高中数学7.2一元二次不等式及其解法.doc

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1、7.2一元二次不等式及其解法2014高考会这样考1.考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题；2.会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型；3.以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围 问题复习备考要这样做1.结合二次函数的图象，理解“三个二次”的关系，掌握二次不等式的解法；2.理解简单的分式不等式、高次不等式的解法，和函数单调性结合解一些指数不等式、对数不等式1一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2bxc0 (a0)或ax2bxc0)(2)求出相应的一元二次方程的根. (3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集2一元

2、二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xx1Rax2bxc0)的解集x|x1 xx2难点正本疑点清源1一元二次不等式的解集及解集的确定一元二次不等式ax2bxc0(或0)的形式，其对应的方程ax2bxc0有两个不等实根x1，x2(x10)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集2解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏1不等式x21的解集为_答案x|1x1解析x21，

3、则1x1，不等式的解集为x|1x0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为_答案(，)(，)解析由题意，知441(k21)2，k或k.4(2012重庆改编)不等式0的解集为_答案解析0等价于不等式组或解得x1，解得x，原不等式的解集为.5若不等式ax2bx20的解集为x|2x4的解集为x|xb，(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2(acb)xbc4的解集为x|xb，所以x11与x2b是方程ax23x20的两个实数根，b1且a0.由根与系数的关系，得解得(2)不等式ax2(acb)xbc0，即x2(2c)x2c0，即(x2)(xc)2时，不等式(x2)(xc)0的解集为x|2xc；当c2时，

4、不等式(x2)(xc)0的解集为x|cx2；当c2时，不等式(x2)(xc)2时，不等式ax2(acb)xbc0的解集为x|2xc；当c2时，不等式ax2(acb)xbc0的解集为x|cx2；当c2时，不等式ax2(acb)xbc0的解集为x|2x0的解集为_答案x|3x0的解集为x|3x0时，原不等式化为(x1)0x或x1.当a1，即a2时，原不等式等价于1x；当1，即a2时，原不等式等价于x1；当2，原不等式等价于x1.综上所述，当a2时，原不等式的解集为；当a2时，原不等式的解集为1；当2a0时，原不等式的解集为(，1.题型二一元二次不等式恒成立问题例2已知不等式ax24xa12x2对一

5、切实数x恒成立，求实数a的取值范围思维启迪：化为标准形式ax2bxc0后分a0与a0讨论当a0时，有解原不等式等价于(a2)x24xa10对一切实数恒成立，显然a2时，解集不是R，因此a2，从而有整理，得所以所以a2.故a的取值范围是(2，)探究提高不等式ax2bxc0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a0时，b0，c0；当a0时，不等式ax2bxc0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a0时，b0，c0；当a0时， 当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_答案(，5解析方法一当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立m在x(1,2)上恒成立，设(x)，(x)(5，4)

6、，故m5.方法二设f(x)x2mx4，因为当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，所以即解得m5.题型三一元二次不等式的实际应用例3某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x (0x0，解此不等式即可得x的范围解(1)由题意得y12(10.75x)10(1x)10 000 (10.6x) (0x1)，整理得y6 000x22 000 x20 000(0x1)(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有即解得0x，所以投入成本增加的比例应在范围内探究

7、提高不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键 某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是_答案20解析由题意得，3 860500500(1x%)500(1x%)227 000，化简得(x%)23x%0.640，解得x%0.2，或x%3.2(舍去)x20，即x的最小值为20.解与一元二次不等式

8、有关的恒成立问题典例：(14分)设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围审题视角(1)对于xR，f(x)0恒成立，可转化为函数f(x)的图象总是在x轴下方，可讨论m的取值，利用判别式求解(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单规范解答解(1)要使mx2mx10恒成立，2分若m0，显然10；若m0，则4m0.4分所以4m0.6分(2)要使f(x)m5在1,3上恒成立，即m2m

9、60时，g(x)在1,3上是增函数，8分 所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，则0m；10分当m0时，60恒成立；11分当m0时，g(x)在1,3上是减函数，12分所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0.综上所述：m的取值范围是m|m0，又因为m(x2x1)60，所以m.10分因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可12分所以，m的取值范围是.14分对于给定区间上的不等式恒成立问题，一般可根据以下几步求解：第一步：整理不等式(或分离参数)；第二步：构造函数g(x)；第三步：求函数g(x)在给定区间上的最大值或最小值；第四步：根据最值构造不等式求参数；第五步：反思回顾

