高中数学 第三章第2节抛物线知识精讲 理 北师大版选修2-1.doc

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1、高二数学选修21 第三章 第2节 抛物线北师大版（理）【本讲教育信息】一、教学内容选修21 抛物线的标准方程及其几何性质二、教学目标1、掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程的四种形式及其几何性质，并能熟练地应用定义、几何性质解决抛物线问题。2、方程的数学思想、函数的数学思想、等价转化的数学思想、数与形结合的思想及待定系数法、定义法等数学思想方法的应用。三、知识要点分析1、抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线L（L不过F点）的距离相等的点的集合叫抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线。 2、抛物线的标准方程形式： （p0） （p0） （p0） （p0）P：称为焦准距（焦点到

2、准线的距离）3、抛物线的几何性质：对称性，范围，顶点，离心率，（以为例）4、抛物线的通径：过抛物线焦点F且垂直于对称轴的直线，与抛物线相交于P1、P2两点，则两交点之间的距离就是抛物线的通径，长度是2p。5、有关的重要结论：设过抛物线的焦点的直线的倾斜角是，与抛物线交于A（。则有下列结论（1）|AB|=，|AB|=，（显然当时，|AB|最小。最小值是2p，此时|AB|是抛物线的通径。）（2） （3） （4）（定值）（5）以|AB|为直径的圆与准线相切。【典型例题】考点一：考查求抛物线的标准方程例1、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（m，3）到焦点F的距离是5，求抛物线的方程

3、、m的值、准线方程。【思路分析】因顶点在原点，对称轴是y轴，点M（m，3）位于第三、四象限。故可设抛物线方程是设所求的抛物线方程为，则焦点F在抛物线上，且|MF|=5，故抛物线的方程为，准线方程为y=2。【说明】此解法用待定系数法求p的值确定抛物线的方程。例2、设过P（2，4），倾斜角为的直线L与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的顶点在原点，以x轴为对称轴，若|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，求抛物线C的标准方程。【思路分析】由已知得：抛物线的开口方向不定，故可设抛物线方程为直线L的方程为y=x+2.利用|PA|，|AB|，|PB|成等比数列转化为P，A，B三点纵坐标之间的关系。由此关系

4、求a的值。解：设A由已知得L：y=x+2（#），由|PA|，|AB|，|PB|共线且成等比数列得：成等比数列即有：（*）把且满足（#）故：a=1，即所求的抛物线C的标准方程是考点二：考查抛物线定义的应用例3、已知抛物线的焦点是F，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，|FA|=m，|FB|=n，求证：【思路分析】设，由抛物线定义得：，由AB的直线方程与抛物线方程组成方程组利用根与系数关系可证证明：（1）当AB垂直于x轴时，此时m=n=p，结论成立。（2）当AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率是k，则AB：=0故由抛物线定义得：，故。【说明】在本题证明的过程中不要忽视AB的倾斜角为90（即斜率不

5、存在的情形）例4、长度为2的线段AB的两端点在抛物线上移动，求AB中点到x轴距离的最小值。【思路分析】解法一：要求AB中点到x轴距离的最小值，只要求AB中点纵坐标的最小值，设A（，B（故AB中点纵坐标，利用|AB|=2及不等式有关性质建立关于的不等式。解法二：利用抛物线定义：AB中点M到x轴距离的最小值就是M点到准线距离的最小值减去，利用平面几何定理（梯形中位线性质）及可求。解法一：设A（，B（则AB中点纵坐标由|AB|=2即=当且仅当的解法二：分别过A，B，M（AB中点）作准线L：y=的垂线，垂足分别是，则|是梯形的中位线，即由抛物线定义知：故：即M点到x轴距离的最小值是【说明】比较两种不同

6、的解法知：巧用抛物线的定义解决问题更加简洁明了，在解决抛物线的有关问题时，要时时关注其定义的应用。考点三：抛物线在实际问题中的应用例5、某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，有一货船欲过此桥孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部分中央船体高5米，宽16米，且该货船在现在的状态下还能多装1000吨货物，但每装150吨货物，吃水线就要上升0.04米。若不考虑水下深度，问该货船在现在的状态下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？【思路分析】根据已知条件建立如图所示的坐标系。 由A（10，2）确定抛物线的方程。由装1000吨

7、货物计算吃水线上升的距离，从而计算此时船体的高=5吃水线上升的距离，然后与C点到水面的距离比较。解：建立如图所示的坐标系。设抛物线的方程是，A（10，2）故有：100=4p，即p=25，抛物线方程是。让船沿正中央航行，船边缘在抛物线上的射影是C（8，y），代入抛物线方程得y=1.28.此时C点距水面的距离是61.28=4.72米因船体高出水面5米，现有状态下无法通过。当再装1000吨货物时，吃水线上升由于：5，所以再多装1000吨货物也无法通过。【本讲涉及的数学思想、方法】本讲主要讲述抛物线的标准方程及其几何性质的有关知识，在运用这些知识解决问题时，充分体现了方程的数学思想、等价转化的数学思想

