中心极限定理及其应用——以定期寿险为例Stone工作室270元.doc

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1、毕业论文开题报告一、 题目：中心极限定理及其应用以定期寿险为例二、 研究意义：中心极限定理核心内容：只要n足够大，就可以把独立的随机变量和当成正态变量，所以在实际生活中可以利用它解决很多问题，并且这还有助于解释很多自然群体的频率，能够呈现出钟形曲线的原因。从而正态分布变成概率论中最重要的部分，这也就奠定出中心极限定理的重要功绩。中心极限定理在其他学科上也有重要的作用。例如：数理统计中的参数估计、抽样调查、假设检验等；进一步来说，中心极限定理也为数理的统计在统计学中的应用问题作了铺路，用样本可以推断出总体的关键就是要掌握样本的特征值的分布情况。中心极限定理表明：样本容量足够大时，未知总体的样本特

2、征值也就越近似服从正态分布了。从而，只要通过大量观察的方法就能获得到足够多的随机样本数，也就几乎可以把数理统计中出现的全部问题有了解决的方法，最后应用于统计学。三、研究内容： 中心极限定理产生的客观背景 常见的中心极限定理 德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 林德贝格-勒维中心极限定理 中心极限定理的应用四、 参考文献：1概率论与数理统计教程M.魏宗书.北京：高等教育出版社，2005.2概率论M.林正炎，苏中根.浙江：浙江大学出版社，2001.3朱朱，京江晚报，买保险得中老年人N.2009-3-28，（4）4张永良，唐汇龙.南京审计学院学报,中心极限定理的两个应用 J.2005,2（4）：70-71

3、 5杨静平.北京：寿险精算基础M.北京大学出版社，2002.6李晓林.第三卷M.精算学原理：北京：经济科学出版社，1999.五、 研究结果： 本问通过在最常用的两个中心极限定理的基础上，讨论了其在定期寿险业、生产供应需求及决策问题中的应用问题。首先，在寿险业中了解到：中心极限定理在保费的厘定中有指导性的作用，从而进一步讨论了老年寿险与年轻的区别，但不管从哪个角度，都应当具备偿还能力，也就是要应用中心极限定理对寿险公司做出计算，让受保人要有最低准备金。同时，由于保险公司是盈利机构，也对寿险公司研究了保单的盈亏预测。然后，在决策问题方面，以“集体的决策正确率是否一定大于个体的决策正确率”这一个问题

4、做为出发点，利用了特殊法和一般法，并结合了中心极限定理来否定该说法，得出了集体的决策正确率大于个体的决策充要条件。最后，分析了在生产供应需求的方面，为了防止出现商品的供过于求、尽量能够满足社会的需求度，通过利用中心极限定理求出在不同条件下的生产量、需求量和社会需求的满意度，并要附一个例题说明。 中心极限定理及其应用以定期寿险为例 【摘要】中心极限定理是在一定的客观背景下产生的，我们用的最多的就是德莫佛-拉普拉斯、林德贝格-勒维两个的中心极限定理。两者均表明了当n足够大时，方差中存在的n个独立的随机变量和与正态分布相近似，其在实际中的应用也是相当的广泛。本文通过讨论中心极限定理在三个方面（定期寿

5、险业、生产供应需求和决策问题）的应用，充分说明中了心极限定理和现实生活有着紧密的联系。【关键词】中心极限定理 定期寿险 生产需求 决策问题第一章 中心极限定理第一节、中心极限定理的产生背景在生活的实际问题中，经常需要考虑许多随机因素产生的影响，比如测量中的误差、炮弹在射击过程的落点和目标的偏差等等。同时，许多观察也表明：如果一个随机变量是由大量相关独立的随机因素的综合影响所构成的，而其中每一个随机因素的单独作用是微小的，则这样的随机变量通常服从或近似服从正态分布，这种现象就是中心极限定理产生的背景。 第二节、常见的中心极限定理中心极限定理从提出到今天，其内容是非常丰富的。在概率论中，中心极限定

