两人的距离为 （2）设t 后两人的距离为d(t)，则当时，此时当时，此时所以 （3）当（）时，两人的距离最短例2. （航海问题）如图所示，在一条海防警戒线上的点、处各有一个水声监测点，、两点到点的距离分别为千米和千米某时刻，收到发自静止目标的一个声波信号，8秒后、同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是千米/秒（1）设到的距离为千米，用表示，到的距离，并求的值；（2）求到海防警戒线的距离解：（1）Z|依题意，有，. 在PAB中，AB=20来 .同理，在PAB中，AC=50 ， 解之，得. (2)作PD在ADP中，由 得 千米 答：静止目标到海防警戒线的距

9、离为千米.例4：（航行问题）如图，港口A在港口O的正东120海里处，小岛B在港口O的北偏东的方向，且在港口A北偏西的方向上一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东的OD方向以20海里/小时的速度驶离港口O一艘给养快艇从港口A以60海里/小时的速度驶向小岛B，在B岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船已知两船同时出发，补给装船时间为1小时（1）求给养快艇从港口A到小岛B的航行时间；OAB东北CD（2）给养快艇驶离港口A后，最少经过多少时间能和科考船相遇？【解】（1）由题意知，在OAB中， OA=120， 于是，而快艇的速度为60海里/小时， 所以快艇从港口A到小岛B的航行时间为1小时 5分 （2）由

10、（1）知，给养快艇从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合为使航行的时间最少，快艇从小岛B驶离后必须按直线方向航行，设t小时后恰与科考船在C处相遇在OAB中，可计算得，而在OCB中，由余弦定理，得，即，亦即，解得或（舍去）故即给养快艇驶离港口A后，最少经过3小时能和科考船相遇 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.O北东Oy

11、线岸OxOr(t)P海在时刻：（1）台风中心P（）的坐标为此时台风侵袭的区域是其中若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.类型二：三角形中的几何计算例1在路边安装路灯，灯柱与地面垂直，与灯柱所在平面与道路垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽米，设灯柱高（米），（）（1）求灯柱的高（用表示）；（2）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值 例2如图，某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向东北方OB，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求

12、市中心O到AB的距离为10km，设（1）试求AB关于角的函数关系式；（2）问把A、B分别设在公路上离市中心O多远处，才能使AB最短，并求其最短距离解：由题意， 在中，由正弦定理得，即在中， 所以 （2） 因为，所以当时有AB的最小值 此时， 答：A、B都设在公路上离市中心km处，才能使AB最短，其最短距离是km例3半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，为半圆上的任意一点，以为一边作等边三角形，问点在什么位置时，四边形的面积最大？变式1：为平面上四点，其中为定点，且，动点满足，设和的面积分别为，试求：（1）求的最大值； （设角A为）（2）当取最大值时，的形状如何？等腰三角形变式2：解：由余弦定理

13、得：整理得：，令，则，当且仅当，即时等号成立.例4：一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动.如图所示，已知, ， 若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？练习1：在地面上某处，测得塔顶的仰角为，由此处向塔走30m，测得塔顶的仰角为，再向塔走，测得塔顶仰角为试求角的度数练习2：在中，已知，是边上一点，求的长.练习3：外轮除特许外，不得进入离我国海岸线d 海里以内的区域，如图，设A,B是相距s海里的两个观察站，一外轮在P点，测得BAP=，ABP=问：，满足什么关系时就该向外轮发出警告

14、，令其退出海域？练习4：把一根长为的木条锯成两段，分别作钝角三角形的两边和，且，如何锯断木条，才能使第三条边最短？研究：1. 是否存在一个三角形具有以下性质：（1）三边是连续的三个自然数？（2）最大角是最小角的2倍？ABCD250500某观测站C在城A的南偏西25的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南偏东50，在C处测得距C为km的公路上B处，有一人正沿公路向A城走去，走了12 km后，到达D处，此时C、D间距离为12 km，问这人还需走多少千米到达A城? 如图，某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号.我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔AP北C北船在方位角为，距离为10海里的C处，并测得该渔船正

15、沿方位角为的方向，以30海里/时的速度向小岛P靠拢我海军舰艇立即以海里/时的速度前去营救求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间（注：方位角是从指北方向顺时针转到目标方向线的角）解：设舰艇收到信号后小时在B处靠拢渔船，则， 又， 由余弦定理，得，即， 化简，得， 5分解得（负值舍去） 由正弦定理，得 所以， 14分 所以方位角为+=1. 在中，已知，则2. 的外接圆的半径为1，圆心为O，且，且，则3. 在中，三边长分别为，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为_.4. 已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值是_.非常低导数法是解决高次函数或复杂函数的强有力的工具GEABCF图4已知等腰

16、三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值是 如图，ABC中，E，F分别为底BC与腰AC的中点，BF与AE交于点G，则G为ABC的重心，于是BG=CG=，且AE=3GE所以，当且仅当BGC=，即BGGC时，ABC的面积取最大值2设函数 （1）求的最小正周期和值域； （2）在锐角中，角的对边分别为，若且，求和解：（1）= 所以的最小正周期为，值域为 （2）由，得为锐角， ， 在ABC中，由正弦定理得 已知向量，其中、为的内角.（1）求角的大小；（2）若，成等差数列，且，求的长.在中，角所对的对边长分别为；（1）设向量，向量，向量，若，求的值；（2）已知，且，求如图，圆O为单位圆， 为圆O上的