10、，查看关键点，易错点，完善解题步骤温馨提醒1.与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最值，也可通过分离参数，再求最值2解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是变量；求谁的范围，谁就是参数3对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方4本题易错点：忽略对m0的讨论这是由思维定势所造成的.方法与技巧1“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a0时的情形2f(x)0的解集即为函数yf(x)的图象在x轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结

11、合思想3简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解失误与防范1对于不等式ax2bxc0，求解时不要忘记讨论a0时的情形2当0 (a0)的解集为R还是，要注意区别3含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1不等式0的解集为_答案x|2x3解析不等式0可转化为(x2)(x3)0，解得2x3.2已知不等式ax2bx10的解集是，则不等式x2bxa0的解集是_答案(2,3)解析由题意知，是方程ax2bx10的根，所以由根与系数的关系得，.解得a6，b5，不等式x2bxa0即为x25x60，解集为(

12、2,3)3若集合Ax|ax2ax10，则实数a的值的集合是_答案0,4解析由题意知a0时，满足条件a0时，由得0a4，所以0a4.4已知函数f(x)ax2bxc，不等式f(x)0的解集为x|x1，则函数yf(x)的图象可以为_(填序号)答案解析由f(x)0的解集为x|x1知a0，yf(x)的图象与x轴交点为(3,0)，(1,0)，f(x)图象开口向下，与x轴交点为(3,0)，(1,0)5已知关于x的不等式0的解集是(，1)，则a_.答案2解析由于不等式0的解集是_答案x|3x3解析不等式可化为0，即(x3)(x3)(x2)0，利用数轴穿根法可知，不等式的解集为x|3x37若关于x的不等式ax2

13、6xa20的解集是(1，m)，则m_.答案2解析根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax26xa20的一个根，即a2a60，解得a2或a3，当a2时，不等式ax26xa20的解集是(1,2)，符合要求；当a3时，不等式ax26xa2a2 (aR)的解集解原不等式可化为(3xa)(4xa)0.当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为x|xR且x0；当a0时，不等式的解集为x|x9(14分)某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件若售价降低x成(1成10%)，售出商品数量就增加x成要求售价不能低于成本价(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)

14、，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围解(1)依题意，y100100.又售价不能低于成本价，所以100800.所以yf(x)40(10x)(254x)，定义域为x0,2(2)由题意得40(10x)(254x)10 260，化简得8x230x130.解得x.所以x的取值范围是.B组专项能力提升(时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共30分)1不等式ax2bxc0的解集为x|1x2ax的解集为_答案(0,3)解析由题意知a2ax，即为a(x21)a(x1)2a2ax，x23x0，0x0对一切实数xR恒成立，则关于t的不等式at22t30

15、对一切实数xR恒成立，则(2a)24a0，即a2a0，解得0a1，所以不等式at22t30，解得t1.3若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是_答案4，)解析设f(x)x24x(1a)，根据已知可转化为存在x01,3使f(x0)0.易知函数f(x)在区间1,3上为增函数，故只需f(1)4a0即可，解得a4.4已知f(x)则不等式x(x1)f(x1)3的解集是_答案x|x3解析f(x1)，x(x1)f(x1)3等价于或，解得3x1或x1，即x3.5设关于x的不等式x2x2nx (nN*)的解集中整数的个数为an，数列an的前n项和为Sn，则S100的值为_答案10 100解析由不等式x2

16、x0；(2)若不等式f(x)0的解集为(1,3)，求实数a，b的值解(1)f(1)0，3a(6a)b0，即a26a3b0，即b6时，方程a26a3b0有两根a13，a23，不等式的解集为(3，3)综上所述：当b6时，原不等式的解集为；当b6时，原不等式的解集为(3，3)(2)由f(x)0，得3x2a(6a)xb0，即3x2a(6a)xb0)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民人均年收入为3 000a元(a0且为常数)(1)在建立加工企业后，要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入，求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作，才能使这100万农民的人均年收入达到最大？解(1)据题意，(100x)3 000(12x%)1003 000，即x250x0，解得0x50.又x0，故x的取值范围是(0,50(2)设这100万农民的人均年收入为y元，则yx25(a1)23 000375(a1)2(0x50)若025(a1)50，即050，即a1，则当x50时，y取最大值所以当01时，安排50万人进入加工企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大