6、理就是研究在什么条件下，大量独立、随机变量和的正态分布作为极限的定理。但在研究中，最常见、最基本的定理就是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理、林德贝格-勒维中心极限定理两个。其内容如下：德莫佛-拉普拉斯中心极限定理德莫佛-拉普拉斯中心极限定理在历史上是最早得到中心极限问题研究的成果。其内容是：设为标准正态分布的分布函数，对，有 其中。这样，定理就可以简单地说：二项分布渐近正态分布，所以当n足够大时，就可以利用本定理来计算二项分布概率。林德贝格-勒维中心极限定理其内容是：设是一列独立同分布的随机变量，即=，由此可知：中心极限定理成立，即为所以，从定理的条件可以知道：林德贝格-勒维中心极限定理也被称作同

7、分布的中心极限定理。同时，也可以知道德莫佛-拉普拉斯中心极限定理只是林德贝格-勒维中心极限定理的一种特殊情形。 第二章 中心极限定理的应用由上述可以得出：中心极限定理的意义重大，应用广泛，所以本文以中心极限定理在定期寿险业、生产供应需求方面和决策问题的应用为例，对其进行说明。1、 中心极限定理在定期寿险中的作用 保险学的概率论数学原理保险，很多人都听过，也有部分人也有所接触，他体现出了“人人为我，我为人人”的互帮互助思想，他依靠的就是数理统计。保险也就是为遭受损失的人、事物或场所提供了保障，在发生火灾、水灾等情况，受保人的经济受到严重损失时，保险公司为其补偿一部分，使其减少损失。有时也会为风险

8、单位做担保，风险单位就是是保险公司确定承担的最高保险责任计算的基础。在理想状态下的风险单位，就应独立分布。其意义为：保险人可以据此向潜在的被保险人收取一定价格保费。同时，根据中心极限定理，有n个风险单位随机样本的平均损失都符合正态分布，本结论对保险费率的厘定非常重要。保险公司中的各险种的交费标准都是经过精算后，按照同期银行利率比照来制定的，所以在这个基础上应尽可能地去多承保风险单位，这样也就越可能有充足的资金来赔付保险期内被保人发生的所有索赔，使保险公司的运营更平稳，对投保人、被保险人更加有利。既然可以利用中心极限定理合理地厘定保险费率，那为何老年人的投保一再要被提高门槛呢？京江晚报正在3月2

9、8日报道“拿保险公司来说，高风险人群就是老年人，人在年龄较大时，不确定因素比较多，发生医疗费用支出、意外事故的风险比年轻人大得多。所以，站在赔付率的角度上考虑，保险产品在推出前一代会经过精密测算，从而去设置出相应的年龄门槛以及不同的缴费标准”。现在以最简单的一年定期寿险为例，来说明保险公司为什么对中老年人保险总是会提高门槛，使老年人的投保寿险与年轻人有所区别。如下表所示，选取25至29岁作为年轻人代表，61至65岁为老年人代表，将这两个年龄段进行比较。表1单位：元/每万元基本保额年龄保费死亡率年龄保费死亡率25180.612150.26180.622350.27180.632570.28180

10、.642810.29190.653080.现假设每个年龄各有1000个人投保总保费=1000 单个人的保费（元）=0.1 单个人的保费（万元），赔付额=。从上面公式得出：不同年龄的总保费 单位：万元年龄25262728296162636465总保费1.81.81.81.81.921.523.525.728.130.8赔付额0.950.930.920.920.9314.916.418.019.721.7由于计算中假定每个年龄的投保数相同，而老年人的死亡率比年轻人高，则导致赔付额的基数较大，所以还不能很好的解释问题，这里再引入赔付率（赔付率=赔付额/总保费），得出表3。各年龄的赔付率 表3年龄25

11、262728296162636465赔付率52.8%51.7%51.1%51.1%48.9%69.3%69.8%70.0%70.1%70.5%从表3可知，呈下降趋势的是25-29岁总体的赔付率，而61-65岁总体的赔付率呈上升趋势且赔付率处于较高水平。那么对于一个保险公司，她的经营主要是以盈利为目的，老年人身体状况较差，是疾病、死亡的多发群体，面临的风险大，所以为老年承保寿险时保险公司的赔付率相对较高。因此老年人投保寿险一再被提高门槛。同时，老年人寿险的保费若定价较高，但老年人收入相对偏低，可能买不起，而定价过低，保险公司也承受不起，从而更加影响公司的盈利。因此，寿险公司更愿意把目光投向年轻人