17、定点， 点为圆O上的动点M第一次由点A按逆时针方向运动到某定点，所形成的角为；M第二次由点A按逆时针方向运动到某定点，所形成的角为(1) 当点M第一次由点A按逆时针方向运动到定点C， 第二次由点A按逆时针方向运动到定点D时，求的值；（2）在中是否存在两个点，能使角，同时满足且? 若不存在， 说明理由； 若存在， 找出定点并证明解（）当动点M第一次由点A按逆时针方向运动到定点时，由已知条件可知，所形成的角为，由三角函数的定义可得 2分当动点M第二次由点A按逆时针方向运动到定点时， 由已知条件可知，所形成的角为， 由三角函数的定义可得 4分所以 ； 6分（）动点M第一次由点A按逆时针方向运动到定点

18、， 第二次由点A按逆时针方向运动到定点时， 能使角同时满足； 8分当动点M第一次由点A按逆时针方向运动到定点时， 由已知条件可知，所形成的角为， 由三角函数的定义可得 所以 ； 10分当动点M第二次由点A按逆时针方向运动到定点时， 由已知条件可知，所形成的角为， 由三角函数的定义可得 ，所以 所以 ， 12分 14分 如图，直角三角形中，1，点分别在边和上(点和点不重合)，将沿翻折，变为，使顶点落在边上(点和点不重合).设(1) 用表示线段的长度，并写出的取值范围；(2) 求线段长度的最小值解：（1）设，则 在RtMB中， 源:学.科.网Z.X.X.K 点M在线段AB上，M点和B点不重合，点和

19、B点不重合， （2）在AMN中，ANM,令， 当且仅当，时，有最大值， 时，有最小值 在锐角中，角、的对边分别为、，且满足（1）求角的大小；（2）设，试求的取值范围在中，三个内角所对的边分别是，已知，. （1）若,求外接圆的半径；（2）若边上的中线长为，求的面积. 解：（1），. 2分 又， 外接圆的半径. 4分 （2）设BC边中点为O，在中， ，同理，8分 ，. 解得. 10分，. . 14分18. 如图，设D、E是ABC的边AB上的两点，已知：，AC14，AD7，AB28，CE12（1）若，且,求（2）若，且，试探究的数量关系式（3）在（2）的结论下，求BC解：（1） .（2）由条件可化为

20、 . 左边.右边. 又，故. （3）由（2）得，ACDABCABCACDBCE CEBE12AEABBE16 cosA. BC2AC2AB22ACABcosA14228221428729BC21（苏锡常镇四市高三二模）在ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足A = B + 30（1）若c = 1，求B（2）若，求的值（2010年江苏高考变式）在ABC中，角的对边长分别是，若，则 （第19题）如图，为相距50海里的两个小岛上的观测站，位于站北偏东方向某船位于站正东方向40海里的点处，并正沿一定的方向匀速航行，3小时20分钟后，在站测得该船位于北偏西且与站相距30海里的处，求该船的航

21、行速度【解】连，在中，由余弦定理，所以 4分由正弦定理，得 6分所以所以 10分在中，所以 13分设该船的航行速度为，则 15分答：该船的航行速度为海里/小时 16分（2014南京三模）将函数f(x)sin(3x)的图象向右平移个单位长度，得到函数yg(x)的图象，则函数yg(x)在，上的最小值为 （2014南京三模）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1（1）求B；（2）若cos(C)，求sinA的值解：(1)由1及正弦定理，得1，2分所以，即，则因为在ABC中，sinA0，sinC0，所以cosB 5分因为B(0，)，所以B 7分（2）因为0C，所以C因为cos(C)，所以

22、sin(C) 10分所以sinAsin(BC)sin(C)sin(C) 12分sin(C)coscos(C)sin 14分某地一天6时至20时的温度变化近似满足函数，其中（时）表示时间，表示温度，设温度不低于时某人可以进行室外活动，则此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间约为_小时. 8已知是的内角的对边，其中，若，为边上一点，且，求：（1）；（2）.15（本小题满分14分）如图，在ABC中，|=3，|=5，|=7(第15题图)BACD(1)求C的大小；(2)设D为AB的中点，求CD的长解：(1)依题意BC=3，CA=5，AB=71分由余弦定理，得= 4分因0C，6分故C=8分(2)由余

23、弦定理，得11分在ADC中，AD=，CD2=AC2+AD2-2ACADcosA=，于是CD=14分第(2)另解：因，故=第(2)问，可改为求C的平分线CD的长这时可用等面积法，即角终边上的点与关于轴对称，角终边上的点与关于对称,则的值为_. 已知 ，试确定等式成立的角的集合. 已知是关于的方程的两个根.(1) 求的值; (2) 求的值.已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称，当时，函数，其图象如图所示.xyo-1(1)求函数在的表达式；(2)求方程的解. 设a，b(4sinx，cosxsinx)，f(x)ab.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知常数0，若yf(x)在区间上是增函数，求的取值范围；(3)设集合A，Bx|f(x)m|2，若AB，求实数m的取值范围1. 已知3sin2+2sin2-2sin=0，则y=sin2+sin2的最大值为_2. 在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且（）求角A；（）若m，n，试求|mn|的最小值解：（）由正弦定理得，即，（）mn ，|mn|，从而当1，即时，|mn|取得最小值所以，|mn|ABCDBBB（第12题） 如图，在矩形ABCD中，AB = 2，AD = 1，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转60 后得到矩形，则点D 到直线AB的距离是 （课本中的问题）