8、、数与形结合的数学思想及定义法 、待定系数法等数学思想方法的应用。 预习导学案（双曲线的标准方程及其几何性质）一、预习前知（1）在初中学过的函数中，哪一个函数的图像是双曲线？它的解析式是什么？（2）根据课本提供的实验请你画出双曲线。二、预习导学探究反思：探究反思的任务：双曲线的标准方程及其几何性质：1、双曲线的第一定义是 。双曲线的第二定义是 。【反思】若动点到两定点的距离之差的绝对值等于两定点的距离，则动点的轨迹是什么？若动点到两定点的距离之差的绝对值大于两定点的距离，则动点的轨迹是否存在？为什么？2、双曲线的标准方程有哪两种形式？其标准方程是 ， 。a，b，c的关系是 。【反思】利用轨迹法

9、推导双曲线的标准方程。3、双曲线的几何性质有哪些？（范围，对称性，实轴、虚轴，渐近线，准线方程，离心率） 【反思】（1）根据上述图形分别写出其几何性质（2）双曲线的离心率范围是什么？椭圆、抛物线、双曲线能否统一定义？4、双曲线的焦点半径：设P（是双曲线右支上的任意一点图（1），F1，F2分别是其左右焦点。则【反思】（1）若P点在图（1）中的左支上， ， 若P点在图（2）的上、下支上，结果又如何？（2）利用双曲线的第二定义证明。【模拟试题】（答题时间：100分钟）一、选择题：（共5小题，每题6分，计30分）1、经过点P（2，4）的抛物线的标准方程是（ ）A. B. C. D. 2、抛物线的焦点坐

10、标是（ ）A. B. （ C. （ D.（0，3、到直线x=2的距离与定点P（0，2）距离相等的点的轨迹是（ ）A. 抛物线 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 直线*4、设F是抛物线的焦点，A，B，C是抛物线上三个点，若，则 ）A. 9 B. 6 C. 4 D. 3*5、若A（3，2）， F为抛物线的焦点，P点在抛物线上移动，当|PA|+|PF|取得最小值时P点坐标是（ ）A. （3，3） B.（2，2） C.（ D.（0，0）*6、若抛物线上的两点A，B的横坐标恰是方程两根，（p，q为实常数），则AB的直线方程是（ ）A. qx+3y+p=0 B. qx3y+p=0 C. px+3y+q=0

11、D. px3y+q=0二、填空题：（每小题5分，计30分）*7、过抛物线（p0）的焦点F作倾斜角为的弦，则弦长是 。8、抛物线的准线方程是 。*9、抛物线上离点A（0，a）最近的点恰好是顶点，则a的取值范围是 。10、在平面直角坐标系中，有一定点A（4，2），若线段OA的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是 。*11、已知P（x，y）满足：，则点P的轨迹是 。三、计算题：（40分）12、（12分）抛物线的顶点在原点，它的准线过椭圆的一个焦点，且垂直于椭圆两个焦点所在的直线，又椭圆与抛物线的一个交点M（，求抛物线和椭圆的方程。*13、（13分）若抛物线的焦点在x轴上，开口向右，且抛物

12、线上的点到直线L：4x+3y+46=0的距离的最小值是2。求：抛物线方程*14、（15分）A，B是抛物线上的两点，且OA，（O为坐标原点），求：（1）A，B两点的横坐标之积与纵坐标之积都是定值，（2）直线AB过一定点。（3）O在线段AB上的射影M点的轨迹方程。【试题答案】一、选择题：1. C 2. B 3. A 4. B 5. B 6. C二、填空题：7. 8. 4y+1=0 9. a 10. 11. 抛物线三、计算题：13. 解：由椭圆方程可知：椭圆的焦点在x轴上，故抛物线的焦点在x轴上，又抛物线过点M（，可设抛物线方程为：，（p0）从而椭圆的焦点是，由椭圆的定义知：2a=|MF1|+|MF2|，即a=2，c=1故所求的椭圆方程是14. 解：由题意知：抛物线的焦点在x轴正半轴上，可设抛物线方程为设M（x，y） 是抛物线上任意一点。由M点在抛物线上得：M（ 。 M点到直线L的距离d=，又，故恒成立。，由d的最小值是2得：即所求抛物线方程是15.（1）证明：，（2）证明：此时直线AB的方程为x=2p，直线AB过定点（2p，0）当故直线AB过定点（2p，0）（3）解：设AB过定点（2p，0）由OM，知M点的轨迹是以OP为直径的圆，故M点的轨迹方程是：