12、群体。2.1.2 定期寿险保险金的给付模型在上述比较中，我们知道了保险公司更青睐于年轻群体，但是在保险公司追求利益的同时还应考虑到他们的偿还能力。我国保险法规定“保险公司应该具有与其业务相适应的最低偿付能力。”下面我们就将建立定期寿险保险金给付模型。首先，根据国际精算协会的惯例，采用下列符号：（x）：一个新生儿生存至x岁，记为个体（x）；：（x）活过年龄x+t岁的概率，即（x）至少再活t年的概率；：（x）活到t岁的个体恰好在此年龄死亡的可能性，称为死亡力。且当为常数时有=：是衡量在某个确切时点上利率水平的指标，称为利息力，简称息力；：称为贴现因子，表示1年后得到1元在年初时刻的现值；T（x）:

13、 个体（x）的未来生存时间现假定利率为常数i，则有： 再记n年定期寿险的保险人给付额的现值为Z，则Z的精算现值为 = Z的j阶矩为=（其中=现假定1000个x岁独立的个体投保一年定期寿险，死亡保险金为1万元，在死亡后立即给付。死亡力为常数=0.06。死亡给付是由某投资基金提供，投资基金的利息力为=0.04。若要能够支付未来死亡保险金的概率不低于0.975，现在所需资金最低额度是多少？记1000个个体的未来生存时间分别为，总给付金额的现值为，则精算现值为，二阶矩为因此方差=0.0527。设W为满足要求所需的最低资金额度，利用中心极限定理，我们可以得到：再利用正态分布0.975的分为点1.96，得

14、即W67万元。所以，若需要能够支付未来死亡保险金的概率不低于0.975，现在所需资金的最低额度是67万元。2.1.3 定期寿险业的盈亏我们已经知道寿险公司的经营是为了盈利，而一个保险公司的盈亏，是否破产，我们也可以运用中心极限定理的知识做到估算和预测。例如设某寿险公司在一段时间内有n个同一年龄的人投保一年定期寿险，他们是相互独立彼此互不影响的，且在一年内没有新的投保人加入该项保险业务，也没有人退保。那么就可以利用中心极限定理估计该公司接下这些保单的盈亏概率。设每份保单的保费为M，保额为Q，该年龄的死亡率为p，令=，i=1,2,n,则有，再结合中心极限定理有该保险公司的亏本概率为 (7)若计算出

15、的较小，则对公司的盈利有好处，若偏大，则为了盈利着想，寿险公司可通过增加保费等手段来降低亏本率。2.1.4 实例分析例1 ：某保险公司的老年人寿保险有10000人参加，每人每年交200元。若老人在该年内死亡，公司付给其家属1万元。设老年人的死亡率为0.017，问：（1）保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率多大？ （2）保险公司一年的利润不少于20万元的概率多大？解：设表示一年内参保人的死亡数。则由题可知。（1）要使保险公司亏本，必须满足 -10000200则P（200）=1- P（0 200） 1- =1- -=0.01即保险公司亏本的概率为1%。（2）要使保险公司一年的利润不少于20万元，

16、必须满足200 10000-180则P（0 180） =-=0.7823即保险公司一年的利润不少于20万元的概率为78.23%。例2：某出租车公司有500辆的士参加保险，在一年里的出事故的概率为0.006.参加保险的的士每年交800元的保险费。若出事故，保险公司最多赔偿50000元，试利用中心极限定理，计算保险公司一年赚钱不少于元且不多于元的概率。解设X为一年里出事故的总次数，则XB（500，0.006）。要使保险公司一年赚钱不少于元且不多于元，则0-50000X3X4P(3X4)= =21.9%即保险公司一年赚钱不少于元且不多于元得概率为21.9%。2.2 中心极限定理在决策问题中的应用决策

17、是为了达到某种预定的目标，在若干可供选择方案中决定一个合适方案的过程。那么在就某事的可行性进行决策时，单个人认为是否可行称为个体决策，几个人（至少3个人）按照少数服从多数的方法决定是否可行称为集体决策。俗话说，人多力量大，那么我们习惯上认为的集体正确决策的概率大于每个单个个体正确决策的概率是否正确呢？下面将应用中心极限定理来讨论分析这个问题。 首先，我们给出一些简单的数据，利用特殊法看看该说法是否正确。见表4。记n为参与集体决策的人数，假定每个个体做出正确决策的概率相同，且均为p，决策方式也是根据少数服从多数原则，则在空格中所填数据为集体决策正确的概率，记为（其中n=30、40时应用中心极限定

18、理计算）。集体决策做出正确决策的概率 表4 n3510203040p=0.250.15620.10350.01970.00390.00090.0001p=0.50.50.50.50.50.50.5p=0.750.84380.89650.92190.98610.99910.9999从表4中，我们可以看到以下两个情况：情况一：，由此我们得出第一个猜测，猜测一：。情况二：，显然由这一情况可知，集体正确决策的概率大于每个单个个体正确决策的概率这一说法是不一定正确的，同时我们也得出了第二个猜测，猜测二：。现在就利用一般法检验两个猜测是否正确，下面将结合中心极限定理来做出判断。设X为n个人中做出正确决策的

19、人数，令，记，则。将X标准化，并由中心极限定理可得 N(0,1)。当n成分大时， (8)为下面讨论方便，令 (9)那么对于猜测一：（1）当时，f(n)是大于0的单调增函数， 若 。 同理可证明（2），（3）。所以猜测一是正确的。对于猜测二：当n充分大时，我们可以得到由此可知，当n充分大时，若则无限趋近于1，而p是一个大于小于1的常数，所以必定有，即是的必要条件；相反当时，是否也有呢？不妨采用反证法说明。若p=，则=p，矛盾。若0p，则当n充分大时，趋于0，而p是一个大于0小于的常数， 所以也不可能大于p,矛盾。即p只能属于（，1）。因此，当n充分大时，在验证猜测一与二的基础上，我们可以得出这样

20、的结论：当且仅当0.5p1时集体决策为正确的概率大于个体决策为正确的概率，并且当参与人数n不断增加时，集体决策正确的概率也不断趋向于1。2.3 中心极限定理在生产供应、需求上的应用现实生活中，当厂家的生产量大于需求量时，会导致商品的积压以及商品价值难以体现；而当厂家的生产量小于需求量时，供给又难以满足社会需求。为了尽量防止“供”过于大于“求”及尽可能的满足社会需求度，我们就要利用中心极限定理来估算一些值，具体如下。2.3.1 根据现有生产能力及用户需求状态，估算能满足社会需求的可靠程度某工厂负责供应某地区n个人的商品供应，在一段时间内每人需用一件该商品的概率为p，假定在这段时间内每个人购买与否

21、彼此独立，现该工厂仅生产M件商品，试估计能满足该地区人们需求的概率。若记，i=1,n则 , 通过查正态分布表可求得。2.3.2 根据社会需求状态来确定生产任务某工厂负责供应某地区n个人的商品供应，在一段时间内每人需用一件该商品的概率为p，假定在这段时间内每个人购买与否彼此独立，现该工厂至少有的把握满足社会需求，试问该工厂需要生产商品的件数M。若记，i=1,n则 ， 令，则 M， （11）所以该工厂至少需要生产件商品。2.3.3 根据需求及产品质量情况来确定生产量某工厂负责供应某地区的商品供应，该商品的次品率为p,而在一段时间内共需M件该商品且要求至少有的可靠程度来保证居民购买到的是正品，求该工

22、厂的生产量N。若记，i=1,N，则，所以由可知令，再通过解不等式 由上式可解出生产量N的范围。2.3.4 例题分析设某电视机厂生产液晶电视机以满足某地区100家客户的需求，若由以往的统计资料表明：每一用户对该电视机的年需求量服从=2的泊松分布，现在该厂这种电视机的年产量为220台，能以多大的把握满足客户的需求量呢？若该厂要有97.5%的把握满足客户的需求，则该厂至少生产多少台这种液晶电视机？现在该厂引进先进技术，将液晶电视机的出厂正品率提高到95%，现估计一年内该地区的社会总需求量为500台，则为了有99.7%的把握保证客户购买到的是正品液晶电视机，则该厂该年至少生产多少台液晶电视机 解：设这

23、100户客户对这种液晶电视机的年需求量依次为。则由统计资料表明：，即，那么根据泊松分布的知识知，再设为这100家客户对这种液晶电视机的年需求总量，则=，由于n=100较大，根据中心极限定理我们有：近似服从正态分布N（），即N(200，200)。现在该厂的年产量为220台，则能满足客户需求的把握为P（200）=P（）=0.91924，即能满足客户需求的把握为91.924%。又若该厂要有97.5%的把握满足需求，则设该厂安排年产量为M台，则M应满足下式：P(M)97.5%从而有P()=0.975由正态表查得，而是x的增函数，所以有1.96，M227.7,即取M=228（台）。最后我们设N为当液晶电

24、视机正品率为95%时的生产量，设为第i台电视机含次品的个数，即=1表示次品；=0表示正品。则=为N台液晶电视机中的次品总数，而N-为N台电视机中的正品总数，它应满足P(N-500) 0.997,即P(N-500) 0.997,由题意知B（N，0.05），从而E=0.05N,D=0.95*0.05N=0.0475 N，结合中心极限定理知近似服从N（0.05N, 0.0475 N）,所以P(N-500)=P()=再通过查正态分布表知=0.997，就有2.75解此不等式得N541.16，取N=542（台）所以在这种情况下应生产出542台液晶电视机才能有99.7%的把握客户买到的是正品。第三章 结束语

25、本文是在中心极限定理最常用的两个定理的基础上讨论了它在定期寿险业、决策问题及生产供应需求中的应用。首先，在寿险业中知道中心极限定理对保费的厘定有指导性作用，从而讨论了老年人寿险与年轻人的区别，但不管怎样，应当具备一定偿还能力，即要应用中心极限定理求出寿险公司的最低准备金。同时出于保险公司是盈利机构，也研究了寿险公司接下保单的盈亏预测。其次，在决策问题中，以“集体决策的正确率是否一定大于个体决策的正确率”这一问题为出发点，利用特殊法与一般法并结合中心极限定理否定该说法，并得出集体决策的正确率大于个体决策的充要条件。最后，在生产供应需求方面，为了防止商品供过于大于求及尽量满足社会需求度，分别利用中

26、心极限定理求出了不同条件下的需求量、生产量及社会需求满意度，并附一个例题说明。 本文仅谈了它在以上三方面的应用，但中心极限定理在生活中的应用十分广泛，如抽样推断、质量检测等都需用到它，这里不再叙述。参考文献文献综述中心极限定理自提出至今，其内容已经非常丰富。但最常见、最基本的两个定理是De Moivre-Laplace中心极限定理和Lindeberg-Levy中心极限定理。其中De Moivre-Laplace中心极限定理是历史上最早得到的中心极限问题的研究成果。1716年De Moivre首先得到了二项分布B（n， ）的研究成果。后来Laplace将此推广到一般情形B（n，p）。该定理指出了

27、标准化随机变量的极限分布N（0，1），这一结论具有非常重要的意义。另外Lindeberg-Levy中心极限定理是Lindeberg与Levy在20世纪20年代证明的，“中心极限定理”的命名也是始于这一时期。 虽然中心极限定理反映的是当时，一系列相互独立的随机变量的和的极限分布为正态分布，但在应用中心极限定理解决问题时，只要n充分大（一般，n越大越好）我们就可以用中心极限定理作近似计算，因此它为解决实际应用问题提供了理论基础。在参考文献1,2中主要介绍了中心极限定理的证明及基本形式，阅读后我认为中心极限定理的功绩之一是确立了正态分布在各种分布中的首要地位, 定理的条件只要求是相互独立的随机变量序

28、列, 因而无论各个服从什么分布, 其和都以正态分布为极限, 这种独立和的现象是十分常见的。例如, 在研究一个车间的许多台机床的耗时, 整个车间的耗电量等于各台机床耗电量的总和, 而各台机床的工作状态及耗电量是相立的, 因此车间的耗电量是一个独立和的问题。只要机床的台数足够大, 则可用中心极限定理估计这个车间的耗电量, 并且可以得到满意的效果。一个单位的电话网同时需要打外线的数量等都可以表示成独立和的问题, 所以独立和的问题是常见的, 这种常见性就决定了正态成为首要的分布。同时中心极限定理还刻画了正态分布的形成机制。如果某一个量的变化受到许多随机因素的影响, 这种影响的总后果是各个因素的迭加,

29、而且这些因素中没有一个是起主导作用的, 那么这个量就是一个服从正态分布的随机变量, 至少它可以近似地服从正态分布。这种机制在经济问题中是常见的, 在我们对经济问题进行定量分析时, 往往假定在主要因素的影响之外, 其它各种因素的影响可以用一个服从正态分布的随机变量来表示, 如在回归分析模型中的误差等, 其根据就在于此。在参考文献3中谈到了中心极限定理在数理统计中的应用，它也是大样本统计方法必不可少的理论基础。在统计推断理论中,一般是研究正态总体均值与方差的统计推断, 它是依赖于正态分布的特殊性以及正态总体的样本统计量的一些分布性质, 然而对于不服从正态分布的总体就不满足这些条件。我们知道,由简单

30、随机抽样得到的样本 就是一个独立同分布的随机变量序列。因此, 在实际工作中, 如果能够获得样本容量较大的样本, 即如果n足够大, 就可以把独立同分布的随机变量之和当作一个服从正态分布的随机变量来处理。这种做法的理论根据就是中心极限定理。正是因为中心极限定理的应用价值高，它的应用也正朝着与实际问题接轨的趋势发展。例如，在产品质量控制中可利用它估计产品的次品率，控制正品数量，估计正品数量；还可利用它解决能源供应、产品装箱、商品订购等问题。尤其在文献4、6、9、10中，介绍了它对保险业更具有指导性意义，一个保险公司的亏盈，是否破产以及偿付能力如何均可用中心极限定理的知识来估算和预测。例如假定某保险公

31、司为某险种推出保险业务，现有n个顾客投保，第i份保单遭受风险后损失索赔量记为S，即，弄清S的概率分布对保险公司进行保费定价至关重要。在实际问题中，通常假定所有保单索赔相互独立，这样，当保单总数n充分大时，我们并不需要计算S的精确分布。此时，可应用中心极限定理，对S进行正态逼近即可。具体来说，在文献6中研究的是终身寿险保险金的给付问题，通过对该问题建立数学模型，结合文献9中国际精算协会惯例采取的符号及相关数据的基础上，利用中心极限定理和精算学求出：若要保险公司能够支付未来保险金的概率不低于某一值，所需资金的最低额为多少，同时估算保险公司的盈亏。而在文献10中同样也是先建立一个短期个体风险模型，所

32、研究的问题基本与文献6类似，但在具体应用中更加细化，它应用中心极限定理计算出要有一定水平的偿付能力时的安全附加量、承保业务量、责任准备金，通过材料可知在纯保险费中包含安全附加量等都是保证偿付能力的手段。在文献4中以生活中的实际数据为背景讨论保险业的盈亏，并以实例说明中心极限定理在保险业的重要作用。同时在文献6中还讨论了更贴近生活的问题少数服从多数的决策模型，利用中心极限定理分析讨论集体决策在何时优于个体决策，这足以说明中心极限定理在生活中有很重要的作用。在文献11也初步谈及中心极限定理在生产中的应用。这些都是中心极限定理的研究现状，中心极限定理的应用仍可继续开发，使之应用在更多更广的学科范围内。我在这篇文章中，主要研究中心极限定理的三个应用：保险业的偿还能力与盈亏、决策问题及生产供应需求问题。在文献的基础上，对保险业的偿还能力与盈亏主要讨论定期寿险，以它为例建立定期寿险保险金给付模型，同时利用中心极限定理分析定期寿险业的盈亏概率等。对于决策问题，我将在文献的基础上更加具体化，加入数据并讨论使集体决策高于个体决策正确率的的充要条件，并给与证明。最后在生产方面，我再利用中心极限定理求出不同情况的生产量，需求量及满足社会的需求度，从而使得商品的价值得以较大体现。